巧作辅助圆解题（隐圆问题）【5大题型】（解析版）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

巧作辅助圆解题（隐圆问题）【5大题型】

题型归纳

【题型1定点定长模型】........................................................................2

【题型2对角互补模型】........................................................................5

【题型3定弦定角模型】........................................................................9

【题型4定角定高模型（探照灯模型）】........................................................15

【题型5最大张角模型（米勒定理）］..........................................................31

举一反三

类型一定点定长模型

如图，若尸为动点，且。4=0B=0P,则力、B、尸三点在同一个圆上.

类型二对角互补模型（四点共圆模型）

如图①，在四边形48C。中，/-ABD=^ACD（也满足乙18C+//0C=180。）.如图②，在四边形48CD

中，/.ABC+/.ADC=180°.

结论：点八、8、C、。在同一个圆上.

类型三定弦定角模型

己知弦48与顶角乙。均为定值，则：

（1）如图①，当NC<90。时，弦48与点C在圆心异侧，点C的运动轨迹为旖；

（2）如图②，当乙C=90。时，弦力8为直径,点C的运动轨迹为整个OO（不包含/I、B两点）；

1/42

（3）如图③，当NC>90。时，弦力4与点C在圆心同侧，点C的运动轨迹为而.

类型四定角定高模型（探照灯模型）

如图，直线BC外一点4,4到直线8c的距离分为定值（定高），4BAC为定角，则由力、B、。三点可作

出一个圆.

结论：即当点4、。、“共线时，圆的半径。力取最小值，8c取最小值.

类型五最大张角模型（米勒定理）

如图，点/、4是NMON的边ON上的两个定点，点C是边0M上的动点，则由/、B、C三点可作出一个

结论：当且仅当三角形43c的外接圆与边相切于点C时，乙ACB最大.

【题型1定点定长模型】

【例1】如图所示，四边形ABCD中，DCHAB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为（）

A.\[\4B.y[\5C.372D.2岳

【答案】B

【详解】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交OA于F,连接DF.

2/42

•,-AB=AC=AD=2,

.--D.C在圆A上，

vDCHAB,

.•.弧DF=MBC,

.--DF=CB=1,BF=AB+AF=2AB=4,

vFB是OA的直径，

.­•ZFDB=90°,

■••BD=VB尸2-D尸2=Vis

故选B

【变式皿】如图，在中，LACB=90°,48=60。，BC=3,将△48C绕点C逆时针旋转到△EDC

的位置，点8的对应点。首次落在斜边AB上，则点4的运动路径的长为.

【答案】V37T

【分析】本题考查了旋转变换，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明△BCD是

等边三角形.

首先证明ABC。是等边三角形，再根据弧长公式计算即可.

【详解】解：•••在中，LACB=90°,乙B=60。，

心=90°一48=30°,

.-.AB=2BC=6,

••AC—7AB2—BC?—76?—32—3^3»

由旋转的性质得=CE=CA=373,CB=CD,

3/42

•zB=60°,

.•.△BCD是等边三角形，

.-./.BCD=60°,

.'.Z.ACE=乙BCD=60°,

.••点A的运动路径的长为笔普=V37T.

LoU

故答案为：V37T.

【变式1-2］如图，已知/4=力。=/。，乙CBD=2乙BDC,N84C=44°,则4。。的度数为

【详解】解：38=彳。=皿

••・&C,。在以/为圆心，力8为半径的圆上，

:•乙CAD=2乙CBD,乙BAC=2乙BDC,

•:乙CBD=2乙BDC,乙夕力C=44°,

：.Z.CAD=2ABAC=88°.

故答案为：88°.

【变式1-3］如图，在矩形4BCD中，AB=5,4D=4,M是边,4B上一动点（不含端点），将△4DM沿直

线DM对折，得到当射线CN交线段于点P时，连接DP,则△COP的面积为:0P的

最大值为.

【答案】102V5

【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面枳关系分析求解：

（2）结合勾股定理分析可得，当AP最大时，0P即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定4P

的最值，从而求得。。的最大值.

4/42

【详解】解：由题意可得勺面积等于矩形MCD的一半,

△COP的面积为-71D=1X4X5=10,

在RtZXAP。中，PD=2+4户2,

•••当4P最大时，。。即最大，

由题意可得点N是在以。为圆心4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，4P最大，止匕时C、N、M三

点共线，如图：

APGW)B

Nc

由题意可得：AD=ND,Z-MND=/.BAD=Z.B=90°,

...乙NDC+乙DCN=90°,乙DCN+乙MCB=900,

心DC=乙MCB

-AD=BC,

:.DN=BC,

△NUC三△BCM,

...CN=BM=y/CD2-DN2=3,

:.AP=AB-BP=2,

在Rt△力P。中，PD=迎£)2+AP2=5/42+22=2V5,

故答案为：10,2V5.

