七年级数轴中的动点问题-专项训练（数学）

绝对值的进化

一.解答题（共16小题）

1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图:

0b

(1)判断正负，用“〉”或“V”填空：b-c0,a+b0,c-a0.

(2)化简:\a-c\+\b-c\+\b-a\-\a\-\a-c\.

2.阅读下列材料完成相关问撅：已知小b、。是有理数

（1）当〃方>0,a+bVO时，求丁十4T的值；

iainn

（2）当HcWO时，求入十谷的值；

laiIblIcl

（3）当。+b+c=O,abc<0,岩■兽邙岸牛的值.

laiIblIcl

3.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

~44：i・：G；之；;二

（1）数轴上表示4和I的两点之间的距离是；表示-3和2两点之间的距离是；一般地,

数轴上表示数m和数〃的两点之间的距离等于|〃L〃|.如果表示数。和-1的两点之间的距离是3,那么

（2）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|。+4|+|〃・2|的值为：

（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点心使得|x+2|+|x-5|=7,这些点表示的数的和是

（4）当。=时，心+3帅/-l|+|a-4|的值最小，最小值是.

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4.点48在数轴上分别表示有理数a,b.A,8两点之间的距离表示为48,在数轴上48两点之间的

也离力8=|a-b|.利用数形结合思想回答下列问题：

（1）数轴上表示2和8两点之间的距离是；数轴上表示-2和8两点之间的距熟是.

（2）数轴上表示x和・4两点4和8之间的距离表示为；如果48=2,那么x=.

（3）若点。表示的数为x,当点。在什么位置时，|/+1|+|/-1|取得的值最小，并直接写出最小值.

5.探索研究：

（1）比较下列各式的大小：

I-2|+|3|I-2+3|

i-T+i-J1一小

2323

|-5|+|4||-5+4|

|0|+|-5||0-5|

出京—|1+!

（2）通过（1）的比较，请你分析归纳出当a,〃为有理数时，同+也与|a+b|的大小关系是

（3）根据（2）中你得出的结论，直接写出当网+5=|x-5|时,x的取值范围.

6.已知|"2|+|1・X|=9・9・5|・|1+H，求2x・3歹的最大值与最小值.

7.(|x+l|+|x-2|)([y-2|+[y+l|)(|z-3|+|z+l|)=36,取x+y-z的最大值和最小值.

第2页（共19页）

8.我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离我们可以把|x|看作|x-0|，所以，|x-3|就表示x在数

轴上对应的点到3的距离，|x+l|=|x-(-1)|就表示x在数轴上对应的点到-1的距离，由上面绝对值的

几何意义，解答下列问题：

(1)求|x・4|+|"2|的最小值，并写出此时x的取值情况：

(2)求|x-3|+|x+2|+|x+6|的最小值，并写出此时x的取值情况：

(3)已知|x-l|+|x+2|+[y-3|+[y+4]=l(),求2x+y的最大值和最小值.

9.数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例：如图所示，点力、8在数轴上分别对应

的数为a、b,则4、8两点间的距离表示为0B|=|a・b|.

根据以上知识解题：

(1)若数轴上两点4、8表示的数为X、-1,

①4、8之间的距离可用含x的式子表示为:

②若该两点之间的距离为2,那么x值为.

(2)|x+l|+|x-2|的最小值为,此时x的取值是:

(3)已知(|x+l|+|x-2|)(八3|+|尸？)=15,求x-2y的最大值和最小值1

第3页(共19页)

x,(x>0)

10.阅读下列材料并解决有关问题：我们知道以|=<0,(x=0),现在我们可以用这个结论来化简含有绝

-x,(x<0)

对值的代数式，如化简代数式|x+l|+|x-2|时，可令x+l=0和x-2=0,分别求得尸-1,x=2(称-1,

2分别叫做kH|与-2|的零点值.)在有理数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复

且不遗漏的如下3种情况：

(1)当xV-1时，原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+l；

(2)当-时，原式="1・(x-2)=3；

(3)当x>2时，原式=X+1+R-2=2x-1.

-2x+l,(x<-l)

综上所述，原式=《3,(-l<x<2).

2x-l,(x>2)

通过以上阅读，请你解决以卜问题：

(1)分别求出仅+2|和卜・4|的零点值；

(2)化简代数式卜+2|+仅-4|；

(3)求方程：|x+2|+|x-4|=6的整数解;

(4)|x+2|+|x-4|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由.

