山西省山大附中等晋豫名校2026届高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

山西省山大附中等晋豫名校2026届高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，，若，共线，则实数（）A． B． C． D．62．已知数列中，，，则等于()A． B． C． D．3．在中，，，则的最小值是（）A．2 B．4 C． D．124．某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：/℃/百元对上述数据进行分析发现，与之间具有线性相关关系，则线性回归方程为（）参考公式：A． B．C． D．5．在正三棱锥中，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．6．下列四个结论正确的是（）A．两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行B．两条直线没有公共点，则这两条直线平行C．两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行D．两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行7．已知全集，集合，，则为()A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}8．已知为等差数列，为其前项和.若，则（）A． B． C． D．9．已知实数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．10．已知数列满足，，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的零点的个数是______.12．若，则=_________________13．若角的终边经过点，则实数的值为_______.14．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是．15．函数的反函数为____________．16．已知三棱锥，若平面ABC，，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△中，，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的大小．18．将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，（1）求的表达式；（2）写出，的值，并求数列的通项公式；（3）定义，记，且恒成立，求的取值范围.19．（Ⅰ）已知向量，求与的夹角的余弦值；（Ⅱ）已知角终边上一点，求的值．20．在海上进行工程建设时，一般需要在工地某处设置警戒水域；现有一海上作业工地记为点，在一个特定时段内，以点为中心的1海里以内海域被设为警戒水域，点正北海里处有一个雷达观测站，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距10海里的位置，经过12分钟又测得该船已行驶到点北偏东且与点相距海里的位置.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶.试判断它是否会进入警戒水域（点与船的距离小于1海里即为进入警戒水域），并说明理由.21．已知中，角的对边分别为.已知，.(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)设点满足，求线段长度的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

利用向量平行的性质直接求解．【详解】向量，，共线，，解得实数．故选：．【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2、A【解析】

变形为，利用累加法和裂项求和计算得到答案.【详解】故选：A【点睛】本题考查了累加法和裂项求和，意在考查学生对于数列方法的灵活应用.3、C【解析】

根据，，得到，，平方计算得到最小值.【详解】故答案为C【点睛】本题考查了向量的模，向量运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力.4、B【解析】

计算出，，把数据代入公式计算，即可得到答案．【详解】由题可得：，，，，；所以，，则线性回归方程为；故答案选B【点睛】本题考查线性回归方程的求解，考查学生的计算能力，属于基础题．5、B【解析】

利用正三棱锥的性质，作出侧棱与底面所成角，利用直角三角形进行计算.【详解】连接P与底面正△ABC的中心O，因为是正三棱锥，所以面，所以为侧棱与底面所成角，因为，所以，所以，故选B.【点睛】本题考查线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题.6、C【解析】

利用空间直线平面位置关系对每一个选项分析得解.【详解】A.两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面，所以该选项错误；B.两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以该选项错误；C.两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行，是平行公理，所以该选项正确；D.两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，所以该选项错误.故选：C【点睛】本题主要考查直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7、C【解析】

先根据全集U求出集合A的补集，再求与集合B的并集．【详解】由题得，故选C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．8、D【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题意得，解得，所以，故答案为D．考点：1、数列的通项公式；2、数列的前项和．9、A【解析】

由原式，明显考查斜率的几何意义，故上下同除以得，再画图分析求得的取值范围，再用基本不等式求解即可．【详解】所求式，上下同除以得，又的几何意义为圆上任意一点到定点的斜率，由图可得，当过的直线与圆相切时取得临界条件．当过坐标为时相切为一个临界条件，另一临界条件设，化成一般式得，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离，所以，，解得，故．设，则，又，故，当时取等号．故，故选A．【点睛】本题主要考查斜率的几何意义，基本不等式的用法等．注意求斜率时需要设点斜式，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得斜率，在用基本不等式时要注意取等号的条件．10、B【解析】

由，得，然后根据递推公式逐项计算出、的值，即可得出的值.【详解】，，则，，，因此，，故选B.【点睛】本题考查数列中相关项的计算，解题的关键就是递推公式的应用，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

在同一直角坐标系内画出函数与函数的图象，利用数形结合思想可得出结论.【详解】在同一直角坐标系内画出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，函数与函数的图象的交点个数为，因此，函数的零点个数为.故答案为：.【点睛】本题考查函数零点个数的判断，在判断函数的零点个数时，一般转化为对应方程的根，或转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12、【解析】分析：由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论．详解：由已知，∴．故答案为．点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式．13、.【解析】

利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.【详解】由诱导公式得，另一方面，由三角函数的定义得，解得，故答案为.【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.14、【解析】

试题分析：设，表示以为圆心，r=1为半径的圆，而，所以，，，故得最大值为考点：1．圆的标准方程；2．向量模的运算15、【解析】

由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，即可得到结果.【详解】解：记∴故反函数为：【点睛】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．16、【解析】

过B作，且，则或其补角即为异面直线PB与AC所成角由此能求出异面直线PB与AC所成的角的余弦值．【详解】过B作，且，则四边形为菱形，如图所示：或其补角即为异面直线PB与AC所成角．设.，，平面ABC，，．异面直线PB与AC所成的角的余弦值为．故答案为．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）通过正弦定理易得，代入即可．（Ⅱ）三边长知道通过余弦定理即可求得的大小．【详解】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理可得．因为，所以．（Ⅱ）由余弦定理．因为三角形内角，所以．【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理，记住公式很容易求解，属于简单题目．18、（1）；（2），，；（3）.【解析】

（1）根据题意，分别求出每一个阴影部分图形的面积，即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列的通项公式；（3）先求出的表达式，再依题意得到，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围。【详解】（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是：；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个阴影部分图形面积是：；故；（2）由（1）知，，，所以，，当时，当时，，综上，数列的通项公式为，。（3）由（2）知，，，由题意可得，恒成立，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，③当时，，即，所以，综上，。【点睛】本题主要考查数列的通项公式求法，数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用，意在考查学生逻辑推理能力及运算能力。19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由已知分别求得及与，再由数量积求夹角计算结果；（Ⅱ）利用任意角的三角函数的定义求得sinα，再由三角函数的诱导公式化简求值．【详解】（Ⅰ）∵，∴，||＝5，||，∴．（Ⅱ）∵P（﹣4，3）为角α终边上一点，∴，．则sin2α．【点睛】本题考查利用数量积求向量的夹角，考查任意角的三角函数的定义，训练了利用诱导公式化简求值，是基础题．20、（1）海里/小时；（2）该船不改变航行方向则会进入警戒水域，理由见解析.【解析】

（1）建立直角坐标系，首先求出位置与位置的距离，然后除以经过的时间即可求出船的航行速度；（2）求出位置与位置所在直线方程，求出位置与直线的距离与1海里对比即可.【详解】（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位长度为1海里，则坐标中，，，，再由方位角可求得：，，所以，又因为12分钟=0.2小时，则（海里/小时），所以该船行驶的速度为海里/小时；（2）直线的斜率为，所以直线的方程为：，即，所以点到直线的距离为，即该船不改变航行方向行驶时离点的距离小于1海里，所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域.【点睛】本题主要考查了直角坐标系中两