苏教版高一数学下册必修第二册-第二课时 向量的减法运算

第二课时向量的减法运算

课标要求素养要求

借助实例和平面向量的几何表示，掌握由向量的加法运算类比得到向量的减法

平面向量的减法运算及运算法则，理解运算，培养数学抽象素养及数学运算素

向量减法的几何意义.养.

课前预习・-------------------------------知识探究

自主梳理

1.向量的减法

⑴定义：若力+x=a,则向量x叫作。与》的差，记为a—尻求两个向量差的运算,

叫作向量的减法.

(2)几何意义：当向量力起点相同时，表示从向量b的终点指向向量〃的

终点的向量.

2.重要结论

AB=OB-OA(O为平面内任一点)

记忆口诀：共起点，连终点，向被减.

3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.

❹点睹

若〜是不共线的向量，则|。十"与|。一臼的几何意义分别是:

如图所示，设晶=。，OB=b,则历=。+力，旗二〃一力.因为四边形。ACB是平

行四边形，所以|。+臼=|沆|,|。一例=|以|,分别是以。A,0B为邻边的平行四边

形的两条对角线的长.

自主检验

1.思考辨析，判断正误

⑴向量A3与8A是相反向量.（V）

提示蕊与就大小相等、方向相反.

（2）两个向量的差仍是一个向量.（J）

提示两个向量的和与差结果均为向量.

（3）向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量.（J）

提示与6一〃的大小相等，方向相反，互为相反向量.

（4）相反向量是共线向量.（J）

提示相反向量符合共线向量的条件，故正确.

2.（多选题）在菱形ABC。中，下列等式中成立的是（）

A.AC-AB=BCB.AD-BD=AB

C.BD-AC=BCD.BD-CD=BC

答案ABD

解析根据向量减法的三角形法则知A,B,D正确；C中，BD-AC=Ab-AB-

（AB^-AD）=-2AB^BC.

3.非零向量m与〃是相反向量，下列不正确的是（）

AJW=nB./n=-n

C.|刑=\n\D.m与〃的方向相反

答案A

解析相反向量的大小相等、方向相反，故A错误.

4.化简办-QP+PS+及的结果等于（）

KQPB.OQ

C.SPD.SQ

答案B

解析称一»+由+5=称+用+的+豆=丽+o=丽.

-------・课堂互动・—题型剖析

题型一向量减法法则的运用

【例1】如图，已知向量。，力，。不共线，求作向量〃+》-C.

解法一如图①，在平面内任取一点O,作为=a,AB=b,则。h=〃+8,再

作沆=c,则无=a+"—c.

C

法二如图②，在平面内任取一点O,作为=〃，油=从则访=。+6,再作画

=c,则dt=a+/>—c.

思维升华求作两个向量的差向量时，若两个向量有共同起点，则直接连接两个

向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不

重合，则先通过平移使它们的起点重合，再作出差向量.

【训练1】如图所示，已知向量a,b,c,d,或作向量〃-"c-d.

解如图所示，在平面内任取一点O,作/=a,OB=b,OC=CydD=d.

则丽=〃一力，DC=c-d.

题型二向量减法的运算

[例2](1)向量/必响以写成：①M0+ON；②MO-ON；③OM-ON；@ON-

面.其中正确的是_______(填序号).

答案①④

解析①证+ON=加;②流一城=-OM-ON=一(而+加W加;③威一

(W=W；®(W-dM=W,故填①④.

⑵化简：①丽+OD-OA-BC；

®(AC+Bb+dA)-(DC-DO-OB).

解①旗+历一为一反?=(丽一南+(历一丽

=CA~\-AD=Cb.

②(求+肋+次)一瓦一加一两=庆+丽一氏+丽=/+^5+为+丽=

晶+旗=0.

思维升华1.向量减法运算的常用方法

可以通过相反向量.把向量减法的

运算转化为加法运算

者

用运用向量减法的三角形法则.此时

方

法要注意两个向量要有共同的起点

引入点逆用向量成法的三角形法

则，将各向量起点统一

2.向量加减法化简的两种形式

(1)首尾相连且为和.

(2)起点相同且为差.

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.

【训练2】化简下列式子：

(\)NQ-PQ-NM-MP；

(2)(AB-CD)-(AC-BD).

解（1）原式=廊+0»—而一旅=称+疚一宓=种+丽=0.

（2）原式=油一C5—充+沅）

=（AB-AC）+（DC-DB）=CB+BC=O.

题型三向量减法几何意义的应用

【例3】⑴在四边形A8CD中，AB=DC,若|屐）一筋|二|肚-就|,则四边形

ABCD是（）

A.菱形B.矩形

C.正方形D.不确定

答案B

解析-：AB=DC,

四边形ABCD为平行四边形，

又*：\AD-AB\=\BC-丽|,

・・・|应）|=|危|.

；・四边形ABCD为矩形

（2）已知而|=6,|在|=9,求|油-屐）|的取值范围.

解’111曲|一4）||W|油—疝|W|前|+\AD\,

且丽=9,丽|=6,

・・・3《丽一衲<15,

当助与福同向时，\AB-AD\=3；

当国）与前反向时，\AB-AD\=i5.

・・・|前一崩|的取值范围为[3,15].