11.化简:|Zv-3|+|3x-5|-|5x+l|

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12.阅读下列材料并解决相关问题.

化简代数式|什5|+|2X-3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如

N+5|,只要考虑x+5的正负，可以分为xV・5与・5两种情况来讨论，这里的x=-5是使x+5=0

的x值，我们称它为x+5的一个零点.同理，对于2x-3,也有一个零点》=旦.为了同时去掉两个绝对

2

值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x<-5,-5W〈S,进行讨论，这种令各个绝对值

22

内的代数式为0,找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”.

(1)填空：k+5|+|2x・3|=----------------

(2)代数式1卜2|+/1|的零点值有哪些?

(3)化简||x-l|-2|+|x+l|.

13.阅读下列材料并解决有关问题：

\(x>0)

我们知道用=<0(x=0)现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|/1|十|戈

-x(x<0)

-2|时，可令x+l=0和x-2=0,分别求得x=-1和x=2(称-1,2分别为|x+l|与卜-2|的零点值).在

有理数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(l)xV-

1:(2)7«2；(3)x22.从而化简代数式/1|+|x-2叵分以下3种情况：

(1)当x<-l时，原式=-(x+1)-(x-2)=-2,v+l；

(2)当-lWx<2时，原式=x+l-(x-2)=3；

(3)当x22时，原式=X+1+T-2=2x-1.

-2x+l(x<-l)

综上讨论，原式={2(-lVx<2)

2x-l(x>2)

通过以上阅读，请你解决以下问题：

(1)分别求出|x+2|和Q4|的零点值;

(2)化简代数式,+2|+仅・4|；

(3)解方程|r+2|+|x・4|=8.

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14.小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：

“当式子|x+l|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是,最小值是

小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了.”

小明说：“利用数轴可以解决这个问题

他们把数轴分为三段：x<-1,-1WXW2和x>2,经研究发现，当时，式子|x+l|+|x-2|的最

小值为3.

请你根据他们的解题解决下面的问题：

（1）当式子|x-2|+|x-4|取最小值时，相应的x的取值范围是,最小值是.

（2）已知y=|2x+8|-4|x+2|,求相应的x的取值范围及y的最大值.写出解答过程.

15.(1)|x+l|+|x-2|+k-3|的最小值？

(2)|x+l|+b・2|+|x-3|+|x-1|的最小值？

(3)\x-2|+|x-4|+|x-6|+-+|j-20|的最小值?

16.|x-l|+|x-2|+|x-3|十…十k-2。16］的最小值=

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参考答案与试题解析

一.解答题（共16小题）

1.有理数。、氏c在数轴上的位置如图：

a0bc

（1）判断正负，用或填空：b-c<0,a+b<0,c-a>0.

（2）化简：\a-c|+|6-c\+\b-a\-|a|-\a-c\.

【分析】（1）根据数轴判断出。、机。的正负情况以及绝对值的大小，然后作出判断即可；

（2）先判断出各式子的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后合并同类项即可.

【解答】解：⑴由图可知，aVO,OVbVc,且冏V|a|V|c|,

b-c<0,a+6<（）,c-a>0：

故答案为：V，<，>;

（2）Va<0,OVbVc,且|6|V|a|V|c|,

*»a-c<0,b-c<0,b-a>（j,a-c<0,

\a-c\+\h-c\+\b-a\-\a\-\a-c\,

=c-a+c-b+b-a+a+a-c,

=c.

【点评】本题主要考查了有理数的大小比较以及数轴的运用，解题时注意：在数轴上表示的两个有理数,

右边的数总比左边的数大.

2.阅读下列材料完成相关问题：已知4,b、C是有理数

（1）当。6>0,。+力<0时，求丁/■田勺值；

laiIbl

（2）当时，求J+4+：的值;

laiIblIcl

（3）当a+什c=0,McVO,卑卑谆与岸物勺值.

laiIblIcl

【分析】（1）先由必>0,a+b<0,判断a、b的正负，再求值；

（2）对如b、c的正负先进行讨论，然后再求值；

（3）由“+什c=0,变形尸？为-碧■-占+rJ的形式,根据"cVO分类讨论，计算

laiIblIcllaiIblIcl

出结果.

