巧作辅助圆解题（隐圆问题）【5大题型】（原卷版）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

巧作辅助圆解题（隐圆问题）【5大题型】

题型归纳

【题型1定点定长模型】........................................................................2

【题型2对角互补模型】........................................................................3

【题型3定弦定角模型】........................................................................4

【题型4定角定高模型（探照灯模型）】.........................................................5

【题型5最大张角模型（米勒定理）］...........................................................8

举一反三

类型一定点定长模型

如图，若尸为动点，且。4=0B=0P,则力、B、尸三点在同一个圆上.

类型二对角互补模型（四点共圆模型）

如图①，在四边形48C。中，/-ABD=^ACD（也满足乙18C+//0C=180。）.如图②，在四边形48CD

中，/.ABC+/.ADC=180°.

结论：点八、8、C、。在同一个圆上.

类型三定弦定角模型

己知弦48与顶角乙。均为定值，则：

（1）如图①，当NC<90。时，弦48与点C在圆心异侧，点C的运动轨迹为频；

<2）如图②，当乙C=90。时，弦月5为直径，点C的运动轨迹为整个OO（不包含/I、B两点）；

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（3）如图③，当NC>90。时，弦力4与点C在圆心同侧，点C的运动轨迹为而.

类型四定角定高模型（探照灯模型）

如图，直线BC外一点4,4到直线8c的距离分为定值（定高），4BAC为定角，则由力、B、。三点可作

出一个圆.

结论：即当点4、0、”共线时，圆的半径。力取最小值，8c取最小值.

类型五最大张角模型（米勒定理）

如图，点/、4是NMON的边ON上的两个定点，点C是边0M上的动点，则由/、B、C三点可作出一个

结论：当且仅当三角形43c的外接圆与边相切于点C时，乙ACB最大.

【题型1定点定长模型】

【例1】如图所示，四边形ABCD中，DCHAB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为（）

A.\[\4B.V15C.3V2D.273

【变式1-1]如图，在中，乙4cB=90。，48=60。，8C=3,将△4BC绕点C逆时针旋转到△EDC

的位置，点8的对应点。首次落在斜边4B上，则点力的运动路径的长为.

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A

【变式1-2］如图，已知48=%。=/。，乙CBD=2乙BDC,N历1044。，则4。。的度数为

【变式1-3］如图，在矩形48CD中，AB=5,4D=4,历是边,4B上一动点（不含端点），将△/1/）“沿直

线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段力8于点夕时，连接。尸，则△CDP的面积为：DP的

最大值为.

【题型2对角互补模型】

【例2】如图所示，在等腰直角三角形力8C中，LC=90°,AC=BC=4,点。为斜边48的中点，£是AC上

一动点，过点。作OF垂直于DE交BC于点F,连接EF,则EF的最小值是

【变式2-1】如图，弦CD在以AB为直径的半圆。上滑动，M是CD的中点，CE148于点E.若弦CD始终保持与

半圆0的半径相等，则NCEM的度数为

AE0B

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【变式2-2】如图,将△ABC绕点4旋转至△489,使得B',C,8共线.若AC=2,4ABC=30°,则CC'的

长为.

【变式2-3］如图，在四边形力BCD中，^ABC=^ADC=90°,E是4?的中点，F是8。的中点，若

ZR4C=15°,ADAC=45°,CD=4,则EF的长为（）

A.V2B.2V2C.2D.2V3

【题型3定弦定角模型】

【例3】加图，在等腰直角三角形/RC中，AC=BC=1,点尸在以斜边/£?为直径的半圆上，M为PC的中

点，当点。沿半圆从点力运动至点4时，点M运动的路径长是.

【变式3-1］如图，△4BC为等边三角形，AB=3.若。为△/8C内一动点，且满足=/ACP,则线

段PB长度的最小值为（）

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c

B.V3C.D.2

【变式3-2］）如图，在△ABC中，AC=6,BC=84，乙4c8=60。，过点4作8C的平行线，，P为直线/上

一动点，。。为△力PC的外接圆，直线8P交。。于E点，叫4E的最小值为

【变式3-3】^^MON=a,5分别在射线。M,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

（1）如图①，若a=90。,取力8中点。，点力，4运动时，点。也随之运动，点4B,。的对应点分别为

A：B，D,连接。D,。。.判断0。与。D'有什么数量关系?证明你的结论：

⑵如图②，若a=60。，以力8为斜边在其右侧作等腰直角三角形48C,求点。与点C的最大距离：

⑶如图③，若a=45。，当点力，8运动到什么位置时，△力。^的面积最大?请说明理由，并求出△力。8面

积的最大值.

【题型4定角定高模型（探照灯模型）】

【例4】辅助圆之定角定高求解探究

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cD

图①图②图③

⑴如图①，已知线段48,以48为斜边，在图中画出一个直角三角形；

(2)如图②，在△A8C中，/-ACB=60°,CD为A8边上的高，若CD=4,试判断48是否存在最小值，若存

在，请求出A8最小值；若不存在，请说明理由；

⑶如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形力BCD中，乙4=45。,

48=乙。=90。，CB=CD=6a,点、E、F分别为48、力。上的点，若保持CE_LCF,那么四边形力的面

枳是否存在最大值，若存在，请求出面枳的最大值，若不存在，请说明理由.