【迁移1】将本例⑵的条件改为“而1=8,而|=5"，求|筋|的取值范围.

解•:删=而一赢,I成1=8,由）|=5,

|丽|一画W\AD-AB\W而I+\AB\,

，3W|应

当筋与病同向时，|丽|=3；

当筋与病反向时，|由)|=13.

・・・|防|的取值范围是[3,13].

【迁移2】在本例⑵条件不变的情况下，求I超+病|的取值范围.

解由||施|一而||W|篇+启|W|成|+\AD\,

且|成|=6,|而|二9,

・・・3W|A^+Ab|W15.

当油与疝同向时，|彘+崩|=15；

当筋与病反向时，|凝+Q)|=3.

・・・|福+俞|的取值范围为[3,15].

思维升华1.用向量法解决平面几何问题的步躲

(1)将平面几何问题中的量抽象成向量.

(2)化归为向量问题，进行向量运算.

(3川寺向量问题还原为平面几何问题.

2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键

(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应

有向线段所表示的向量相等即可.

⑵根据图形灵活应用向量的运算法则,找到向量之间的关系是解决此类问题的关

键.

【训练3】已知|丽=6,|的=9,求应)|的取值范围.

9

解：Ab=BD-BA1又|旗|=|成

故由||盼|一|瀛||W|彷一雨区|由)|+|以|

得3W丽|W15,即丽|的取值范围为[3,15].

・课堂小结・

一、牢记2个知识点

1.向量减法的定义及几何意义.

2.重要结论：AB=OB-OAy

“共起点，连终点，向被减”.

二、掌握1种数学方法——数形结合

三、注意1个易错点

作两个向量的差，要结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头

不要搞错了，〃一力的箭头要指向向量〃的终点；如果指向向量力的终点，则表示

b—a.

--------分层训练r--------------------------------------------素养提升一

基础达标

一、选择题

1.化简丽-PN+疝厮得的结果是（）

A.MPB.NP

C.OD.W

答案C

解析曲一丽+曲=河/+加=0.

2.在平行四边形ABCD中，AB-^-CB-反等于（）

A.BCB.AC

C.DAD.BD

答案C

解析在平行四边形4BCO中，施=反，为=3,所以施+为一及;=（筋一皮）

+CB=D/\.

3.在边长为1的正三角形A3c中，的值为（）

A.1B.2

2

j2D.V3

答案D

解析如图，作菱形ABCZ）,

^\AB-BC\=\AB-Ab\

=1丽="

4.如图，。，E,尸分别是△45C的边A'BC、CA的中点，贝火）

A.Ab+BE+CF=O

B.BD-&+DF=Q

C.AD+CE-&=0

D.BD-BE-FC=O

答案A

解析由题意得，BE=DFf丽=鬲，

所以Q）IBEICF=ADIDFIM=0.

5.（多选题）下列各式中可以化简为油的是（）

A.AC+CD-BDB.AC-CB

C.OA-OBD.OB-OA

答案AD

解析,・,危+诙一彷=疝一防=病+助=篇，

・・・A正确；・・•油-04=B，・・・D正确；B,C显然不能化简为油.

二、填空题

6.化简：PB+^-OB=.

答案0

解析PB+OP-OB=PB+BP=H.

7.若“，力为相反向量，且同=|加=1,贝IJW+加=.\a-b\=.

答案（）2

解析•・•明》为相反向量，・・・|。+加=|0|=0,

\a-b\=\2a\=2.

8.已知O,A,8是平面上的三个点，直线A8上有一点C,满足2危+份=0,

则沆可用苏，丽表示为.

答案2以-为

解析历=为+肥=访+2危=访+2（沆一场），

：.OC=2OA-OB.

三、解答题

9.如图，已知向量〃，b,c,求作向量。-5-c.

解法一先作。一仇再作〃一〃一c即可.

如图①所示，以4为起点分别作向量筋和危，使筋=〃，危=b.则向量围=〃一

b,再以C为起点作向量⑦，使前=c,则向量而即为所求作的向量。一力一。.

法二先作一。，一C,再作〃+(一5)+(—C),如图②.

(1)作荏=一力和反?=-c；

(2)作切1=。，则沆=a-b—c.

10.如图所示，已知宓二"，OB=b,OC=c,Ob=d,OE=e,OF=f,试用*bf

cfdte，/表示zAD,AD-AB,丽+亦BF-BD,DF+FE+ED.

解AC=OC—OA=c-at

AD=dr)—OA=d—a,

Ab-AB=BD=6b-6B=d-b,

AB-\-&=OB-OA+OF-dC=b-a-{-f-cf

BF-BD=DF=OF-db=f-dy

赤+前+西=0.

能力提升I

11.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且阮|=4,|AB+AC|=|AB-

AC|,MIAMI=.

答案2

解析以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,由向量加减法几何意义可知，At

=AB+AC,CB=AB-AC,

V|AB+AC|=|AB-AC|,A|AD|=|CB|,

又I氏1=4,M是线段BC的中点，

-1-1->

・・・|AM|=5|AD|=5|BC|=2.

.如图所示，已知正方形的边长为

12ABCD1,AB=a,BC=b,AC=ct

贝IJ(l)|“+b+c|=；

(2)|a-b+c\=.

答案(1)2巾(2)2

解析(1)由已知得。+》=检+能=庆