【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性

强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键.

【题型2对角互补模型】

【例2】如图所示，在等腰直角三角形力8c中，L.C=90°,AC=BC=4t点。为斜边48的中点，E是力。上

一动点，过点。作。?垂直于。E交8C于点F,连接EF,则EF的最小值是.

5/42

【答案】2V2

【详解】如图，可知乙ACB和4EDF互补,

所以E、C、F、D四点共圆，EF为直径.

连接CD,

易得AB=4&,CD=2>/2,

当CD为直径时，圆最小，EF也最小，

所以EF的最小值为2企.

【变式2-1】如图，弦CD在以4B为直径的半圆。上滑动，M是CD的中点，CE1ABF点E.若弦CD始终保持与

半圄。的半径相等，则/CEM的度数为.

【答案】30°

【详解】如图，连接OC,OD,OM.

vOC=OD,M是CD的中点，

•••0M1CD,CM=DM.

vCE1AB,

•••zOEC=zOMC=90°.

.••C,M,0,E四点共圆，且OC为圆的直径，CM为圆的一条弦.

ZCEM=ZCOM.vCM=DM,CD=OC,

6/42

.•.CM=10C.易得乙COM=30°.

，/CEM=30°.

【变式2-2】如图，将△式BC绕点A旋转至△48'C',使得8',C,B共线.若AC=2,乙IBC=30。,则CC'的

长为.

【答案】2V3

【详解】解：如图，过点A作AH1CC于H,

v将△ABC绕点A旋转至△AB'C',

AC=AC'=2,zACB=

•••/AC'B'+ZBC'A=180°,

・••/ACB+zBC'A=180°,

•••点A,点C,点B,点C四点共圆,

••./ABC=ZAC'C=30°,

vAC=AC\AHICC,

7/42

CC,=2CH,AH=1AC*=1,CH=V3AH=技

•••CC=2V3,

故答案为：2V3.

【变式2・3】如图，在四边形力BCD中，^ABC=LADC=90°,£是小。的中点，尸是8。的中点，若

Z.BAC=15°,Z.DAC=45。，CD=4,则EF的长为（）

A.V2B.2V2C.2D.2V3

【答案】A

【详解】连接BE,ED,如图，

vzABC=zADC=90°,且E为AC中点,

•••BE=1AC,DE=|AC,

:.BE=DE,

•♦,F为BD中点，

,EF1BD,

vzABC=ZADC=90°,

■•.A,B,C,D四点共圆,

vzBAC=15°,zDAC=45°,

ZBAD=60°,

AZBED=2ZBAD=120°,

ZFDE=ZFBE=30°,

8/42

：•EF=-DE,

在△ADC中，ZDAC=45°,ZADC=90°,

ZDCA=ZDAC=45°,

AD=CD=4,

由勾股定理得AC=VCD2+AD2="2+42=4V2,

...DE=1AC=2x/2,

•••EF=^DE=V2,故选A.

【题型3定弦定角模型】

【例3】如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1,点夕在以斜边48为直径的半圆上，M为PC的中

点，当点尸沿半圆从点力运动至点4时，点"运动的路径长是.

【答案】争r

【分析】取48的中点。、4C的中点品8C的中点F,连接OC、OP、OM、OE、OF、EF,可得四边形CEO/

是正方形，由OP=O。得QM1PC,则可得点M的运动路径，从而求得路径的长.

【详解】取AB的中点。、AC的中点E、8c的中点F,连接OC、OP、OM、OE、OF、EF,如图,

9/42

A

M

EO

CFB

则OEIIBC,且==OF\\ACtOF=\AC=1,

•••四边形CKO”为平行四边形，

•:AC=BC,乙1C8=90。，

•••四边形CEOF为正方形，

.-.CE=CF=1,EF=OC,

由勾股定理得：EF=OC=

•.•在等腰中，AC=BC=1,

.,.AB=\/2BC=x^2,

,-.OC=\AB=OP=加=与

••・M为PC的中点，

:.OM1PC,

"CMO=90°,

・•.点M在以。C为直径的圆上，

当点P点在点A时，M点在E点；点P点在点8时，M点在F点、,

••.M点的路径为以E尸为直径的半圆，

•••点M运动的路径长二J.TT•4=4Tl.