【解答】解：（1）•."仍>0,a-bVU,

第7页（共19页）

：.a<0,b<0

(2)当“、b、c同正时，1+1+1=3；

laiIblIcl

当4、b、c两正一负时，下1r廿2rs_二_=1+1-1=1：

laiIblIcl

当〃、b、c一正两负时，/J-1-1+1=-1：

laiIblIcl

当a、8、c同负时，下\-+TJT=-1-1-1=-3；

laiIblIcl

(3)・・・《+Hc=O,

b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c

•b+ca+ca+b

lai,lbIIcl

-a,-b,.c

工而nur

=・__■上+_^

lalIblIcl

XVabc<0»

・••当cVO,a>0,b>0时，原式=T

lalIblIcl

=-1-1-1=-3；

当c>0,。或〃为负时，原式=・令-A+金

lalIblIcl

=1-1+1=1.

【点评】本题考查了绝对值的意义、分式的商及有理数的运算等知识点.题目需要分类讨论，分类时注

意不重不漏.

3.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

•5~19A・id.i24

（1）数轴上表示4和I的两点之间的距离是3；表示-3和2两点之间的距离是一5；一般地，数

轴上表示数和数〃的两点之间的距离等于|〃L〃|.如果表示数。和-1的两点之间的距离是3,那么a

=-4或2.

（2）若数轴上表示数。的点位于-4与2之间，贝ij|a+4|+|a-2|的值为）；

（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点工,使得|工+2|+卜-5|=7,这些点表示的数的和是」

（4）当♦=1时,|。+3|+|。-1|+|〃-4|的值最小，最小值是7.

第8页（共19页）

【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；

（2）先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解；

根据两点间的距离的表示列式计算即可得解；

（3）找到・2和5之间的整数点，再相加即可求解；

（4）判断出。=1时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解.

【解答】解：⑴|1-4|=3,

|-3-2|=5,

\a-（-1）|=3,

所以，。+1=3或。+1=-3,

解得。=-4或。=2；

（2）•・•表示数a的点位于-4与2之间,

・・・a+4>0,a-2<0,

・・.|a+4|+|a-2|=（a+4）+[-（a-2）]=a+4-〃+2=6；

（3）使得|x+2|+|x・5|=7的整数点有・2,-1,0,1,2,3,4,5,

-27+0+1+2+3+4+5=12.

故这些点表示的数的和是12；

（4）a=\有最小值，最小值=|1+3|+|1-1|+|1-4|=4+0+3=7.

故答案为：3,5,-4或2；6；12；1；7.

【点评】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的

关键.

4.点46在数轴上分别表示有理数a,b.A,6两点之间的距离表示为月6,在数轴上月，6两点之间的

电离/8=|。-朴利用数形结合思想回答卜列问题：

（1）数轴上表示2和8两点之间的距离是/数轴上表示-2和8两点之间的距离是一10.

（2）数轴上表示无和-4两点4和4之间的距离表示为|x+4|；如果44=2,那么，=-6或-2.

（3）若点。表示的数为x,当点C在什么位置时，|上什1|+|工「1|取得的值最小，并直接写出最小值.

22

【分析】（1）利用两点间的距离公式得出两数所对应的两点之间的距离；

第9页（共19页）

（2）利用两点间的距离公式得出两数所对应的两点之间的距离，再解绝对值方程可求x的值；

（3）根据绝对值的几何意义，可得出-2和2之间的任何一点均满足题意.

【解答】解：（1）数轴上表示2和8两点之间的距离是8・2=6：数轴上表示-2和8两点之间的距离

是8・（-2）=10.

（2）数轴上表示x和-4两点力和4之间的距离表示为|x+4|：

•:AB=2,

：.\x+4\=2,

解得x=-6或-2；

（3）若点C表示的数为x,当点。在-2和2之间位置时，|iv+l|+|Av-1|=-L-+1-iv+l=2.

2222

故最小值是2.

故答案为：6,10；|x+4|,-6或-2.

【点评】本题考查了数釉，借助数釉可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有

关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实上,

\A-0表示的几何意义就是在数轴上表示数力与数4的点之间的距离.

5.探索研究：

（1）比较下列各式的大小：

I-2|+|3|>|-2+3|

2323

I-5|+|4|>|-5+4|

|0|+|-5|=|0-5|

中+田^牛

（2）通过（1）的比较，请你分析归纳出当a,匕为有理数时，同+|臼与|。+目的大小关系是

<3）根据（2）中你得出的结论，直接写出当园十5=次・5|时，x的取值范围.

