新七年级数学专项提升：运算与技巧（原卷版）

衔接点01运算与技巧

..R素养目标

小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力。

初中阶段较小学数学在数和运算方面主要变化有：数系犷大了，上升到有理数域，最后到实数域，这

是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也相应的从小学中的正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有

理数和实数的混合运算，并且加入了乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象

能力、应用意识等。

对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号

法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。

对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本

专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。

目录导航

题型探究

题型1、活用运算定律和性质（凑整思想）........................................................3

题型2、巧分组法................................................................................5

题型3、换元法..................................................................................6

题型4、分数裂项计算............................................................................7

题型5、数列求和（等差、等比数列）.............................................................9

题型6、运用乘法公式运算......................................................................11

培优精练

AM（施力提升）...............................................................................12

B组（培展）...............................................................................14

知识梳理

1.运算定律

1）力口法交换律：a+b=b+a力口法结合律：。+力+。=。+（力+c）

2）乘法交换律：axbxc=axcxb乘法结合律：（”x〃）xc=ax（cx〃）

3）乘才去分配律：（a±b）xc=axc±bxc乘法分配律的逆用：axb±axc=a（b±c）

2.运算性质

1）减法的性质：a-b-c=a-（b+c）a-b+c=a-(b-c)

2）除法的性质：a+A+c=a+（Axc）a+bxc=a+(b+c)

3)商的“不变性”，即若a+Z?=c,则(Gd)+3-d)=c,(Q+d)+(b+d)=c(dwO)；

3.裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。

111TlI(\1)

第一类（“裂差”型运算）：-----=------或-------—x-------------

〃(门+1)nn+\〃(〃+〃?)tn\nn+m)

第二类（“裂和”型运算）：—1-+-|或竺三=工+工

in-nm+n\inn）tnnmn

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同

时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

4.数列求和公式（补充）

①等差数列求和

等差数列求和公式；（首项+末项）x项数+2

等差数列的项数计算方法：（末项一首项）：公差+1

②等比数列求和

等比数列的求和公式：（末项x公比一首项）・（公比一1）（公比Ml）

5.乘法公式（补充）

平方差公式：（〃+〃）（“一"）=/—从完全平方公式：（4+〃）2=/+2"+62,（4-力）2=〃2-2"+/

，二▲题型探究

题型1、活用运算定律和性质(凑整思想)

【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数(或小数)凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有

理数式了容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。

一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。

例I.(2023・四川成都・小升初真题)能简算的要简算。

(1)—x—x—(2)-X-+-X—(3)f-+-lx21(4)—X122--(5)—xlOl

121425511511U7；1111100

例2.(2023♦河北邯单卜•小升初真题)计算下列各题，能简算的要简算。

271

⑴62.5%x-+—=-4-(2)3.8+(0.25x0.38)(3)202.3x2.5+20.23x36+2.023x390

982

⑸2005x2(X)6-12255

⑷(6)(9+7-)(+-)

2005+2004x2006?7

变式1.(2024.四川成都小升初真题)计算下面各题，能简算的要简算。

433s

(1)—+—x~(2)—x25xI9x—(3)—＞：58—x31

19⑵2319599

(32、5410(6)(,-lTF)xTi

⑷---x7.2⑸—X--r—

3)9721

变式2.(2023・山东济南・小升初真题)脱式计算，能简算的要简算。

12112

6.8x0.35+408-241.8x-+2.2x25%-0.25(0.2+—)x—亍8

42025

变式3.(2023春・广西•六年级培优)计算.

一、362+548x361,〜、8^36,3^54

(1)362x548-186⑵(5+]尹c77)一T7+/LVx

变式4.(2023•福建泉州•小升初模拟)神机妙算。

(1)8x3y-?(l^(3(—2.95)]133?()I«1

(2)-X39+-X25+2X-(3)2018+2018——

44420192020

题型2、巧分组法

【解题技巧】观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。

例1.(2024.广东•小升初模拟)计算题，写出计算过程和结果。

(1)11+31+5-+7-+9-(2)[1—史)+(3-曳x21+(5-更+卜7一更x49]+(99-竺x5()

66666I51JI51M51J(51)\51

例2.(2024六年级•浙江培优)计算。

(1)2004--2003-+2002--2C01-++2--1-+-

2323232

(2)2023-2020+2017-2014+2011-2008+...+19—16+13-10+7—4+1

变式1.(2022.江苏南京.统考小升初真题)简算，并写出简算过程.

