有理数的乘法（讲+练）【重要笔记】-七年级数学上册重要考点讲练（人教版）教师版

1.4.1有理数的乘法

题型4：多个有理数相乘题型9:有理数的应用-新定义运算

题型5:有理数的乘法运算定律题型10:有理数的应用-实际问题

茶记有理数的乘法

有理数的乘法法则：

(I)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

(2)任何数同。相乘，都得0.

(3)多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时,

积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

(I)不为0的两数相乘,先确定符号,再把绝对值相乘.

(2)当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(2)x(3),不应该写成-2X-3.

题型77有理数的乘法法则的辨析

西.【例I】(2020秋•碑林区校级月考)下列叙述正确的是()

A,互为相反数的两数的乘积为I

B.所有的有理数都能用数轴上的点表示

C.绝对值等于本身的数是0

D,〃个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负

【解题思路】根据相反数、有理数、绝对值的定义即可判断.

【解答过程】解：A、互为相反数的两个数和为0,故人错误.

B、实数和数轴一对应,故所有的有理数都能用数轴上的点表示.故B正确.

C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误.

。、〃个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、

故选：B.

【变式皿】。、〃是两个有理数，若必<0,且a+b>0,则下列结论正确的是()

A.a>0,b>0

B.a、b两数异号，且正数的绝对值大

C.a<0,Z?<0

D.。、b两数异号，且负数的绝对值大

【解题思路】根据有理数乘法积的符号判断因数的符号，商艮据有理数和的符号判断绝对值的大小，进而得出

答案.

【解答过程】解：・・・2<0,

工”、b异号,

又,/a+b>0,

・•・正数的绝对值较大，

故选：8.

题型2：用乘法法则判断正负性

西2如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数（）

A,同号，且都为正数B.异号，且正数的绝对值较大

C.同号，且都为负数D.异号，且负数的绝对值较大

【答案】B

【解析】【解答】解：丁两个有理数的积是负数，

・••两个数为异号，

•:和是正数，

・••正数的绝对值比负数的绝对值大，

故答案为：B.

【分析】根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘可确定两个数为异号；再

根据绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值可得正数的绝

对值比负数的绝对值大，进而可得答案.

【变式2-1］如果好6<0,必>0那么这两个数（）

A,都是正数B.都是负数

C.一正一负D.符号无法确定

【答案】B

【解析】【解答】解:・・・ab>0,b同号,

•・・a+b<0,・,、b都是负数，

故答案为：B.

【分析】根据有理数的乘法法则，得a、b同号，再由有理数的加法法则，得a、b都是负数.

【变式工】如图:数轴上A1B两点所表示的两数的（）

A,和为正数B.和为负数C.枳为正数D.枳为负数

【答案】D

【解析】【解答】解：从图中可以看出A、B两点表示的数分别为-3和3,

它们的和为（），积为-9是负数.

故答案为：D

【分析】根据数轴的意义可确定A、B所对应的值分别为一正一负，再根据有理数的加法法则“同号两数相

加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较

大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数”和有理数的乘法法则

“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”即可判断求解.

题型3：两个有理数相乘

咽3.计算：

(1)i-T)x(-T)

(2),TX(-1)

(3)(-个x(-1)

（4）（-7y）x0

【答案】：

（4）[-7—|x0=（）.

【变式3-1】计算（一匕）X（二）的结果是（）

45

A.1B,-1C.1D」

55

【分析】先把假分数化为带分数，再确定积的符号，最后按分数的乘法法则求值.

【解答】解：原式=一5泌4号1.

45

故选：B.

【点评】本题考直了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键.

题型4：多个有理数相乘

例题

(।)(-10)x(_：)x(-0.1);

(2)(-3)x5x14x(-0.25);

615

(3)(-6)x(-7.9)xx0.

【答案】(1)解：原式=・(10x0,lx1)=-1

44

(2)解：原式=3'434二号

6548

(3)解：原式二0

【解析】【分析】(1)根据多个有理数的乘法法则可得：积的符号由负因数的个数确定，奇数个负因数积

为负，再用乘法结合律把绝对值相乘即可求解；

(2)根据多个有理数的乘法法则可得：积的符号由负因数的个数确定，奇数个负因数积为负，偶数个负因

数积为正，并把绝对值相乘即可求解；

(3)根据多个有理数的乘法法则可知，有一个因式为0,则积为0.

［变式4：1】计算1

(1)4溢x(-5)；

(2)(-8)X(-7.2)X(-2.5)X^；

(3)-7.8X(-8.1)X0X|-19.6|；

(4)十0.25|x(-5)x4x(q)•

【答案】(।)解：49%x(-5)=(5。-，)x(-5)=50x(-5I--J-x(-5)=-2494

矽2525255

(2)解：(_8)X(-7.2)X(-2.5)X"=(*"7(吟)=-60

(3)解：一7.8x(-8.1)x0x卜19.6|

(4)解：-|-0.25|x(-5)x4x(-^T)=-0.25x(-5)x4x(-^T)=­(025x4)x(5x^7)=-^

【解析】【分析】(1)由题意可将原式变为原式二(50.，)x(T)，再用乘法对加法的分配律即可求解；

25

(2)多个有理数的乘法的符号法则是：偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负，根据符号法则可先判

断积的符号，再把绝对值相乘即可求解；

(3)根据有一个数是0的多个有理数相乘的法则可得原式二0；

(4)根据多个有理数的乘法的符号法则先判断积的符号，再把绝对值相乘即可求解。

有理数的乘法运算律：

(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab=ba.

(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即：ab.=(ab)c=

a(bc).

(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.即：a(b+c)=

ab+ac.

as：

(i)在交换因数的位置时，要连同符号一起交换.

