三年级奥数培优周期问题及解析版

第09讲周期问题

。【学习目标】

1.认识周期现象，理解周期、周期长度的含义，能准确判断简单周期问题中的循环规律和周期长

度，

2.学会运用观察、比较、归纳等方法找出周期规律，并能运用除法运算解决周期问题中的“求第

几个”、“求个数”、“求和”等基本问题。

3.能够运用周期知识解决生活中及奥数竞赛中常见的周期问题，包括图形排列、数列周期、日期

与星期儿等问题。

4.培养观察能力、分析能力、归纳推理能力以及简单的数学建模思想，提升解决实际问题的能力。

•知识梳理

军4市痼丽而豪营商场

1.周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律地重复出现，这种现象叫做周期现象。

例如：一年四季（春、夏、秋、冬）的循环；星期几（周一至周日）的循环；钟表指针的转动等。

2.周期：周期现象中，重复出现的部分称为周期。

3.周期长度：一个完整周期所包含的元素个数，称为周期长度（或“循环节长度

例如：△□。△□。△口。…这里的周期是周期长度是3o

知识点二、解决周期问题的一般步骤

1.找周期：仔细观察题目，找出重复出现的部分（周期），并确定周期长度To

2.算总数与周期数、余数：计算所研究的总数量N包含多少个完整的周期，以及余下多少个元

素。

公式：N+T=Q（商，表示完整周期数）……R（余数，表示余下元素个数，0WRVT）

3.根据余数判断：

（1）如果余数R=0,则所求结果是周期中的最后一个元素。

（2）如果余数RWU,则所求结果是周期中的第R个元素。

知识点三、基本考点与典型题型

L图形/符号排列的周期问题：给出一组按一定规律循环排列的图形、符号或物体，求第N个

是什么图形/符号/物体，或求某种图形/符号/物体出现的次数。

第1页共6页

2.数列（数字）排列的周期问题：给出一组按一定规律循环排列的数字，求第N个数是几，或

求前N个数的和是多少。

3.日期与星期几的周期问题：已知某天是星期几，求经过多少天后是星期几，或求某个H期是

星期儿（需注意平年、闰年二月天数，但三年级奥数可能简化处理，或给出具体月份天数）。

关健：一星期有7天，周期长度T=7o通常“今天”不算，从“明天”开始算第一天。

知识点四、解题技巧

1.耐心观察，找准周期：周期可能不是一眼就能看出，要仔细观察数列、图形或事件的变化规

律，多写出几组，直到发现重复的部分。

2.确定周期长度：一旦找到周期，务必数清楚一个周期内有多少个元素。

3.“算头算尾，，要分明：在计算总数量或天数时，要明确起始和结束是否包含在内，避免出错。

4.巧用余数：余数是解决周期问题的关键，要理解余数的含义，它表示在一个新的周期里，排

在第几位。如果没有余数，就是周期的最后一个。

5.多画图、列表，对于复杂一点的问题，画图或列表可以帮助直观理解和发现规律。

嘘例题讲解

'叠二WTWWi确朝而颠

【例题1】按照规律“△。□☆△。□☆△。□☆…”排列，第35个图形是什么？

【例题2】一组图形按“□△△。□△△。□△△。…”规律排列，前40个图形中，“△”出现了多少次?

第2页共6页

嚏二、数列（数字）排列的周期问题

【例题1】数列按“1,3,5,7,1,3,5,7…”规律排列，第46个数是多少？

【例题2】数列“2,4,6,2,4,6,2,4,6…'’中,前30个数的和是多少?

嗑三、日期与星期几的周期问题

【例题1】2024年5月1日是星期三，5月18日是星期儿?

【例题2】今天是星期二，从今天算起，第20天是星期儿?

/考点练习

/一、图形/符号排列的周期问题

1.符号排列规律：第52个符号是什么？

第3页共6页

2.图形按“••。☆••。☆•纱☆…”排列，前30个图形中,“•”和“。”共出现多少次?

3.按规律“▼全♦，▼♦♦会…”排列，第48个符号是什么？

4.图形排歹!J：“△△□□。△△□□。△△□口。…”,第67个图形是什么?

5.按排列，前25个图形中，“★”出现了多少次？

6.图形排列：“△△。□△△。口…”,前38个图形中，“△”比“。”多出现多少次?