224

故答案是：生.

【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及

正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点.

【变式3-1］如图，△ABC为等边三角形，AB=3.若"为内一动点，且满足=41CP,则线

10/42

段PB长度的最小值为（）

A.1.5B.V3C.p/3D.2

【答案】B

【分析】由等边三角形的性质得出乙18C=48AC=60。，AC=AB=3,求出乙APC=120。，根据同弧所对

的圆周角相等可知，点。的运动轨迹是前，当0、P、8共线时，P8长度最小，由等边三角形的性质得出

AD=CD=\AC=I，^PAC=AACP=300,求出P。和80的长，可得尸B的长，即可得出答案.

【详解】解：•••△/!"是等边三角形，

zLABC=Z-BAC=60°,,

vLPAB=Z.ACP,4PAC+Z.PAB=60°

LPAC+LACP=60。，

•••Z.APC=120°,

•••点P的运动轨迹是前，

设尼所在圆的圆心为O,当。、P、〃共线时，P8长度最小，

此时P4=PC,OBA.AC,

^\AD=CD=^AC=I，APAC=LACP=30°,ZLABD=^Z.ABC=30°,

.­.PD=^AP,AD=\AB=I，

由勾股定理得：AD=7Ap2-PDZ=MPD=1,BD=，力勾2一巳。2=J32一(|丫=苧,

•••PD=容BD=乎，

11/42

：.PB=BD-PD=晅一叵=4

22

故选：B.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，同弧所对的圆周角相等,三角形内角和定理、勾

股定理等知识，作辅助线构建圆是解决问题的关键.

【变式3-2］）如图，在△ABC中，AC=6,BC=873,乙4cB=60°,过点4作8c的平行线，，P为直线2上

一动点，O。为△力PC的外接圆，直线8P交。。于E点，贝口E的最小值为.

【答案】2

【分析】如图，连接首先证明28EC=120。，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，M8为半径的前

上运动，连接A/力交前于此时ZF的值最小.

•••4PII4C,

•••△"C=ZJC8=60°,

••/CEP=ACAP=60",

.•.Z5£C=12O°,

BC=8百，为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧

如图，点石在以M为圆心，必8为半径的而上运动，过点M作MNJ.BC

12/42

AP

•••0M中优弧配度数为2/BEC=240。，则劣弧觉度数为120。

.••△8WC是等腰三角形，Z^WC=120°,

•.Z8CW=3O°,BC=8。MB=MC

--------------厂1l

:.BN=7BM2-MN2==遮MN=-BC=46

・•・连接MA交近于£,此时的值最小.

“C8=60°,48co=30°,

••.Z^CM=90°,

:.MAZMC2+40=，82+62=10,

••./E的最小值为=10-8=2.

故答案为：2

【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等

知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题.

【变式3・3】已知NMON=a，点48分别在射线。M,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

⑴如图①，若a=90。，取力8中点。，点46运动时，点。也随之运动，点A,B,。的对应点分别为

A'BD，连接判断。。与。。有什么数量关系?证明你的结论:

13/42

⑵如图②，若a=60。，以45为斜边在其右侧作等腰直角三角形NBC,求点。与点C的最大距离：

⑶如图③，若a=45。，当点48运动到什么位置时，△NOB的面积最大?请说明理由，并求出AAOB面

积的最大值.

【答案】（1）。。=。。'，证明见解析

（2）373+3

⑶当OA=OB时，△力。8的面积最大：理由见解析，△NOB面积的最大值为9或+9

【分析】（1）根据"直角三角形斜边中线等于斜边一半"可得。片段,进而得出结论：

（2）作△力（用的外接圆/,连接C/并延长，分别交。/于。和D,当O运动到O,时，OC最大，求出

和等边三角形上的高O'。，进而求得结果；

（3）以44为斜边在其右侧作等接直角三角形48C,连接OC交于点7,在07上取点£,使OE=BE,

连接BE,由（2）可知:当0cl时，OC最大，BT=3,当0力=。6时，480022.5。，此时OT最大，根据

等腰三角形的性质可得乙。8£=乙80。=22.5。，由外角的性质可得乙8ET=45。，WJET=BT=3,利用勾股定理可得

0E,由or=OE+E7可得or,然后根据三角形的面积公式进行计算.

