苏教版高中数学必修第二册课时作业-空间两条直线的位置关系

应用昌▼巩固提升

［强化培优通吴厂

IA基础达标］

1.三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有（）

A.3对B.4对

C.5对D.6对

解析：选A.三棱锥力〃CD的六条棱所在直线中，

成异面直线的有：ABCD,ADBC,和AC,

所以三棱维A・BCQ的六条棱所在直线成异面直线的有3对.故选A.

2.（多选）下列命题中，正确的是（）

A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角

（或直角）相等

C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补

D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行

解析：选BD,由等角定理可知：对于A,这两个角可能相等，也可能互补；对

于B,显然正确；对于C,如图，NOOC与NDAQi的两边QiCJAQi,AD±

DiD,而这两个角不相等，也不互补，所以该命题错误；由基本事实4知命题D

正确.所以BD是正确的.

3.若直线。，力分别与直线/相交且所成的角相等，贝IJ。，〃的位置关系是（）

A.异面B.平行

C.相交D.三种关系都有可能

解析：选D.以正方体ABCD-AiBiCiDi为例.A\B\,AB所在直线与3与所在直

线相交且所成的角相等，

^B\//AB\AIZ?I,DC所在直线与〃3所在直线相交且所成的角相等，44与4C

是异面直线；AB,3C所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC

相交.

4.如图，aG”/,aua、bu0,且为异面直线，则以下结论中正确的是（）

A.a,b都与I平行B.久〃中至多有一条与/平行

C”,〃都与/相交D.a、b中至多有一条与I相交

解析：选B.如果a,b都与/平行，根据基本事实4,有a〃瓦这与a,b为弃

面直线矛盾，故〃，〃中至多有一条与/平行.

5.在正方体AG中，E,尸分别是线段BC,C。的中点，则直线A出与直线E/

的位置关系是（）

A.相交B.异面

C.平行D.垂直

解析：选A.如图，在正方体AG中，因为Ai8〃OiC,所以48与。C可以确

定平面43CD1,

又因为E/u平面AiHCDi,且两直线不平行，所以直线A山与直线石厂的位置关

系是相交.

故选A.

6.如图，在正方体A8CZ)-4BGDi中，8。和Bi。分别是正方形A8CQ和AiBiGC

的对角线，

(l)NDBC的两边与的两边分别平行且方向相同；

(2)NQ8C的两边与的两边分别平行且方向相反.

解析：(1)因为B\D\//BD,BG〃3c且方向相同，所以NQ8C的两边与NOiBiG

的两边分别平行且方向相同.

(2)B\D\//BD,QiAi〃8C且方向相反，所以NO8C的两边与的两边分

别平行且方向相反.

答案：(l)NDBiC(2)ZBiDiAi

7.已知出〃是一对异面直线，而且。平行于△ABC的边所在的直线，〃平

行于边AC所在的直线，若N3AC=12()。，则直线a,人所成的角为.

解析：由a//ABtb//AC,ZBAC=120°,知异面直线a,〃所成的角为N8AC

的补角，所以直线《人所成的角为60。.

答案：60°

8.如图，点P,Q,氏S分别在正方体的四条棱上，且分别是所在棱的中点，

则直线PQ与RS是平行直线的图是_______.(填序号)

解析：结合基本事实4可知，①②均是平行直线.④中RS和PQ相交，③是异

面直线.

答案：①②

9.在如图所示的正方体ABCDAiBC】出中,E,F,Ei,尸】分别是棱AB,AD,

BiCi,GDi的中点.

求证：⑴EF幺EiFi；

Q）NEAiF=ZE1CF1.

证明：（1）连接8。，BiDi,在△ABO中，因为E,尸分别为A8,A。的中点,

所以EF*BD、同理EE=；BiOi,在正方体ABC。/阳C1D1中，

因为AAi幺皿九AA\^BBi,所以AiBZODi,

所以四边形BDD\B\是平行四边形,

所以3。幺囱。］,所以EF幺EiFi.

(2)取AIBI的中点M,连接3M,FM,因为MF/SCI,BIC\ZBC、

所以MFiZBC,所以四边形BCPM是平行四边形，

所以MB〃CFi,因为AiM幺EB,所以四边形EB历4是平行四边形，

所以4七〃M3,所以AiE〃CA,

同理可证：A\F//E\C,又/£4尸与NBCEi两边的方向均相反，

所以NE4R=NEiCB.

10.如图所示，在等腰亘角三角形ABC中，484C=90。，BC=p,DAIAC,

DALAB,若D4=l,且E为。4的中点，求异面直线8七与CD所成角的余弦

值.

解：取AC的中点R连接ERBF,

D

在△AC。中，E,尸分别是AO,4c的中点,

所以EF//CD.

所以N8E网或由补角）即为所求的异面直线BE与。。所成的角.

在RCABC中，BC=V2,AB=AC,

所以A8=AC=1,

在RtZ^EAB中，AB=],AE=]40=3,

所以8£=坐.

在RtAAEF中，AF=^AC=1,AE=1,

所以EF=*.

在RlZ^AB/7中，AB=\,AF=^,所以坐.

加

\EF4

在等腰三前形E8/中，cos运-

ZFEB=FB匕

2

师

所以异面直线3E与C。所成角的余弦值为

1()

[B能力提升]

11.已知异面直线。与〃所成的角为50。，P为空间一定点，则过点P且与〃，b

所成的角都是30。的直线有且仅有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

解析：选B.过空间一点P,作"〃/"〃/九由。'，〃两交线确定平面a,d与6

的夹角为50。，则过角的平分线与直线〃'，"所在的平面a垂直的平面上，角平

分线的两侧各有一条直线与〃成30。的角，即与a,匕成30。的角且过点P的

直线有2条.

在〃'，"相交另一个130。的角部分内不存在与。'，"成30。角的直线.故应选B.

12.如图，在四面体4BCO中，M,N,P,Q,E分别是A3,BC,CD,AD,AC

的中点，则下列说法中不正确的是（）

A.M,N,P,。四点共面

B.LQME=/DBC

C.ABCDs^MEQ

D.四边形MNPQ为梯形

解析：选D.由中位线定理，易知MQ〃B。，ME//BC,QE//CD,NP//BD.

对于A,由基本事实易得MQ〃NR所以M,N,P,。四点共面，故A中的说

法正确；

对于B,根据“等角”定理，得NQME=NDBC故B中的说法正确；

对于C,由“等角”定理，知NQME=NDBC,NMEQ=NBCD,

所以ABCDs^MEQ、故C中的说法正确；

由三角形的中位线定理知MQ〃8。，MQ=^BD,

NP//BD,NP=；BD、所以MQ4NP,所以四边形MNPQ为平行四边形，故D

中的说法不正确.

故选D.

13.如图所示，E,F,G,，分别是空间四边形A8CQ各边AN,BC,CD,QA的

中点，若30=2,AC=4,则四边形EFGH的周长为.

解析：因为E,”分别是空间四边形ABCD中的边A3,DA的中点，所以EH//BD,

且EH=；BD.

同理FG//BD,且FG=|BD.

所以EH=FG=；8。=1.同理后尸=6"=；AC=2,

所以四边形EFGH的周长为6.

答案：6

14.如图，在空间四边形A8CD中，E,〃分别是A8,A。的中点，F,G分别是

CB,C。上的点，且音二*二|,若BO=6cm,梯形EFG”的面积为28cmL

求平行线EHFG间的距离.

解：在△以»中,

FG2

所以、GF〃BD,诉=7.所以/G=4cm.

nU3

在△AB。中，因为点E,“分别是4B,A。的中点,

所以EH=^