七年级数学专项提升：有理数与数轴（原卷版）

专题02有理数与数轴

素养目标

1.知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类；

2.能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；

3.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数及数轴上点的运动;

4.初步感受数形结合、分类讨论的思想。

1____5

一目录导航

题型探究

题型1、有理数的相关概念辨析...................................................................4

题型2、有理数的分类............................................................................4

题型3、有理数中的新定义集合...................................................................6

题型4、数轴的三要素及其画法...................................................................7

题型5、用数轴上的点与有理数的关系.............................................................8

题型6、数轴上两点之间的距离...................................................................9

题型7、数轴上的动点问题.......................................................................10

培优精练

A组（能力提升）...............................................................................11

B组（培优拓展）...............................................................................13

新课轻松学

【思考1】我们在小学和上一节已经学习过那些数？这些数能否写成分数的形式呢？

【思考2】请读出右侧温度计的读数。

【思考3】在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和2.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,

汽车站西3m和1.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆。试画图表示这一情景。

【课外作业】杳阅收集有关有理数的历史资料，然后给大家讲一讲有理数的来历和发展。

知识梳理

1.有理数的相关概念

1）整数：正整数、0、负整数统祢为整数。

2）分数：正分数、负分数统称为分数。

正分数：像工，之，0.24,5（）%等这样的数叫作正分数；

34

负分数：像-2,-1,-3.56等这样的数叫作负分数；

62

有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。

3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为人（p、q均为整数,且〃不为0）。

P

正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数；

整数和分数统称为有理数。

注意：在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数.

4）有理数的两种分类:

臂｝自然数正有理数［正整数

整数

（1）有理数彳负整数（2）有理数卜零（零既不是正数,也不是负数）

分数；有限小数R右神勘:负整数

负有理为负分数

I无限循环小数

常用数学概念的含义

1)正整数：既是正数，又是整数2）负整数：既是负数，又是整数

3)正分数：既是正数，又是分数4）负分数：既是负数，又是分数

5)非正数：负数和06）非负数：正数和（）

7)非正整数：负整数和08）非负整数：正整数和0

2.数轴

1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求：

①原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点；原点是数轴的基准点.

②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向.

③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3,…；

从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2,-3,....

像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素.

原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。

2）数轴的画法

①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）：②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；

③确定向右的方向为正方向，用的头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注

各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。

3）有理数与数轴的关系

①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。

②数轴上的点并不全是有理数，妇兀也可以在数轴上表示，但兀并不是有理数。

③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。

④与原点的距离是。（。＞0）,在数轴上可以是±。（存在多解论情况）。

注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。

r…题型探究

题型1、有理数的相关概念辨析

【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数：正分数和负分数统称分数：整数和分数统称有理数.

例I.（23-24七年级上•广东•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.任何分数都是有理数B.一，不一定是负数

C.一个数不是正数就是负数D.没有最大的有理数

例2.（23-24七年级上.广西•期中）下列关于有理数的说法正确的是（）

A.有理数可分为正有理数和负有理数两大类B.正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合

C.0既不属于整数也不属于分数D.整数和分数统称为有理数

变式I.（2023・重庆•七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③

非负数就是正数和0;④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

变式2.（23-24七年级上•山东•期末）下列说法正确的是（）

A.正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数B.正整数和负整数统称整数

C.一个有理数不是整数就是分数D.0不是有理数

题型2、有理数的分类

【解题技巧】

正整数：像1,2,3,4等这样的数叫作正整数；负整数：像一1,-2,一3等这样的数叫作负整数；

33

正分数：像二，0.24等这样的数叫作正分数；负分数：像一工，一3.56等这样的数叫作负分数；

44

整数：正整数、0、负整数统称为整数；分数：正分数、负分数统称为分数；

有理数：整数和分数统称为有理数。

例I.（23-24七年级上•江苏无锡期末）在0,y,1.3434434443-,y,3.14中，有理数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

例2.（23-24七年级上•山东青岛•期中）把下面的有理数填在相应的大括号里：

-！，0,-0.15,-2.6,50%.（今友情提示：将各数用逗号分开）

24

正数集合｛...1:负数集合｛非负整数集合｛

例3.（23-24七年级上•海南海口•期中）（1）把下列各数分别填入表示它所在的数集图里:

变式1.（23-24七年级上•山东德州•阶段练习）在3.14,0,-2,0.12,―,—,0.2020029002...，中,

正有理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式2.（23-24七年级上•湖北襄阳•期中）下列说法中，错误的是（）

A.-3是负有理数B.0不是整数C.；是正有理数D.-0.15是负分数

3.（22-23七年级上•山东济南•期中）把下列各数填在相应的大括号里：

79

-1,0,+3.6,-17%,3.142,—,-0.088,2（X）8,-506.

811

整数集合：｛

正分数集合：｛

负分数集合：（

题型3、有理数中的新定义集合

【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现

学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根

据新定义进行运算、推理、迁移。

常见类型有：（1）定义一种新运算；（2）定义一种新法则。

例I.（2023・贵州遵义・七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？

有理数在英语中是汕心胸〃〃加尸，而“〃胸心广通常的意思是“理性的“，中国近代译著者在翻译时参考了

这种方法，而〃”这个词的词根“〃沁”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”,

所渭有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数.

⑴对于0.3是不是有理数呢？我们不妨设0.3=尸则10x0.3=l0x，即3.3=1。工，故3+0.3=10x，即

3+x=10.r,解得x=g,由此得：无限循环小数有理数（填“是”或“不是”）；

（2）请仿照（1）的做法，将Q6写成分数的形式（写出过程）；

⑶在卜l，,92,0，-9,0.43,16.2［中，属于非负有理数的是.

例2.（2024•重庆七年级期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：｛1,2｝；

｛1,4,7｝；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素.规定：当整数x是集合的一个元素时，

100-1也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如｛-1,101｝就是一个黄金集合.若一个

黄金集合所有元素之和为整数小，且1180〈加〈1260,则该黄金集的元素的个数是（）

A.23B.24C.24或25D.26

变式1.（2023•江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：｛1,2,-3｝,我们称

之为集合，其中的数称其为集合的元素.如果一个集合满足：当有理数。是集合的元素时，有理数・"10

也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合.例如集合｛10,0｝就是一个和谐集合.

（1）请你判断集合｛1，2｝,｛-2,1,5,9,12｝是不是和谐集合？

（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）.

（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合.

变式2.（2023•山西七年级月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，

中间用逗号隔开，如：｛3,4｝,｛-3,6,8,18｝,其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满

足：只要其中有一个元素。，使得。+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合.

例加：｛13,I）,因为1+12=13,13恰好是这个集合的元素，所以｛13,1｝是对偶集合，例如：（12,3,（）｝,

因为12+0=12,12恰好是这个集合的元素，所以｛12,3,0｝是对偶集合.在对偶集合中，若所有元素的和

为0,则称这个集合为完美对偶集合，例如：｛-2,0,2）,因为-2+2=0,0恰好是这个集合的元素，所

以｛-2,0,2｝是对偶集合，又因为-2+0+2=0,所以这个集合是完美对偶集合.

（1）集合｛-4,8｝（填“是”或“不是”）对偶集合.

（2）集合｛-1/,10,,2｝是否是完美对偶集合？请说明理由.

题型4、数轴的三要素及其画法

【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向,

从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，

依次表示1,2,3...........从原点向左用类似的方法依次表示-1,・2,-3,……

例I.（2023•广东•七年级专题练习）下列说法正确的是（）

A.有原点、正方向的直线是数轴B.数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数

C.有些有理数不能在数轴上表示出来D.任何一个有理数都可以用数轴上的点表示

例2.（23-24七年级上.广西百色•期末）下列数轴正确的是（）

1」」»1」11」」」

A.-101B.-3-2-101234

1।1,।11।1»

C--1012D.-2-1123

变式I.（2023•浙江•七年级校考阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两

个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数正冢在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数

轴上找到与它对应的唯一点。其中正确的是（）

A.①②③④B.②@④C.③④D.©

变式2.（23-24七年级上•山东济宁•期中）下图中是数轴的为（）

A.0LB.210-1-2•

__1।।।1___11111A

C.-2-1012D--2-1012

题型5、用数轴上的点与有理数的关系

【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系

①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；

②一般地，设”是一个正数，则数轴上表示数〃的点在原点的右边，与原点的距离是。个单位长度；表示-a

的点在原点的左边，与原点的距离是。个单位长度.