【详解】（1）解：0D=0D\证明如下：

•••乙408=a=90。，中点为。，

。0=%8,

为AB'的中点，/.A'OB'=a=90°,

：.0D'=Y'B"

AB=A'

：•OD=0Df；

（2）解：如图1,

作的外接圆/,连接a并延长，分别交。/于。和

当。运动到O'时，OC最大,

此时A4O8是等边三角形,

14/42

4（7=48=6,

0C以人=。。'=。。+。0'448百8。'=3+3仃；

(3)解:如图，当点儿〃运动到04=0〃时，AJO8的面积最大，证明如下：

以转为斜边在其右侧作等腰直角三角形力8C,连接。。交居于点7,在。「上取点£,使OE=BE,连接

BE,

由（2）可知，当OCL48时，OC最大，

・••等腰直角二角形43。，AC-BC,々106-90。，

又OCLAB于T,

:.TC=AT二BT《AB=3,

•：OC=OT+CT=OT+3,

.•.当。力=。8时，此时。丁最大，即。。最大，

:AAOB的面积最大，

"BOT=^AOB=22.5°,

-OE=BE,

.-.^OBE=Z.BOC=22.5°,

：•ABET=乙OBE+乙BOC=45°

•••OT1AB

•••LEBT=90c_乙RET=45"

LEBT=乙BET=45°

...ET=BT=3,0E=BE=JE72+BF=3口

•••OT=OE+ET=3V2+3

综上，当点48运动到。力=。5时,△力08的面积最大，△力。8面积的最大值为^乂6乂（3&+3）=9V2

19.

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【点睛】本题考杳了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌

握“定弦对定角〃的模型.

【题型4定角定高模型（探照灯模型）】

【例4】辅助圆之定角定高求解探究

图①图②

⑴如图①，已知线段48,以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；

（2）如图②，在△4BC中，AACB=60°,CD为AB边上的高，若CD=4,试判断是否存在最小值，若存

在，请求出4。最小值；若不存在，请说明理由；

⑶如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形48。。中，4/1=45。,

48=乙。=90。，CB=CD=6V2,点E、尸分别为力B、力。上的点，若保持CEJLCF,那么四边形HEC尸的面

积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析

（2）存在，竽

⑶存在，144

【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可.

（2）如图2中，作△/8c的外接圆O。，连接04,OB,OC,作0EJ.48于E.设。4=OC=2x.求出工的

最小值即可解决问题.

（3）如图③中，连接AC,延长8c交力。的延长线于G,将aCOF顺时针旋转得到△C3H,作△CEH的外接

圆。。.由（2）可知，当的外接圆的圆心。在线段8C上时，的面积最小，此时四边形AFCE

的面积最大.

【详解】（1）解：如图①中，A/IBC即为所求.

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c

(2)存在，埋由如下，

如图②中，作△力8C的外接圆。0,连接。4OB,0C,作。E1/1B于反设。力=0C=2x.

图②

vLAOB=2/.ACB=120°,OA=OB,OE1AB,

AE=EB,/,AOE=乙BOE=60°,

OE=^OA=x,AE=V3x,

•••OC+OE>CD,

3x>4,

・•・x的最小值为g，

■:AB=2A/3X.

.MB的最小值为华.

(3)存在，理由如下，

如图③中，连接力C,延长BC交4D的延长线于G,将△CD尸顺时针旋转得到△CBH,作△(?£7/的外接圆

00.

17/42

VLADC=LABC=90°,AC=AC,CD=CB,

...以△4CDwRtZ\AC8(HL),

,,,^^ACD=SaACB，

VZ-DAB=45°,

LDCB=135°,

LDCG=45°,

•.ZDG=90。，

CD=DG=6或，

•••CG=V2CD=12,

/.AB=GB=12+6\/2,

由(2)可知，当△CEH的外接画的圆心。在线段RC上时，的面积最小，此时四边形4尸CE的面积最

大，

设OC=O£=r,则OB=EB=*,

r+浮=6仿

r=672(2-V2),

EH=y/2r=12(2-V2),

••・四边形A/CE的面积的最大值=2x1x(12+60x6>/2-1x12(2一伪X6鱼=144.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解宜角三角形，最值问题等知识，解题的关键

是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

【变式4-1】在直角△48。中，乙48C=90。，Z.ACB=60°,点D是△ABC外一点、,连接4D,以4。为边作

等边△40几

18/42

图1图2图3

⑴如图1,当点尸在线段BC上，即交AC于点且AF平分N8AC,若所=遍+鱼，求△4DM的面积；

（2）如图2,连接尸8井延长至点£,使得FB=8E,连接CE、DE.CD,证明：DE=MCD；

⑶如图3,旋转△力DF使得。尸落在41BC的角平分线上，M、N分别是射线8c上的动点，且始终满足

乙MDN=60。,连接MN,若BC=&,请直接写出△MDN的面积最小值.