【分析】（1）根据有理数的大小比较法则即可判断：

（2）通过观察（1）中结论，即可判断；

（3）利用（2）中结论即可解决问题；

【解答】解：（I）

|-2|+|3|>1-2+31

第10页（共19页）

|-5|+|4|>|-5+4|

|0|+|-5|=|0-5|

料”

故答案为>，=,>,=,=

(2)通过(1)的比较,请你分析归纳出当q,b为有理数时,\a\+\b\^\a+b\；

故答案为2.

(3)(1)当x与-5同号时，x|+5=|x-5|,

Ax<0,

(2)当x=0时，|x|+5=|x-5|,

・・・x=0.故答案为xWO.

【点评】本题考杳绝对值、有理数的大小比较等知识，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较法则，

属于中考常考题型.

6.已知|x+2|+|l・M=9・[y・5|-|l+H，求2A*・3y的最大值与最小值.

【分析】先将|"2|+|1-x|=9-[y-5|-|l+y|化为卜+2|+|1-x|+[>'-5|+|l+y|=9,由绝对值几何意义，当且仅

当-2«1,-10W5时，|r+2|+|l-x|+[y-5|+|1+^|=9,从而得到x+y的最大值和最小值.

【解答】解：・・・|x+2|+|l-x|=9”-5|-|l+y|,

・・・|x+2|+|l-x|+ly-5|+|l+M=9.

•・・(x+2|+|l-x|表示x至lj-2和1的距离之和，所以k+2|+|l-x|23,当且仅当-2WxWl时取等号，

・・・|x+2|+|l-x|的最小值为3.

•••伊・5|+|1+川表示》至1]5和-1的距离之和，所以八5|+|l+y|26,当且仅当・时取等号，

・••卜-5|+|l+y|的最小值为6.

.・.当且仅当-2&W1,・0W5时，|x+2|+|l-x\+\y-5\+\\+y\=9f

，当x=l,y=-1时，2x-3.”的最大值5,当x=-2,y=5时，2x-3y的最小值为-19.

【点评】本题主要考查了绝对值的几何意义也考查了讨论的数学思想.

7.(|x+l|+|x-2|)([y-2|+[y+l|)(|z-3|+|z+l|)=36,取x+y-z的最大值和最小值.

【分析】直接利用绝对值的性质得出:|x+l|+|x-2|^3,[y-2|+ly+l|23,|z-3|+|z+/|24,进而利用已知

得出答案.

【解答】解：・・・|x+l|+|x-2|23,

第11页(共19页)

…+[)»1]23,

|z-3|+|z+Z|24,

・•・(|x+Z|+|x-2|)(|y-2|+[>H-l|)(|z-3|+|z+/|)236,

V(|x+/|+|x-2|)(ly-2|+bH-l|)(|z-3|+|z+Z|)=36,

・・・|x+/|+|x-2|=3,\y-2\+\y+\\=3,|z-3|+|z+/|=4,

・・・-1WXW2,-gW2,-1-

/.-5^x+y-zW5,

故最大值5,最小值-5.

【点评】此题主要考查了绝对值，正确得出x,/z的取值范围是解题关键.

8.我们知道，IM表示.，在数轴上对应的点到原点的距离我们可以把|x|看作卜・0|,所以，b・3|就表示x在数

轴上对应的点到3的距离，\x+\\=\x-(-1)|就表示x在数轴上对应的点到-1的距离，日上面绝对值

的几何意义,解答下列问撅：

(1)求|x-4|+|x+2|的最小值，并写出此时x的取值情况；

(2)求|x-3|+|x+2|+|x+6|的最小值，并写出此时x的取值情况；

(3)已知|x-l|+|x+2|+/-3|+[y+4|=10，求2x+y的最大值和最小值.

【分析】(1)求|x-4|+W+2|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当-2WxW4时，卜-

4|+|x+2|有最小值；

(2)先找到中间点，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值情况：

(3)由于X-1|+户2|+|>，-3|+/4|=1()=3+7,可知-2WxWl,-4WyW3,依此得到2x+y的最大值和最

小值.