/二、数列（数字）排列的周期问题

1.数列“5,0,5,0,5,0…”中，前28个数的和是多少?

第4页共6页

2.数列“3,1,4,1,5,3,1,4,1,5…”中,第53个数是多少？

3.数列“1,2,3,4,5,1,2,3,4,5…”中，前37个数的和是多少?

4.数列“1,0,1,0,1,0…”中，前50个数中“1”出现了多少次?

5.数列“3,I,2,3,1,2…”中，笫18个数是多少？前18个数的和是多少？

6.数列“0,1,2,0,1,2,0,1,2…”中，前44个数的和是多少？

,三、日期与星期几的周期问题

1.2023年6月1日是星期四，6月30日是星期几？

第5页共6页

2.已知7月5日是星期一，7月26日是星期儿?

3.某一年4月10日是星期日，4月25日是星期几?

4.今天是星期五，再过38天是星期几?

5.一个月中，1日是星期二，这个月有5个星期三，这个月最少有多少天?

6.已知5月15日是星期三，5月几日是上一个星期日？

第6页共6页

第09讲周期问题

。【学习目标】

1.认识周期现象，理解周期、周期长度的含义，能准确判断简单周期问题中的循环规律和周期长

度，

2.学会运用观察、比较、归纳等方法找出周期规律，并能运用除法运算解决周期问题中的“求第

几个”、“求个数”、“求和”等基本问题。

3.能够运用周期知识解决生活中及奥数竞赛中常见的周期问题，包括图形排列、数列周期、日期

与星期儿等问题。

4.培养观察能力、分析能力、归纳推理能力以及简单的数学建模思想，提升解决实际问题的能力。

•知识梳理

军4市痼丽而豪营商场

1.周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律地重复出现，这种现象叫做周期现象。

例如：一年四季（春、夏、秋、冬）的循环；星期几（周一至周日）的循环；钟表指针的转动等。

2.周期：周期现象中，重复出现的部分称为周期。

3.周期长度：一个完整周期所包含的元素个数，称为周期长度（或“循环节长度''）。

例如：△□。△□。△口。…这里的周期是周期长度是3o

知识点二、解决周期问题的一般步骤

1.找周期：仔细观察题目，找出重复出现的部分（周期），并确定周期长度To

2.算总数与周期数、余数：计算所研究的总数量N包含多少个完整的周期，以及余下多少个元

素。

公式：N+T=Q（商，表示完整周期数）……R（余数，表示余下元素个数，0WRVT）

3.根据余数判断：

（1）如果余数R=0,则所求结果是周期中的最后一个元素。

（2）如果余数RWU,则所求结果是周期中的第R个元素。

知识点三、基本考点与典型题型

L图形/符号排列的周期问题：给出一组按一定规律循环排列的图形、符号或物体，求第N个

是什么图形/符号/物体，或求某种图形/符号/物体出现的次数。

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2.数列（数字）排列的周期问题：给出一组按一定规律循环排列的数字，求第N个数是几，或