【答案】⑴3+V5；

⑵见解析：

⑶巧

【分析】（1）过点M作MN1AD交AD于点N,设DN=a,则MN=AN=V3a,AD=AN+ND=y/3a+a=

V6+V2>解得Q=&，从而求得=；x4。xNM=3+乃：

（2）延长C8至M,使得8c=8M,连接M4MF,证AECB三△"MB,/\MAF^ACAD,则

乙ECD=120°,CE=CD,从而证得DE=V3CD；

（3）过点。作于点〃，过点。作0G1BC于点G,过点。作DKJ.OM交BC延长线于点K,证

△HDM三AGDK,运用定角定高模型进行分析.

【详解】（1）解：如图1，过点“作MN_L/1O交力。于点M

图1

是等边三角形，AF=V6+V2,

.,.AD=AF=V6+y/2.

•.•在直角△48。中，AABC=90°,^ACB=60°,

19/42

^BAC=30°,

•••力尸平分/BAC,

=^BAC=15°,

•.•△■OF是等边三角形，

:.LFAD=Z.ADF=60°,

.•ZMAO=乙FAD-4FAC=60°-15°=45°.

设DN=a,

-MN1AD,Z.ADF=60°,

.'.MN=\[^a,

■：MNLAD,Z.MAD=45°,

:.MN=AN=y/3at

.,.AD=AN+ND=y/3a4-a=V6+V2,

.♦.a—yf2,.

故=IX/IDx/VM=|x(^+V2)XV3a=©吸.=3+再.

(2)证明：如图2,延长CB至M,使得8C=8M,连接M4MF,

在△£C3与△FM8中，

BC=BM

•••LEBC=乙FBM,

EB=BF

△ECF=AFM5(SAS),

:.MF=EC.

-AB1BC,BC=BM,

=AC,

20/42

-LACB=60°,

是等边三角形，

=AC,L.MAC=60°.

•••△4FO是等边三角形，

•.AF=AD,Z,FAD=60°,

.-./.MAC-4FAC=/.FAD-乙FAC,

即=力。.

在CAMF与△AC。中，

(AM=AC

-ALMAF=A.CAD,

IAF=AD

△MA/7三△C4D(SAS),

；.MF=CD.

•:MF=EC,

：.CD=EC.

设“CM=a,则4ACE=60°-a,

:.乙CMF=乙ECM=a,^ACD=LAMF=60°4-a,

：.LECD=Z-ECA+Z.ACD=60°—a+60°+a=120°,

"CE=CD,

:.DE=y[3CD.

(3)解：如图3,过点、D作DH1AB于点、H,过点。作。GJ.BC于点G,过点。作OK-LOM交8C延长线于

图3

；NA8C=90。，BD平分乙ABC,DHLAB,DGLBC,

21/42

训边形D"8G是正方形，

"HDG=90°,

•:乙MDN=60°,

••ZHDM+乙NDG=30°,

•.♦OKJ.OM,4MON=60。，

.•.4GOK+乙NOG=30。，

.••△"DM=乙GDK,

在CHOM与△GDK中，

(乙MHD=Z.KGD

•••DH=DG,

(£HDM=乙GDK

.••△HDMwAGDK(ASA),

••.DM=DK.

在。中，

-Z-ABC=90°,^ACB=60°,BC=g

.'.AB=后，

"ABD=45°,Z-ADB=60°,AB=布，

过点力作力Q•LB。于点。，

:.BQ=V3=4Q,DQ=1,

：.BD=V3+1,DG=争D=返竽D.

对干△DNK,DG=阳乎+i),

“MDN=60°,

,:SAMDN=曰DN.DM，

二当SAMDN=孚OMDM有最小值时，即DN-DM最小，

4

•••DM=DK,

最小，也即DN-DK最小.

,:DG=遮嗖*z_NDK=30°,

当OG过aONK外接圆圆心时，NK有最小值，即S^NK有最小值，也即D/V-DK有最小值，此时DN=DK,

22/42

•:DM=DK,DN=DK,

：.DN=DM,

即当AMON是等边三角形时，aMON的面积最小，为苧X/)N2.