【变式4・1】在直角中，乙48C=90。，^ACB=60°,点D是△力BC外一点，连接力D,以/I。为边作

等边△40尺

图1图2图3

⑴如图1,当点尸在线段8C上，DF交4c于点且月产平分4B4C,若AF=遍+求△ADM的面积；

(2)如图2,连接F8并延长至点E,使得r8=8E,连接CE、DE.CD,证明：DE=MCD；

⑶如图3,旋转△4DF使得。尸落在乙4BC的角平分线上，A7、N分别是射线84、上的动点，且始终满足

乙MDN=60。,连接MN,若BC=&,请直接写出△MQN的面积最小值.

【变式4-2】问题提出：

(1)如图①，△力。^与△OCD均为等边三角形，点。在。4上，点。在0B上，固定AAOB不动，i±△OCD

绕点O逆时针旋转，当。C〃4B时，则旋转角。=.

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A

图①

问题探究：

(2)如图②，已知点力是直线/外一点，点仄。均在直线/二，AZ)_U垂足为。且力。=6,

4c=60。.求△NBC面积的最小值.

BDC

图②

问题解决:

(3)如图③，是某市“城市花卉公园〃的设计示意图，已知四边形力BCD为矩形，边上的点石为公园入口，

力E=4四千米，边上的点尸为休息区，B尸=8千米，AF=4鱼千米.公园设计师拟在园内修建三条小

路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉.其中GC为消防通道，尸G和nH为两条观光小路(小路宽

度不计，G在CE边上，〃在BC边上)，根据实际需要NGF77=75。，Z.CED=45°,点4为园区内的花卉超

市;游客可乘车由入口E经观光路线EG-G尸到花卉超市8购买不同品种花卉为了快捷、环保和

节约成本，要使观光路线£6+6尸+尸〃+”8的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出

EG+GF+FH+H8的最小值；若不能，请说明理由.

【变式4・31问题提出

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(1)如图①，在A/IBC中，^ACB=90°,/-CAB=60°,4E平分NC4B,AC=473,则点E到48的距离为

图①图②图③

（2）如图②，△4BC中，ZC=90°,Z/1=60°,8c=2百，点。为斜边4B上一点，且NEDF=90°,乙EDF

的两边交力CF点E,交BC于点F,若DE=D尸，求四边形。EC尸的面积.

问题解决

（3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，△48。为赏花园的大致轮廓，并将赏花

园分成△32。、△。尸C和四边形,4EDF三部分，其中在四边形AEOF区域内种植36百平方米的月季，在

△BED和△OFC两区域种植薰衣草，根据设计要求：484c=120。，点。、E、F分别在边BC、AB.4C上,

且。E=D凡^EDF=60°,为了节约种植成本，三角形赏花园的面积是否存在最小值，若存在，请求

出aABC面积的最小值：若不存在，请说明由.

【题型5最大张角模型（米勒定理）】

【例5】问题探究，

⑴如图①，在矩形力8。£＞中，AB=2AD,P为CO边上的中点，试比较乙4P4和乙404的大小关系，并说

明理由；

⑵如图②，在正方形48。中，P为。。上任意一点，试问当P点位于何处时乙4P8最大？并说明理由：

问题解决

⑶某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在。。边上点P处安装监控装置，用来监控OC边

上的月4段，为了让监控效果最佳，必须要求V1P4最大，已知：乙。。。=60。，04=400米，48=200百米，

问在。。边上是否存在一点P,使得乙4PA最大，若存在，请求出此时OP的长和乙4尸〃的度数；若不存在,

请说明理由.

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【变式5・1】（2025•广东梅州•一模）综合与实践【主题】足球最佳射门位置

【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门.线段PQ表示球门，6AQ、匕P8Q为射门张

角.理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大.

如图1,乙PAQ乙PBQ,（用"V"或"="填空）

【实践探索】假设运动员沿着直线Z带球跑动，寻找最佳射门位置.如图2,以线段PQ为弦作O。，恰与直

线!相切，切点为4若点M是，上一个异于点A的动点，

求证：当运动员跑动到切点/处时，射门张角最大，^/PAQ>LPMQ.

【迁移应用】如图3,点P（3,0）,点Q（9,0）,点A为y轴正半轴上的一个动点,当，PAQ最大时,请求出点4的

坐标.

【变式5-2】一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角.

（1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；

（2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队

计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示.该文物PQ高度为96cm,放置文物

的展台Q。高度为168cm,如图2所示.为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的

视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点。、参观者的眼睛力所形成的ZP4Q）,则分隔参观者与展台

的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由.（说明：①参观者眼睛力与地面的距离近似于身高；②

通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高）

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p

频数

学生