③若点A表示的数为〃，点8表示的数为则A8的中点表示的数为土心。

2

例I.（23-24九年级下•河北邯郸阶段练习）如图，AB,C,。四个点将数轴上-6与5两点间的线段五

等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（）

IA▲B▲C▲D▲I

-65

A.点AB.点BC.点CD.点。

例2.（23-24七年级下.河南安阳期中）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm,若在数轴上

随意画一条长为100cm线段则线段八8盖住的整点的个数为（）

A.100B.99C.99或100D.100或101

例3.（23-24七年级上•浙江杭州•阶段练习）如图，一条数轴上有点A、B、C,其中点48表示的数分别

是-14,30,现以点C为折点，疹数轴向右对折，若点A落在射线C8上且到点8的距离为6,则C点表示

R

变式I.（2024年湖南省长沙市中考月数学试题）数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点相距2024个单

位长度，则数。为（）

A.2024B.-2024C.±2024D.不确定

变式2.（2023•山东淄博・统考一模）如图，将一刻度尺放在数轴二（数轴的单位长度是1cm）,刻度尺上“0cm”

和“3cm”分别对应数轴上的3和0,那么刻度尺上“3.6cm”对应数轴上的数为（）

876543210

।…J…।J…J…J…/…J

111111111

-4-3-2-101234

A.-0.4B.-0.6C.-1.6D.1.4

变式3.（2023秋•江西吉安•七年级统考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示-2的点与表

示6的点重合，则3表示的点与表示的点重合.

-4-3-2-I012345

题型6、数轴上两点之间的距离

【解题技巧】若点4表示的数为由点B表示的数为b,则AB的距离为b-a或a-bi关键：较大数减较小数）。

如：数轴上点A、4代表的数分另1为I和4,则线段48的距离为3。

在解答有关数轴上.两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解•，该点左

右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好

绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。

例L（23・24七年级上.山东彳惠州.阶段练习）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行

减法运算得到，如图，线段AC=2=3-1；线段A4=3=l—（—2）.

ABC

」」i」」」i」i.

-4-3-2-101234

问题：（l）数轴上点M、N代表的数分别为10和3,则线段MN=；

⑵数轴上点E、/代表的数分别为3和-I,则线段律=；

（3）数轴上的两个点之间的距离为5,其中一个点表示的数为12,求另一个点表示的数.

例2.（23-24七年级上•河南安阳•价段练习）已知AB,C是数轴上的三个点，且。在8的右侧，点A8表

示的数分别是1,3,如图所示，若8C=3A3,则点C表示的数是.

AB

।।।ai.i.t।

-4-3-2-10123456

变式1.（2024・广东•七年级期中）数轴上点M表示的数是6,则与点M相距4个单位长度的点表示的数

是.

变式2.（2023秋•江西赣州•七年级统考期末）已知点A、点8、点。是同一条数轴上的三个点，且A3=8C=a,

若点A在数轴上表示的数是1,则点C在数轴上表示的数是.

题型7、数轴上的动点问题

【解题技巧】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们讲在专题18中重点介绍，本考点

中只对数轴中点的简单移动作一些基础的认识。

例I.（23-24七年级•黑龙江哈尔滨•阶段练习）数轴上的A点与表示的是-2的点右边距离它5个单位长度

的点，则A点表示的数为.

例2.（23-24七年级上.重庆江津•阶段练习）如图，已知A,原8在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应

的数为12,且AB=I8,动点尸从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点。的运动过

程中，M,N始终为AQ,4P的中点，设运动时间为旧＞。）秒•，则下列结论中正确的有（）

①B对应的数是-6；②点尸到达点3时，/=9：③HP=2时，7=6；

④在点尸的运动过程中，线段MN的长度会发生变化.

