2026届甘肃省师范大学附属中学高一数学第二学期期末联考试题含解析

2026届甘肃省师范大学附属中学高一数学第二学期期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列角位于第三象限的是（）A． B． C． D．2．以下现象是随机现象的是A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为C．走到十字路口，遇到红灯D．三角形内角和为180°3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A．35 B．20 C．18 D．94．已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④5．若函数和在区间D上都是增函数，则区间D可以是（）A． B． C． D．6．某公司的班车在和三个时间点发车.小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是（）A． B． C． D．7．下列赋值语句正确的是()A．S＝S＋i2 B．A＝－AC．x＝2x＋1 D．P＝8．已知数列的前4项依次为，1，，，则该数列的一个通项公式可以是（）A． B．C． D．9．若，则下列结论中:(1)；(2)；(3)若，则；(4)若，则的最小值为.其中正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数满足下列条件：①定义域为；②当时；③.若关于x的方程恰有3个实数解，则实数k的取值范围是A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．等差数列{}前n项和为.已知+-=0，=38,则m=_______.12．一组样本数据8，10，18，12的方差为___________.13．已知向量，，若，则__________．14．对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为_____．15．函数的最小正周期为_______.16．计算：__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈(0，).求：(1)cos(α－β)的值；(2)β的值.18．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标是.（1）求；（2）求；19．在中，，，的对边分别为，，，已知．（1）判断的形状；（2）若，，求．20．已知数列满足，，其中实数.（I）求证：数列是递增数列；（II）当时.（i）求证：；（ii）若，设数列的前项和为，求整数的值，使得最小．21．已知函数.（1）求函数的值域和单调减区间；（2）已知为的三个内角，且，，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据第三象限角度的范围，结合选项，进行分析选择.【详解】第三象限的角度范围是.对A：，是第二象限的角，故不满足题意；对B：是第二象限的角度，故不满足题意；对C：是第二象限的角度，故不满足题意；对D：，是第三象限的角度，满足题意.故选：D.【点睛】本题考查角度范围的判断，属基础题.2、C【解析】

对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾,是必然事件；B.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件；C.走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；D.三角形内角和为180°，是必然事件.故选C【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3、C【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入成立；，成立；，成立；，不成立，输出.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.4、C【解析】

①，为“保比差数列函数”；②，为“保比差数列函数”；③不是定值，不是“保比差数列函数”；④，是“保比差数列函数”，故选C.考点：等差数列的判定及对数运算公式点评：数列，若有是定值常数，则是等差数列5、D【解析】

依次判断每个选项，排除错误选项得到答案.【详解】时，单调递减，A错误时，单调递减，B错误时，单调递减，C错误时，函数和都是增函数，D正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性，意在考查学生对于三角函数性质的理解应用，也可以通过图像得到答案.6、A【解析】

根据题意得小明等车时间不超过分钟的总的时间段，再由比值求得.【详解】小明等车时间不超过分钟，则他需在至到，或至到，共计分钟，所以概率故选A.【点睛】本题考查几何概型，关键找到满足条件的时间段，属于基础题.7、B【解析】在程序语句中乘方要用“^”表示，所以A项不正确；乘号“*”不能省略，所以C项不正确；D项中应用SQR(x)表示，所以D项不正确；B选项是将变量A的相反数赋给变量A，则B项正确．选B.8、A【解析】

根据各选择项求出数列的首项，第二项，用排除法确定．【详解】可用排除法，由数列项的正负可排除B,D，再看项的绝对值，在C中不合题意，排除C，只有A.可选．故选：A.【点睛】本题考查数列的通项公式，已知数列的前几项，选择一个通项公式，比较方便，可以利用通项公式求出数列的前几项，把不合的排除即得．9、B【解析】

利用函数知识、换元法、绝对值不等式等知识，对选项进行一一推理证明，即可得答案.【详解】对（1），，∴或，∵或，∴原不等式成立，故（1）正确；对（2），∵，故（2）正确；对（3），令，则，显然不成立，故（3）错误；对（4），∵，∴，当时，，∴的最小值为显然不成立，故（4）错误.故选：B.【点睛】本题考查函数与不等式的知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意消元法、换元法的使用.10、D【解析】

分析：先根据条件确定函数图像，再根据过定点（1，0）的直线与图像关系确定实数k的取值范围.详解：因为，当时；所以可作函数在上图像，如图，而直线过定点A（1，0）,根据图像可得恰有3个实数解时实数k的取值范围为,选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、10【解析】

根据等差数列的性质，可得：+=2，又+-=0，则2=，解得=0（舍去）或=2.则，,所以m＝10.12、14【解析】

直接利用平均数和方差的公式，即可得到本题答案.【详解】平均数，方差.故答案为：14【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用.13、1【解析】由,得.即.解得.14、【解析】

根据的定义把带入即可。【详解】∵∴∵∴①∴②①-②得∴故答案为：【点睛】本题主要考查了新定义题，解新定义题首先需要读懂新定义，其次再根据题目的条件带入新定义即可，属于中等题。15、【解析】

将三角函数进行降次，然后通过辅助角公式化为一个名称，最后利用周期公式得到结果.【详解】，.【点睛】本题主要考查二倍角公式，及辅助角公式，周期的运算，难度不大.16、0【解析】

直接利用数列极限的运算法则，分子分母同时除以，然后求解极限可得答案.【详解】解：，故答案为：0.【点睛】本题主要考查数列极限的运算法则，属于基础知识的考查.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）【解析】

（1）利用同角的平方关系求cos(α－β)的值；（2）利用求出，再求的值.【详解】（1）因为，所以cos(α－β).（2）因为cosα＝，所以，所以，因为β∈(0，)，所以.【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系求值，考查差角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18、（1），（2）【解析】

（1）求得点到原点的距离，根据三角函数的定义求值；（2）同（1）可求出，然后用诱导公式化简，再代入值计算．【详解】（1）（2），为第四象限，【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题．19、（1）为直角三角形或等腰三角形（2）【解析】

（1）由正弦定理和题设条件，得，再利用三角恒等变换的公式，化简得，进而求得或，即可得到答案．（2）在中，利用余弦定理，求得，即可求得的值．【详解】（1）由正弦定理可知，代入，，又由,所以，所以，所以，则，则或，所以或，所以为直角三角形或等腰三角形．（2）因为，则为等腰三角形，从而，由余弦定理，得，所以．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.20、（I）证明见解析；（II）（i）证明见解析；（ii）.【解析】

（I）通过计算，结合，证得数列是递增数列.（II）（i）将转化为，利用迭代法证得.(ii)由（i）得，从而，即.利用裂项求和法求得，结合（i）的结论求得，由此得到当时，取得最小值．【详解】（I）由所以，因为，所以，即，所以，所以数列是递增数列．（II）此时．（i）所以，有由（1）知是递增数列，所以所以（ii）因为所以有.由由（i）知，所以所以所以当时，取得最小值．【点睛】本