苏教版高一数学下册必修第二册-午练10 余弦定理、正弦定理的应用

午练10余弦定理、正弦定理的应用

1.已知△A8C的内角AB,C所对的边分别为〃，h,C,且m-/7)sinA=csinC-

〃sinB,若△A3C的面积为4小，则△ABC的周长的最小值为()

A.12十46B.12

C.8D.8+6小

答案B

解析由正弦定理及已知得，(a—b)a=c1—b1,即层+/一/=".

故由余弦定理得cosC="黑匚合彩

又(7上(0,7T),/.c=^.

二•△ABC的面积为S=5加in(7=坐〃/?=4仍，：,ab=\6/：d=a1+P—ab22ab

-ab=ab=]6tAc^4,2M=8,当且仅当a=A=c=4时，等号成立，

此时△A8C的周长为最小值，为12.

2.A,5两处有甲、乙两艘船，乙船在甲船的正东方向，若乙船从5处出发沿北偏

西45。方向行驶20海里到达C处，此时甲船与乙船相距5()海里.随后甲船从A处

出发，沿正北方向行驶2M海里到达。处，此时甲、乙两船相距()

A.256海里B.45海里

C.50海里D.5(h「海里

答案C

解析如图，△ABC中，由正弦定理得，.茨“=・氏一

smZABCsinZBAC

加5020..小二20X20

8in45o—sinN3AC'..sin/BAC-50-5.

△4CD中，cosNC4D=sinNB4C=^,由余弦定理得

CD2=AD2+AC2-2ADAC-COSZCW,

・•・CD2=(2()V2)2+502-2X2072X50X乎=2500,

・・・cr>=50.选c.

3.一艘轮船按照北偏东42。方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来

在轮船的南偏东18。方向上，经过10分钟的航行，比时轮船与灯塔的距离为如海

里，则灯塔与轮船原来的距离为()

A.5海里B.4海里

C.3海里D.2海里

答案D

解析设轮船初始位置为A,灯塔位置为8,10分钟后轮船位置为C,如图所示,

.AC

I/I

I//

I//

42%/

'B

则由题意，得AC=18Xt=3,/。48=180。-42。-18。=120。，皿.

，AC2-\-AB2-BC29+AB2-191立…

由余弦凡_理可传cosNC4B=2AC-AB，即ttn6AB=—5，解传AB=2

或AB=-5(舍)，即灯塔与轮船原来的距离为2海里.

4.如图，A,3是海面上位于东西方向相距4(3+S)nmile的两个观测点，现位于

A点北偏东45。，8点北偏西60。的。点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏

西60。且与B点相距nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为

24nmile/h.则救援船到。点所需的时间为()

D

A.lhB.2h

C.#hD.3h

答案A

解析在△AOB中，ZDAB=45°,N力84=30。，

ADr\D

：.ZADB=]05°,由正弦定理.八仙二./八版,得8。=8小.在△BC。中,

smZADBsin/DABv

8C=16小，NC8O=60。，

由余弦定理，C力2=Ad+a力2-2RCAO.COS60。

=(16^3)2+(8^3)2-2/16V3X8V3X1=242,

24

・・・CD=24,・••尸五=1(h).选A.

5.（多选题）如图，A,B两点在河的同侧，且A,B两点均不可到达，要测出A,B

的距离，测量者可以在河岸选定两点C,D,若测得CO=乎km,ZADB=ZCDB

二30。，ZACD=60\ZACB=45°,则下列计算结果正确的有（）

\.AC=DC=\

C.BC聋

答案ABC

解析:ZADC=NADB+/CDB=6。。,ZACD=60°.

：.ZDAC=60°t：.AC=DC=^；在△BCD中，8c=45。，由正弦定理得8C

.sinNBDC=^.在AABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-

3月

2ACBCcos45°=t».=48=邛.故选ABC.

o4

6.如图，在△ABC中，已知点Q在灰?边上，ADLAC,sinNBAC=辛,AB=

3®AD=3t则8。的长为.

A

RDC

答案小

2、历

解析因为sinNBAC=寸，且4。J_AC,

所以sin住+N8W)=乎，

所以COSNBAD=¥，在△BAO中，由余弦定理，

得BD=ylAB2-\-AD2~2ABADcosZBAD

(3^2)2+32-2X3V2X3X^=V3.

7.如图，河的一侧是以点。为圆心、，8M米为半径的扇形区域OCD,河的另

侧有一建筑物AB垂直于水平面.假设扇形OCD与点B处于同一水平面上，记OB

交应）于点E若在点C,0,E处看点A的仰角分别为45。,30。和60。，贝IJNCB。

的余弦值为

答案¥

解析由题意，NA3E=90。，ZAEB=60°,NAC8=45。，ZAOB=3()°,：.ZEAB

=NEAO=30。，."七=。£=8即，

A

.*.BE=4()V3,AOB=12(h/3,8。=48=晋4七=120.在4。80中，cosZCBO=

3。2+。¥—。。24s

2BC0B=9,

8.某居民小区要把如图所示的凸四边形ABCD用来修建一个健身运动场所，经过

测量，得到如图所示的数据，则健身运动场所的面积大约为m?(保留到小

数点后一位，方"1.732).

答案68.3

122

解析如图，连接B。，在△AB力中，BD=AD-iAB-2ADABcosZDAB=W0y

：.BD=\Of

・•・△A8O为等腰三角形，ZBDA=[20°.：.ZBDC=45°.

「ZADC+ZDAB+NA3C+ZBCD=360°,

：.ZBCD=9009ZBDC=ZCBD=45°,

•••△BCQ为等腰直角三角形.

设8C=OC=x,则f+『=]o2,.・.x=5®

=

••SABCDSAABDH-S^BCD

=1x10Xl()V3Xsin300+Jx(56)2

=25小+25268.3(0?).

9.如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求/AC8=60。，BC的

长度大于1米，且AC比AB长().5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，设

BC=x(x>l),AC=f(f>0),贝卜关于x的表达式为,AC最短为.

B

_x2-0.25「

t=

答案r_1—(x>l)2+小

解析由题意知A6—AC-().5=r-0.5,

在△ABC中，AB2=AC?^BC2-2ACBCCOS60°,

即"—0.5)2=1+/一戊，整理得『三等(Ql),即/=工-1+晋+222+\以当

且仅当％=1+坐时，等号成立)，AAnin=2+^3.

10.如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20。方向有

一个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与

B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40。方向，以

4()海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，3()分钟后到达。处，此

时观测站测得B、D间的距离为21海里.

(1)求$皿/8。。的值；

(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛4?