【解答】解：(1)|x-4|+|x+2|的最小值为4-(-2)=6,此时x的取值情况是-2WxW4；

(2)|x-3|+|x+2|+|x+6|的最小值为(-2+6)+0+(3+2)=9,此时x的取值情况是x=-2；

(3)V|x-l|+|x+2|+[y-3|+[y+4|=10,

・2WxWl,-4Wy03,

・・.2r+y的最大值为2Xl+3=5,最小值为2X(-2)+(-4)=-8.

故2x+y的最大值为5,最小值为-8.

【点评】考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，

有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实

上，|[-8|表示的几何意义就是在数轴上表示数力与数8的点之间的距离.这是一个很有月的结论，我

们正是利用这一结论并结合数地的知识解决了(2)(3)这两道难题.

第12页(共19页)

9.数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例：如图所示，点力、8在数轴上分别对应

的数为b,则4、8两点间的距离表示为|48|=|a-b|.

!11I!1I!1I：.

根据以上知识解题：

(1)若数轴上两点4、8表示的数为--1,

①45之间的距离可用含x的式子表示为|x+l|；

②若该两点之间的距离为2,那么x值为-3或1.

(2)|x+l|+|x-2|的最小值为3此时x的取值是一-10W2:

(3)已知(|x+l|+|x-2|)(ly-3|+|y+2|)=15,求x-2y的最大值.6和最小值-7.

【分析】(1)①根据题目已知中的力、8两点间的距离表示为|48|=|a-〃.即可解答；

②使①中的式子等于2,解出即可；

(2)求|x+l|+|x-2|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当・1WXW2时，|x+l|+|x-2|

有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值；

(3)由于(|x+l|+|x-2|)([y-3|+|y+2|)=15=3X5,可知-14W2,-2WyW3,依此得到x・2y的最

大值和最小值.

【解答】解：(1)①人"之间的距离可用含x的式子表示为|升1|；

②依题意有

k+1|=2，

x+\=-2或x+l=2,

解得x=-3或x=1.

故x值为-3或1.

(2)|x+l|+,-2|的最小值为3,此时x的取值是-1WXW2；

(3)V(|x+l|+|x-2|)(|y-3|+|y+2|)=15,

・•・-KW2,-2WjW3,

的最大值为2-2X(-2)=6,最小值为-1-2X3=-7.

故x-2y的最大值6,最小值・7.

故答案为：\x+11；-3或1；3,-1WXW2；61-7.

【点评】考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之,

有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实

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上，表示的几何意义就是在数轴上表示数力与数8的点之间的距离.这是一个很有月的结论，我

们正是利用这一结论并结合数地的知识解决了(2)(3)这两道难题.

x,(x>0)

10.阅读下列材料并解决有关问题：我们知道凶=<0,(x=0),现在我们可以用这个结论来化简含有绝

-x,(x<0)

对值的代数式，如化简代数式|x+l|+|x-2|时，可令x+l=0和x-2=0,分别求得x=-1,x=2(称-1,

2分别叫做卜+1|与|x-2|的零点值.)在有理数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复

且不遗漏的如下3种情况：

(1)当xV-1时，原式=・(x+1)-(x-2)=-2x+1；

(2)当-1WXW2时，原式=x+l-(x-2)=3；

(3)当x>2时，原式=x+l+x-2=2.I.

-2x+l,(x〈-1)

综上所述，原式=•3,(-l<x<2).

2x-l,(x>2)

通过以上阅读，请你解决以下问题：

(1)分别求出户2|和|x-4|的零点值;

(2)化简代数式|x+2|+|…|；

(3)求方程:|x+2|+|x・4|=6的整数解;

(4)|x+2|+|x-4|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由.

【分析】(1)根据零点值的定义即可求解；

(2)分三种情况讨论化简代数式|x+2|+|x-4|；

直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了.

(3)根据(2),可得整数解；

(4)把|x+2I+Ix-4|理解为：在数轴上表示x到-2和4的距离之和，求出表示-2和4的两点

之间的距离即可.

【解答】解：(1)・・・A2|和|x-4|的零点值，可令什2=0和x-4=0,解得x=-2和％=4,

・•・-2,4分别为卜+2|和|x・4|的零点值.

(2)当xV-2时，\x+2\+\x-4|=-2x+2；

当-2WxV4时，|x+2|+|x-4|=6；

当x24时，|x+2|+|x-4|=2x-2；

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(3)V|x+2|+|x-4|=6,

，-2WxW4,

工整数解为：・2,-1,0,1,2,3,4.