99—97+95-93+91—89+...+7—5+3—1

变式2.(2024•江苏•六年级校考期中)计算：13+2：+31+4去+5圭+6专

题型3、换元法

【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命

题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。

例I.（2023・湖南湘潭•六年级自主招生）计算。

例2.（2024•成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。

1111\1111

1++-+•••+x一+-+.・+―+-+…+―+-+…+

132023J2320241232023232024

变式I.（2022.广东深圳•六年级校考期中）巧算。

⑴2。2。・2。2。翳11111

(2)xlllllx144

34564567八3+4+5+67+1456

变式1.（2023・广东•校考小升初模拟）用简便方法计算。

题型4、分数裂项计算

【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课

化简一些有理数式子的计算

第一类（“裂差”型运算）：①十二7二'一一二或J、，已一一匚、

+nn+1nyn+m）m\nn4-mJ

1II

-----------------------------------------------------X—o

〃x(〃+l)x(〃+2)72x(n+1)(〃+l)x(〃+2)2

裂差型裂项的三大关键特征:

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x（x为任意自然数）的，但是只要将x提取

出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

依皿,-rEI、-3、11（111〃1I

第二类（“裂和”型运算）：——=-------+—或-------=—+-

m-nm+n\tnn）m-nmn

裂和型运算与裂差型运算的对比:

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有

转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

例L（2022.广西南宁•校考小升初真题）观察下列等式:

1,1111111

---=1---,-----=-----,-----=-----

1x222x3233x434

请将以上三个等式两边分别相加得：

1x22x33x42233444

(1)猜想并写出:（）。

11

(2)+----+—+­••+）。

1x22x33x42016x2017

1

探究并计算:L+-L+」),

2x44x66x82016x2018

计算J+LLLLLLL，

(4)

41224406084112144180

2024202420242024

例2.（2024六年级下•山东培优）------1-------F------F-4--------

1x55x99x1377x81

例3.（2023・四川成都小升初真题）计算。

257

10--9—+8--7—+6—

420304256248163264128256

变式1.(2024.湖北.六年级期中)计算题：

⑴一+22+22+32+32+42++20122+2013?15,79,1113,1517

(2)1—+-------+-------+----1—

1x22x33x42012x2013612203()425672

工+2+工+...+」(4)1——+2—+4——...+256-+512-

2x44x66x898x100102451225642

I

变式2.（2022.湖南长沙.小升初真题）计算：1+1+++，

1+21+2+31+2+3+41+2+3+.1+19

变式3.（2024.浙江•六年级校考期中）计算：匚一l+2一2+工一普

3122（）3（）4236

题型5、数列求和（等差、等比数列）

【解题技巧】

①等差数列求和

等差数列求和公式：（首项+末项）x项数"等差数列的项数计算方法：（末项-首项）+公差+1

②等比数列求和

等比数列的求和公式：（末项X公比一首项）:（公比一1）（公比

I4-3+54-7+9++2013

（2023四川成都・小升初模拟）计算:

例I.•2015+2017+2019-~~+4027

例2.（23-24七年级上•江苏淮安阶段练习）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列

的一般形式可以写成：《，％，％，・・・，….一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值

等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用4表示.如：数

列1,248….为等比数列，其中4=1,%=比公比为4=2.

根据以上材料，解答下列问题：⑴等比数列3927….的公比0为,第5项是—•

【公式推导】如果一个数列％生，%，…，是等比数列，且公比为“，那么根据定义可得到：

/%4+1__2，3

—=4，一=q，-=q、'、—.所以42=qv,==%,q、…

4a243an

⑵由此，请你填空完成等比数列的通项公式：/=4•—.

【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程一错位相减法，构思精巧、形式奇特.下面

是小明为了计算1+2+2?+…+22°9+2初°的值，采用的方法：

设S=l+2+2?+…+2239+22020①，贝IJ2s=2+2?+…+22020+220”②，

220,92020202,

②一①彳导2S—S=S=2202I—1,5=1+2+2+...+2+2=2-1.