求前N个数的和是多少。

3.日期与星期几的周期问题：已知某天是星期几，求经过多少天后是星期几，或求某个日期是

星期儿（需注意平年、闰年二月天数，但三年级奥数可能简化处理，或给出具体月份天数）。

关健：一星期有7天，周期长度T=7o通常“今天”不算，从“明天”开始算第一天。

知识点四、解题技巧

1.耐心观察，找准周期：周期可能不是一眼就能看出，要仔细观察数列、图形或事件的变化规

律，多写出几组，直到发现重复的部分。

2.确定周期长度：一旦找到周期，务必数清楚一个周期内有多少个元素。

3.“算头算尾，，要分明：在计算总数量或天数时，要明确起始和结束是否包含在内，避免出错。

4.巧用余数：余数是解决周期问题的关键，要理解余数的含义，它表示在一个新的周期里，排

在第几位。如果没有余数，就是周期的最后一个。

5.多画图、列表，对于复杂一点的问题，画图或列表可以帮助直观理解和发现规律。

嘘例题讲解

'叠二WTWWi确朝而颠

【例题1】按照规律“△。□☆△。□☆△。□☆…”排列，第35个图形是什么？

【答案】口

【分析】观察图形排列，重复出现的周期是“△。口☆:周期长度为4。求第35个图形，需用35

除以周期长度，根据余数判断位置。

【详解】周期：“△。口☆”，周期长度=4。

计算：35:4=8（个完整周期）……3（余数）。

余数为3,对应周期中第3个图形“口”。

【例题2】一组图形按“□△△刖△△◊□△△5..”规律排列，前40个图形中，“4”出现了多少次？

【答案】20次

【分析】周期是周期长度=4（含1个口、2个△、1个。）。前40个图形包含完整周

期数=40:4=10个，每个周期有2个4,可直接计算总数。

【详解】周期：周期长度=4,每个周期中△的个数=2。

完整周期数：40-4=10（个）。

△总个数：10x2=20（次）。

布/八八U八

嚏二、数列（数字）排列的周期问题

【例题1】数列按“1,3,5,7,1,3,5,7…”规律排列，第46个数是多少？

【答案】3

【分析】周期是“1,3,5,r,周期长度=4。求第46个数，用46除以周期长度，根据余数判断。

【详解】周期：“1,3,5,7”，周期长度=4。

计算：46:4=11（个完整周期）……2（余数）。

余数为2,对应周期中第2个数“3”。

【例题2】数列“2,4,6,2,4,6,2,4,6…”中，前30个数的和是多少?

【答案】120

【分析】周期是“2,4,6”,周期长度=3,每个周期的和=2+4+6=12。前30个数刚好包含4个

完整周期，总和二周期数x周期和。

【详解】周期：“2,4,6”,周期长度二3,周期和=12。

计算:30-3=10（个完整周期）o

总和：10x12=120。

喧三、日期与星期几的周期问题

【例题1】2024年5月1日是星期三，5月18日是星期几？

【答案】星期六

【分析】周期长度=7（星期）。从5月1日到5月18日，经过的天数=18・1=15天（不包含5月

1日），用15除以7,根据余数判断星期几（星期三十余数）。

【详解】经过天数：18-175大。

计算：15+7=2（周）……1（天）。

星期三+1天=星期四？（修正：经过1天是5月2日星期四，15天是经过2周+1天，即星期三

+1二星期四，原答案错误，正确答案星期四）

【例题2】今天是星期二，从今天算起，第20天是星期几？

【答案】星期日

【分析】周期长度=7,包含起始日（今天）。周期顺序；星期二（第1天）、三（2）、四（3）、

五（4）、六（5）、日（6）、一（7）o第20天=20:7=2周...6天，对应周期第6天。

【详解】周期顺序：［星期二⑴,三（2）,四（3）,5（4）,六（5）,3（6）,一⑺］。

计算：20-7=2（周）6（天）o

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第6天对应“星期日”。

，考点练习

/一、图形/符号排列的周期问题

1.符号排列规律：第52个符号是什么？

【答案】■

【分析】周期是周期长度二5。求第52个符号，用52除以5,根据余数判断。

【详解】周期：周期长度二5。

计算：52・5=10（个完整周期）……2（余数）。

余数为2,对应周期中第2个符号”■工

2.图形按“••。☆••。☆••。☆…”排列，前30个图形中，“•”和“。”共出现多少次？

【答案】23次

【分析】周期是“••。☆=周期长度=4（含2个•、1个。、1个仝）。前30个图形包含7个完整

周期和2个余数，分别计算♦和。的个数再相加。

【详解】周期：“••。☆二周期长度=4。

计算：30:4=7（个完整周期）……2（余数，余下图形为。

每个周期中・+。=2+1=3次，7个周期：7x3=21次。

余数中・=2次,。=0次。

总次数:21+2=23次。

3.按规律”排列，第48个符号是什么？

【答案】，

【分析】周期是周期长度=4。第48个符号，48除以4商12余0,余数为0时对应周

期最后一个元素。

【详解】周期：周期长度=4。

计算：48-4=12（个完整周期）……0（余数）。

余数为0,对应周期最后一个符号

4.图形排列：“△△□□。△△□□。△△□口。…”，笫67个图形是什么?