此时，由图形对称性可得，DN=AD=2,

故△MDN的面积最小值为百.

【点睛】本题是图形综合题，考查了全等二角形的判定和性质，等边二角形的判定与性质，等腰二角形的

判定与性质，勾股定理，定角定高模型，综合运用以上几何性质是解题关键.

【变式4-2】问题提出：

(1)如图①，AAOB与aOCD均为等边三角形，点。在OA上，点、D在0B上,固定△AOB不动，△OCD

绕点O逆时针旋转，当0C〃/1B时，则旋转角。=.

图①

问题探究：

(2)如图②，已知点力是直线/外一点，点4、。均在直线/上，401/垂足为。且4n=6,

Z.BAC=60°.求△4BC面积的最小值.

图②

问题解决：

(3)如图③，是某市"城市花卉公园〃的设计示意图，已知四边形4BCD为矩形，4D边上的点石为公园入匚I,

力£=4近千米，48边上的点尸为休息区，8F=8千米，4F=4近千米.公园设计师拟在园内修建三条小

路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉.其中GC为消防通道，/G和FH为两条观光小路(小路宽

度不计，G在CE边上，〃在BC边上)，根据实际需要4G/H=75。，々CEO=45。，点8为园区内的花卉超

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市，游客可乘车由入口E经观光路线EGTGFT尸到花卉超市4购买不同品种花卉为了快捷、环保和

节约成本，要使观光路线£6+6尸+尸，+”8的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出

EG+GF+FH+HB的最小值：若不能，请说明理由.

图③

【答案】（1）60°+。180°（k是自然数）；（2）12仃；（3）可以实现，16百千米.

【分析】（1）根据旋转的性质和平行线的性质求解即可：

（2）作△4Z7C外接圆OO,圆心为O,半径为，，连接40、BO、CO,过点。作。于点根据圆

周角性质和30。角直角三角形性质，可得。£=夕，0A+0E>AD,当r+夕=6时三角形的面积有最小值,

计算出三角形面积的值即可；

（3）当NEk=0。，Z.EFG=60°,ZJETG=3O。时，根据特殊角函数值得出观光路线长度分别为24+8痣千

米、24+8旧千米、16百千米，当0。</-EFG<30。或30。<乙EFG<60。时，可证观光路线长度大于16©

千米，通过比较得出最小值.

【详解】（1）过点O作KF%8,如图1,

•••△OCO,△048是等边三角形，

:•乙COD=ZX）AB=乙OBA=60°,

-EF//AB,

•••4£。。=4。48=60°,乙FOD=COBA=6U°,

让△OC0绕点O逆时针旋转，当OC与OE重合时，旋转角《=50。+k360。（我是自然数），当OC与OF

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重合时,旋转角”=240。+h360。+是自然数）；

综合两种情况，旋转角。=60。+・180。（〃是自然数）；

故答案为：60。+上180。（A是自然数）；

（2）作△4BC外接圆OO,圆心为O,半径为八连接力0、BO、CO,

•••48力C=60°,

•-400=120。，OB=OC,

:•乙OBC=^OCB=30°,

过点。作。及L8C于点£设半径为八则0E=》，BE=CE=^r,

•：OA+OE>AD,当/、0、E与力力共线时，OA+OE=AD/有最小值,

即7+1=6,解得r=4,

•♦.BE=曰r=2V3,

-BE=CE（三线合一），

,SMBC=^^,BAE+S^CAE=万x6x2V5gx6x2v5=12v5

△ABC面积的最小值为12vl

（3）设计师的想法能实现，最短观光路线距离为1675T・米.

分四种情况讨论，第一种：当点G和点£重合时，/-EFG=0°,如图，

•ME=4加千米，力尸=4企千米，z/1=90°,

25/42

，EF=8千米，Z.AFE=LAEF=45°,

•:乙GFH=75°,

33FH=180°-/.AFE-乙GFH=180°—45°-75°=60°,

•.♦BF=8千米，

:.FH=16千米，BH=84千米，

,-.EG+GF+FH+HB=0+8+16+873=24+873（千米）：

第二种情况，当乙取访二60。时，点”和点8重合，如图，

vzeZ-D=45°,Z/4Z7F=45°,

"EF=90°,

vZEFG=60°,EF=8千米，

•••EG=8四千米，GF=16千米，

:.EG+GF+FH+HB=8y[3+16+8+0=24+873（千米）：

第三种情况，当乙£7访=30。时，如图，

MEFG=30°,

:/BFH=180°-LAFE-LEFG-乙GFH=180°-45°-30°-75°=30°,

•.♦EF=Br=8千米，

:.EG=千米，GF=yV3千米：FH=挤醒千米，HB=米，

.-.EG+GF+FH+HB=y3+yV3+yV3+p/3=16V3（千米）：

第四种情况，当0。＜/£7许＜30。或30。＜乙5凡；＜60。时，如图，

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当卜<ZfcFG<3U。时，设=3U\=3Uj作点〃关于直线C”的对称点”',