【解决问题】⑶请仿照小明的方法求11+M+M+...+］产的值.

变式1.（2024・四川成都小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。

小1+2x13+2x25+2x3999+2x500小、1+21+2+31+2+3+41+2+3++50

(1-----+------+------++----------(2)---x------x---------x

50050050050022+32+3+4x2+3++50

变式2.(2024•广东•七年级期中J阅读材料：求1+2+2?+…+2的+2202"的值.

解：设S=l+2+22+...+2吟22aM

将等式两边同时乘以2,得2s=2+22+级+...+2叫2触

将下式减去上式，得SuZ2025-1

B|Jl+2+22+...4-22O23+22024=22025-1

请你仿照此法计算：⑴1+3+3?+3,+…+3"(2)2+工■+[+…+

55-5-5

题型6、运用乘法公式运算

【解题技巧】平方差公式：（“+9（。—

完全平方公式：（a+Z?）2=片+勿〃+〃2,（^a-b）~=a2-2ab+b2

例I.（2023・浙江•小升初模拟）计算：，+42+6++叫一俨，*外++99?）

1+2+3+…+8+9+10+9+8+…+3+2+1

66x22-33x34

例2.（2022・四川绵阳小升初真题）计算题：

20162-2015X4(B2+20152

例3.(2024・山东•六年级培优)利用乘法公式进行简便计算:

⑴102x98；(2)992;(3)50x9.52-100x9.5x7.5+50x7.52.

2006_________

变式1.（2022•重庆沙坪坝•小升初真题）计算：

2006x2(X)6-2()05x2007

IPO。？

变式2.(1)（2022•四川育羊•八年级期中）计算:

6252-3752

（2）（2022・湖南汉寿•七年级期中）计算：799x801-8002=

变式3.（2022.广东.梅州市七年级阶段练习）简便计算：（1）20022（2）1032-102x104

培优精练

A组（能力提升）

1.（2022・广西贵港小升初真题）有一个数字键“4”坏了的计算器，用这个计算器计算24x25时，下列按

键方案中（）合适。

A.3x8x25B.6x4x25C.25x25-1D.2x2x3x25

2.（2024六年级下浙江•培优）r+；卜1-；卜1+；x（lx+-击）=

3.（2024六年级.成都市外地生考试）计算：2卜（6-4]+20181-3匕-4二=_______

6\13721111

4.（2023六年级下江苏•培优）计算：4511+5612+6793=___。

344556

5.（2024六年级下.重庆.模拟）计算：1+：+：+!+2+]=o

6.（23-24六年级下.江西宜春棚中）用你喜欢的方法计算。

9

『+(z1-0.1-60%)

90242222

2024/2023+3一

20233-9-27-81

7.（2022・四川成都・小升初真题）计算题。

(」+。.(94\7

14+3-x8+0.5)4x316-2.7+—+3.2xl—・0.125

334I25J12

Q1QJ1

(20.18+40.36)x33+20.1857.6x-4-28.8x—--14.4x80+10-

552

1---------------------------------------------------

1+21+2+31+2+3++20

8.（2023・四川・小升初真题）看清题目，巧思妙算。

53(7>3221(3

1.6x6—^16+-x9-2--2-12To.8—6-+1—x2--2.15

128I12JJ43318I4

1—--xllU|3—1+4.375U198-23344

5l-x-+71-x-+91-x、-

I1638129354759

9.（2022・湖南株洲•小升初真题）能简算的要简算。

44444

2001x7-4-1375x2.001+667^--—+—+—+—

8315356399143

17（25

——+2.6+26・18.75163—­41—

72后一心1339

B组（培优拓展）

1717172323

1.（2023六年级上•湖北•专题练习）计算：---------x------

4646465151

2.（2024・广东•六年级培优）计算:

3.（2023・四川成都小升初真题）用灵活而合理的方法计算。

⑴2000C00。翳+200”卷14

(2)1-X17.6+364--+2.64X12.5

45

498x381+382

(4)1(X)2-9