BN—PMA

11111A

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式1.（23-24七年级上•河南许昌♦期中）数轴上，点A表示的数是-3,将点A向右移动6个单位长度后，

点A表示的数是.

变式2.（23-24七年级上•江苏无锡・期中）数轴上有一动点尸从表示-1的A点出发，以每秒2个单位长度的

速度向右运动，则运动，秒后点/，表示的数为（）

A.2/B.-1-2,C.-1+2/D.1+2/

■公培优精练

A组（能力提升）

1.（23-24七年级上•山东青岛•阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴：②数轴上两个

不同的点可以表示同•个有理数；③有理数-11000在数轴上无法表示出东；④任何个有理数都可以在数

轴上找到与它对应的唯一点.其中正确的是（）

A.①②③④B.②®®C.③④D.④

2.（23-24七年级上•湖南长沙•期中）下列数轴表示正确的是（）

A111A▲工▲上1上!.»

A・3210T-2TB.-I-2-30I23

C.T-2T0123D--3-2-I0I23

3.（2023•江苏•七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整

数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理

数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）

非负有理数是指正有理数和0.正确的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

3

4.（23-24七年级_L•云南文山•期末）在数2024,兀，0,-3.14,0.2,-10中，其中整数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

5.（23-24七年级•黑龙江•阶段练习）在数轴上，与表示-2和4的点距离相等的点所表示的数为（）

A.-1B.0C.1D.2

78

6.（23-24七年级上•广东广州•期中）下列7个数中：-；，1.0010001,—,0,兀，-2.62662666...,0.12,

433

有理数的个数是（）

A.4B.5C.6D.7

7.（23-24七年级上•四川巴中•阶段练习）下列关于“0”的说法正确的有（）

①0是正数和负数的分界点；②。是正数：③。是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是

整数也是偶数；⑥0不是负数.

A.2个B.3个C.4个D.5个

8.123-24七年级上.四川眉山.期中）有下列说法，正确的个数是（）个

①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数：③若。是正数，则-。是负数；

④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数.

A.0B.1C.2D.3

13

9.（23-24六年级下.上海崇明・期中）在-18,9-,0,12%,-7.2,兀,7中，非负整数有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

10.（2024•陕西汉中•二模）点A、3在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为-3,4?=7,则点〃表示

的数为.

AB

-'0

11.（2024•河南平顶山•一模）已知点夕在数轴上,且到原点的距离大于2,写出一个点P表示的负数:.

12.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内.

+65,-2—,0.5,（）,—3.2,13,-9,5—,—1,-3.6,一

323

（1）王分数集合：｛…卜（2）整数集合：｛（3）非负数集合：｛...）.

13.（2023・湖北•七年级校考期中）观察数轴，回答下列问题：

-5-4-3-2-'16~1~2~3~4~5^

（1）点A、R、。表示的数分别为2,0,-3.5,请在数轴上标出点A、C：

（2）大于-3并且小于2的整数有哪几个？

（3）在数轴上到表示-1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？

14.（2023•广东•七年级校考阶段练习）把卜列各数填入相应的圈子内：-3.5,7,+2.8,0,-4

正数集合整数集合负数集合

B组（培优拓展）

1.（23-24七年级上•云南•阶段练习）点A为数轴上一■点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从4点出发,

向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（）

A.-2B.6C.一2或6D.-6或2

2.（23-24七年级上•河南驻马店•期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字

1,2,3,4,先让圆周上数字】所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数粕向左滚动，

3.（2023•浙江温州•七年级校考阶段练习）将一刻度尺放置在数轴上，数轴上A,B,C三点分别对应刻度

尺上的“0cm”，“1.8cm”和“2.7cm”,若点A,8在数轴上分别表示0,3,则点。在数轴上所表示的数为（）

A.2.1B.2.7C.4D.4.5

4.（23-24七年级上•浙江・期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示-3的点与表示7的点重合时，表示4

的点与表示数的点重合.

5.（23-24七年级上.山东青岛.阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1厘米，若

在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段48,则线段48盖住的整点的个数是.

6.（2023秋•江苏南通•七年级统考期末）如图，A,B,。为数轴上的点，AC=4,点8为