根据轴对称图形性质，观光路线EG+GF+FH+HB=EG+GF+FH'+H'E,

EG+GF+F"，+/T£^[IEGI+GIF+FHI+HIB=166（千米）比较距离大小，

先比较EG+EH'^\EGX+H$,

EG+EH'=EG1一GGi+g4-GH）,

以点尸为中心，分别以FG、FGi为半径画圆，交FH，于点M、N,局部放大如图，

根据对称性质，乙GFGi=LGiFH',

在NGGi和△?”叫中，

(FGi=FGi

△GFGi=乙G\FH'

(FG=FM

△FGGi=△FMGi(SAS),

、

:QG=GM,Z,GGiF=Z.MGXF=60°,

••"GiM=60°,

在直角E中，乙EFW>30。,

"GiHM<60°,乙GiMH，>60°,

即H0>GGi

〔

:.EG+EH'=EGi-GGX+(EG[+GW)>EGX+HB,

再比较先比较FG+F”和FGi+H/,

FG+FH'=FN-MN+(FN4-HW),

。,

在等腰△FG/中，Z.GXFH'<300,4FG1M=60

乙乙

.-.15°<Z-NGXM<30°,HG]N>MG]N,

27/42

•:HQ>MGi，

：HN>MN,

:.FG+FH'=FN-MN+(FN+H'N)>FGX+FHlf

这两种角度属于同一种情况，

:.EG+GF+FH+HB>16百千米.

综上比较各数据，观光路线EG+GF+FH+有最小值16百千米.

【点睛】本题考查了旋转的性质，点到直线的距离，用勾股定理解三角形，轴对称，综合运用旋转的性质

及三角形边角关系是解题关键.

【变式4-3】问题提出

(1)如图①，在AIBC中，LACB=90°,Z.CAB=60°,4E平分/。4氏AC=473,则点E到48的距离为

问题探究

图①图②图③

(2)如图②，△4BC中，ZC=90°,44=60°,8C=2K，点。为斜边力B上一点，且NEDF=90。，Z-EDF

的两边交4c于点E,交BC于点F,若。E=D凡求四边形DECF的面积.

问题解决

(3)市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，△48。为赏花园的大致轮廓，并将货花

园分成ABED、△£)”和四边形4EDF三部分，其中在四边形4EDF区域内种植36百平方米的月季，在

△BED和两区域种植薰衣草，根据设计要求：乙84。=120。，点。、E、F分别在边BC、AB,"上,

且DE=DF,^EDF=60°,为了节约种植成本，三角形赏花园W8C的面积是否存在最小值，若存在，请求

出△力BC面积的最小值；若不存在，请说明由.

【答案】(1)4；(2)12-6V3；(3)14473

【分析】(1)如图①中，作于H.证明△4EC三△力EH(AAS),推出4c="〃=46，EC=EH,

设EC=E，=x,在RtZkEHB中，^EH2+BH2=BE2,构建方程即可解决问题.

(2)如图②中，作0MJ.8C于M,DN上AC于N,连接CD.△DN尸三△OME(AAS),推出ON=OM,

S四立形DECF=S四边形DNCM，再利月面积法求出OM,ON的长即可解决问题•

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(3)存在.如图③中，作DM1AB于M,DN1.AC于N.利用全等三角形的性质证明力。是角平分线，求出

的值，由△ABC中，AD是角平分线，zB4C=120。，4D是定值，可知当AD是△ABC的高时，△ABC的

面积最小，由此即可解决问题.

【详解】解：(1)如图①中,作EH1AB于H.

图①

在RtAACB中，44c8=90。，Z.CAB=60°,4c=4代，

•••AB=8>/3»

...8C=V/1F2-AC2=J(8V3)2-(4V3)2=12,

••FE平分G48,

ALCAE=/.EAH,

vLACE=LAHE=90°,AE=AE,

・••△AEC三△?!!?”(AAS),

AC=AH=473,EC=EH,

•••AE平分4CAB,

LEAH=乙EBH=30°,

...AH=BH==4>/3,

设EC=EH=x,

在RtAEHB中，

EH2+BH2=BE2,

x2+(4V3)2=(12—x)2,

解得：x=4,

•••EH=4,

故答案为：4.