(4)|x+2|+|x-4|有最小值，

•・•当x=-2时，|x+2|+|x-4|=6,

当x=4时,|x+2|+|x-4|=6,

・・・|x+2|+|x-4|的最小值是6.

【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是能根据材料所给信息，找到合适的方法解答.

11.化简:|lv-3|+|3x-5|-|5x+l|

【分析】分四种情形化简即可.

【解答】解：①当xV-lw,原式=3-2x+5-3x+5x+l=9.

5

②当-工当寸，原式=3-2x+5-3x-5x-\=-10x+7.

52

③当旦WxV主对，原式=2r-3+5-3.v-5x-1=-6x+l.

23

④当昌寸，原式=2t-3+3x-5-5x-1=-9

3

【点评】本题考有绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型.

12.阅读下列材料并解决相关问题.

化简代数式|x+5|+|2x-3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如

年+5|,只要考虑x+5的正负，可以分为xV-5与5两种情况来讨论，这里的x=-5是使x+5=0

的x值，我们称它为x+5的一个零点.同理，对于2.「3,也有一个零点工=旦.为了同时去掉两个绝对

2

值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x<-5,-5WV旦，G旦进行讨论，这种令各个绝对值

22

内的代数式为0,找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”.

(1)填空：\x+5\+\2x-3|=----------------

(2)代数式|Ql|-2|+|x+l|的零点值有哪些?

(3)化简||x-l|-2|+|x+l|.

【分析】(1)分三个区间，分别化简即可；

(2)根据零点的定义，求出x的值即可：

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(3)分四个区间，分别化简即可;

-3x-2(x<-5)

3

【解答】解：(1)|,v+5|+|2x-3|=18"X(-5<，<彳),

3x+2(x>y)

(2)代数式|Q的零点值有：

x-1=0,x=1,

.v+1=0,x=-1,

\x-\\-2=0,x=3或-1,

综上所述，代数式||x-l|-2|+|x+l|的零点值有：x=±l或3.

<-2x-2(x<-l)

2x+2(-l<x<1)

⑶k12田叫(1<x<3)­

2x-2(x>3)

【点评】本题考查绝对值的化简、解题的关键是理解零点的应用，学会分区间化简绝对值，属于中考常

考题型.

13.阅读下列材料并解决有关问题：

\(x>0)

我们知道|x|=0(x=0)现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+l|+|x

-x(x<0)

-2|时，可令x+l=0和x-2=(),分别求得x=-1和x=2(称-1,2分别为卜+1|与|x-2|的零点值).在

有理数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

1:(2)-1«2；(3)xN2.从而化简代数式肘l|+|x-2叵分以下3种情况：

(1)当x<-1时°,原式=-(x4-l)-(x-2)=-2x+l：

(2)当-1WXV2时，原式="1-(x-2)=3；

(3)当x22时，原式=x+l+』・2=2x-1.

-2x+l(x<-l)

综上讨论，原式=<2(-l<x<2)

2x-l(x>2)

通过以上阅读，请你解决以下问题:

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（1）分别求出|x+2|和k-4|的零点值；

（2）化简代数式|x+2|+|x-4|；

（3）解方程仅+2|+枕・4|=8.

【分析】（1）令x+2=0,4=0求得x的值即可；

（2）分为xV-2、-2WxV4,x24三种情况化简计算即可；

（3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可.

【解答】解：（1）分别令x+2=0,x-4=0,解得：x=-2和x=4

所以K+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4；

（2）当xV-2时,原式=-（x+2）-（x-4）=-2x+2；

当-2WxV4时，原式=x+2-（x-4）=6：

当x24时，原式=x+2+x-4=2丫-2.

r-2x+2（x<-2）

综上讨论，原式=♦6（-2<x<4）

2x-2（x>4）

（3）当xV-2时，・2x+2=8,解得x=・3；

当x24时，2.2=8,解得：x=5.

所以原方程的解为x=-3或x=5.

【点评】本题主要考查的是化简绝对值，分类讨论是解题的关键.

14.小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：

“当式子|x+l|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是,最小值是3

小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了

小明说：“利用数轴可以解决这个问题

他们把数轴分为三段：x<-1,-lWx<2和x>2,经研究发现，当-1WXW2时，式子|x+l|+|x-2|的最

小值为3.

请你根据他们的解题解决下面的问题：

（1）当式