【答案】△

【分析】周期是周期长度=5（含2个△、2个□、1个。）。求第67个图形，用67

除以5,根据余数判断。

第4页共8页

【详解】周期：周期长度二5。

计算:67-5=13（个完整周期）……2（余数）。

余数为2,对应周期中第2个图形

5.按排列，前25个图形中，“★”出现了多少次？

【答案】13次

【分析】周期是周期长度=4（含2个支、2个☆）。前25个图形包含6个完整周

期和1个余数，需计算周期内★的个数+余数中★的个数。

【详解】周期：周期长度=4,每个周期★的个数=2。

计算:25-4=6（个完整周期）……1（余数，余下图形为。

★总次数：6x2+1=13次。

6.图形排列：“△△。□△△。口…”，前38个图形中，“△叫匕“。”多出现多少次？

【答案】11次

【分析】周期是“△△<>□"，周期长度=4（含2个△、1个。、1个口）。前38个图形包含9个完

整周期和2个余数，分别计算△和。的总个数，再作差。

【详解】周期：口”，周期长度=4。

计算：38-4=9（个完整周期）……2（余数，余下图形为,

△总个数：9x2+2=20次；。总个数：9x1=9次。

△二匕。多：20-9=11次。

/二、数列（数字）排列的周期问题

1.数列“5,0,5,0,5,0…”中，前28个数的和是多少?

【答案】70

【分析】周期是“5,0”，周期长度=2,每个周期的和=5+0=5。前28个数包含14个完整周期，

总和=14x5=70。

【详解】周期：“5,0”，周期长度=2,周期和=5。

计算：28:2=14（个完整周期）。

总和：14x5=70。

2.数列“3,1,4,1,5,3,1,4,1,5…”中，第53个数是多少？

【答案】4

【分析】周期是“3,1,4,1,5”，周期长度=5。求第53个数，用53除以5,根据余数判断。

第5页共8页

【详解】周期：“3,1,4,I,5”，周期长度二5。

计算：53-5=10（个完整周期）……3（余数）。

余数为3,对应周期中第3个数“4”。

3.数列“1,2,3,4,5,1,2,3,4,5…”中，前37个数的和是多少？

【答案】108

【分析】周期是力,2,3,4,5”,周期长度=5,周期和=1+2+3+4+5=15。前37个数包含7个完

整周期和2个余数，总和=7x周期和十余数和。

【详解】周期：力,2,3,4,5”，周期长度=5,周期和二15。

计算：37+5=7（个完整周期）……2（余数，余下数为“1,2”）。

总和：7x15+（1+2）=105+3=108o

4.数列力,0,1,0,1,0…”中，前50个数中力”出现了多少次?

【答案】25次

【分析】周期是力,0”,周期长度=2,每个周期力”出现1次。前50个数包含25个完整周期，力”

的次数=25x1=25次。

【详解】周期：“1,0”，周期长度=2,每个周期“1”的个数=1。

计算：50-2=25（个完整周期）。

“1”的总次数：25x1=25次。

5.数列“3,1,2,3,1,2…”中，第18个数是多少？前18个数的和是多少?

【答案】2；36

【分析】周期是“3,1,2”，周期长度=3,周期和=3+1+2=6。第18个数：18+3=6余0,对应周

期最后一个数；前18个数和=6x周期和。

【详解】周期：“3,L2”，周期长度=3,周期和=6。

第18个数：18+3=6（余0）,余数0对应周期最后一个数“2”。

前18个数和:6x6=36o

6.数歹U“0,1,2,0,1,2,0,1,2…”中，前44个数的和是多少？

【答案】43

【分析】周期是“0,1，2”，周期长度=3,周期和=0+1+2=3。前44个数包含14个完整周期和2

个余数，总和=14x周期和+余数和。

【详解】周期：“0,1,2”,周期长度=3,周期和二3。

弟6贝共8贝

计算：44-3=14（个完整周期）……2（余数，余下数为“0,1”）。

总和：14x3+（0+1）=42+1=43。

/三、日期与星期几的周期问题

1.2023年6月1日是星期四，6月30日是星期几？

【答案】星期五

【分析】6月有30天，从6月1日至1」30日共30天，经过天数=30-1=29天（不包含6月1日）。

29，=4周……1天,星期四+1天=星期五。

【详解】经过天数：30-1=29天。

计算:29-7=4（周）……1（天）。

星期四+1天