(2)如图②中，作0M_L8C于M,DN上AC于N,连接CD.

29/42

图②

VZ.DNC=Z.DMC=乙MCN=90°,

••・四边形ONCM是矩形，

，乙NDM=90°,

•:乙NDM=乙EDF,

:•乙NDF=乙MDE,

vZD/VF=DME=90°,DE=DF,

0N尸三△OME(AAS),

•••DN=DM,S四边形=S四边形〃NCM，

在RtZ\/lC8中，乙4cB=90。，zZ=60°,BC=2百，

•••<C=BCx孚=2,AB=2/16=4,

,:S^ABC=S&ACD+S&CDB，

：,1x2V3X2=1-2•D/V+1-2V3•DM,

解得：DM=DN=3—6,

S四边形OECF=S四边形ONCM=(3—73)(3—遮)=12—6百:

(3)存在.如图③中，作0ML4B于M,DNJ.AC于N.

图③

V/.DMA=^DNA=90°,乙MAN=120°,

."MDN=乙EDF=60°,

."EDM=NFON,

•••DE=DF,ZDME=乙DNF=90°,

DMEzADNF(AAS),

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,0,DM=DN,S四边形/ED/=S四边形AMON=36

-DMLAB,DNLAC,

.MD平分NM4N,

A£DAM=乙DAN=60°,

设？I。=2m,贝ij/M=AN=m,DM=DN=V3m,

•••mxMm=36百，

:.m2=36,

vn>0,

m=6,

•••AD=12,

•••△4BC中，4D是角平分线，^BAC=120°,4D是定值，

二当力。是△/WC的高时，△43C的面积最小，此时3c=23。=2X12次=24b.

△,4BC的面积的最小值=1x24仃X12=144V3.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

【题型5最大张角模型(米勒定理)】

【例5】问题探究，

(1)如图①，在矩形/8CQ中，AB=2AD,尸为CO边上的中点，试比较乙404和乙4Q4的大小关系，并说

明理由：

⑵如图②，在正方形48。中，P为CQ上任意一点，试问当P点位于何处时最大？并说明理由：

问题解决

(3)某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在0。边上点P处安装监控装置，用来监控OC边

上的力4段，为了让监控效果最佳，必须要求乙42笈最大，已知：乙。OC=6(r,0/1=400米，48=200百米，

问在O。边上是否存在一点P,使得乙1PA最大，若存在，请求出此时OP的长和乙4P4的度数；若不存在,

请说明理由.

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【答案】(1)结论：乙4PB>UDB,理由见解析；(2)当点〃位于CQ的中点时，乙4P8最大，理由见解析;

(3)当经过48的。7与0。相切于P时，乙4P8的值最大，理由见解析

【分析】(1)作/W148于从通过正方形和矩形的性质可得乙“8=90°,再根据乙〃)8<90。，即可证明

UPB>UDB；

(2)假设。为CO的中点，如图②中，作△/1P8的外接圆0O,则此时CO切。0于点P,在CO上取任

意异于尸点的点E，连接力E,与0。交于点尸，连接4E,BF,根据乙4Q?是用的外角，可得乙4FB>

UEB,再根据乙"3=乙"从而可得乙4PB>乙4EB,故点尸位于CO的中点时，乙4PB最大;

(3)作77ALOC于〃，交OD于Q,连接%,TB,OT.设TP=TA=TB=〃,根据等边三角形的性质可得

AH=HB=100V3(〃?)，再根据含30。角的直角三角形的性质可得"=200后〃，故"=2〃/,可得乙477/=

30。，即乙仃8=2乙4〃/=60。，根据圆周角定理可得乙乙"4=30。，再根据含30。角的直角三角形的性

质求出0Q和PQ的长度，再根据OP=OQ-PQ求解0P的长度即可.

【详解】解：(1)如图①中，结论：乙4PB>4DB.

理由：作PHL4B于H.

•••四边形力8CO是矩形，PHLAB,

••・乙4DP=3AH="IHP=90°,

•••四边形力。尸，是矩形，

'：AB=CD=2AD,DP=PC,

:Q4=DP,

•••四边形力。尸〃是正方形，

••・乙4PH