(2)乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相

乘.如abcd=d(ac)b.一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.如a(b+c+d)

=ab+ac+ad.

(3)运用运算律的目的是简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用、'，也可以把运算律“逆用”.

题型5；有理数的乘法运算定律

[S5.99^x15=(100-)x15=1500-,这个运算应用了()

A.加法交换律

B.乘法结合律

C.乘法交换律、乘法结合律

D,乘法分配律

【解题思路】根据有理数的乘法,即可解答.

【解答过程】解：99y1xl5=(100-^)xl5=1500-^,这个运算应用了乘法的分配律，

故选：。.

、7

【变式5-1】计算：(I)(一36)x(-—+|(2)(1+5--2-)x(-24)

9612/2612

【答案】解：原式=(.36)x(-$+(-36)x：+(-36)x(-m

=16-30+21

=7.

(2)解：原式:1x(-24)+5x(-24)-J-x(-24)=-12-20+14=-18.

2612

【分析】用分配律展开算式，相乘时括号里的每个数都要带上它前面的符号,且不要漏乘括号中

的任何一项。

【变式5-2】“算：(-47.65)X2；+37.15x2；+1O.5X(-7

【答案】解：原式=1(_47.65)+37,15]x2—+10.5x(-7—)

11\11/

6/5\

=(-10.5)x2—+10.5x-7—

11\11/

/65、

=(-10.5)x2—+7—

I1111/

=(-10.5)x10

=-105.

倒数的意义£乘积是1的两个数互为倒数.

注意：(1)“互为倒数''的两个数是互相依存的.如-2的倒数是-1，-2和-!是互相依存的；

22

(2)0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数；

⑶倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；

__(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).

题型6；倒数

血.5的相反数的倒数是()

A.-5B.5C._iD.1

55

【答案】C

【解析】【解答】解：5的相反数为-5,-5的倒数为，故5的相反数的倒数是.

55

故答案为：C.

【分析】只有符号不同的两个数互为相反数；乘积为1的两个数互为倒数，据此解答.

【变式6-1]若x与尹为倒数：则|i二的值是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】【解答】解：Vx与,互为倒数,

3

x=3,

当x=3时，

|l-x|=|l-3|=|-2|=2,

故答案为：A.

【分析】利用互为倒数的两数之积为1,可得到x的值，再将x的值代入代数式计算.

【变式6-2］若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则求(a+b)2021-(cd)2022«.

【答案】解：根据题意得a+b=O、cd=l,5+4⑼-(cd严2=0-1=-1

【解析】【分析】根据“a、b互为相反数，c、d互为倒数”可得a+b=O,cd=l,再将a+b=O,cd=l代入(a+b)

2O2i-(cd)2022计算即可。

题型77有理数的应用•数轴

咽7有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列结论，错误的是()

°1।।161r

-2-1012

A•-b<a<b<-aB.a+b<0

C-ab<0D•冏v|0

【答案】A

【解析】【解答】解：由数轴可知，a<-2<l<b<2,

/•1t2<-a<3f

Aa<-b<b<-a,a+b<Q,如<0，6|<同，

故A选项符合题意；B、C、D选项不符合题意.

故答案为：A.

【分析】由数轴可知：a<-2<l<b<2,求出-a、-b的范围,据此判断.

【变式7-1】将・(・2),(-1)厂0的相反数，-0.4的倒数，比・1大5的数，・|・3化简，并在数

2

轴上表示出来，再用“<”连接起来.

【答案】解：・(-2)=2,(-1)3=・1,0的相反数是0,・0.4的倒数是・2.5,比-1大5的数是一

2

1+5=1.5,-|-3|=-3

2r

在数轴上表示出来为：

-1-31-2.5(・1户1.5-(-2)

owWJw

-5~~：4~-3•-2~~0~1*2~3~45^

用“<”连接起来为：-|-3|<-2.5<(-I)5<0<1.5<-|-3|

【解析】【分析】先求出各数，再在数轴上表示出来，然后用'，<”连接起来即可.

【变式7-2］在数轴上，点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,如果点A表示的有理数为a，点

B表示的有理数为b,求a与b的乘积.

【答案】解：由题意知，a=3或a=-3,b=5或b=-5.当点A与点B位于原点的同侧时，a,b的符号相

同，则ab=3x5=15或ab=(-3)x(-5)=15；当点A与点B位于原点的异侧时,a,h的符号相反，则

ab=3x(-5)=-15或ab=(-3)x5=-15.综上所述,a与b的乘积为15或-15.

【解析】【分析】只告诉了数轴上表示的数离开原点的距离，故要分表示这个数的点位于原点的左边还是

右边两种情况来考虑；由点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,a=3或a=-3,b=5或b=-5,

当点A与点B位于原点的同侧时，则ab=3x5=15或ab=(-3)x(-5)=15；a,b的符号相同，当点A

与点B位于原点的异侧时,a,b的符号相反，则ab=3x(・5)=-15或ab=(-3)x5=-15；然后根据有理

数的乘法法则即可算出答案，综上所述，即可得出答案。

题型87有理数的应用•绝对值

咽8若a,b互为相反数,c,<1互为倒数，|m|=2，求a-(-b)-皿；的值

cd

【答案】解：言,b互为相反数fAa+b=O.

•・・c,d互为倒数，・・・cd=l.

V|m|=2,m=±2.

整理得：原式二a+b-华=-m.

cd

当m=2时原式=2,；

当m=-2原式=2.

・••代数式的值2或-2

【解析】【分析】本题考查了代数的求值，根据相反数的定义可得什反。；根据倒数的定义可得cd=\；根

据绝对值的意义可得〃x±2,然后代入求值.

【变式8-1】已知a,b互为相反数，c,d互为倒数,x的绝对值为3,求a+b+x2-cdx的值.

【答案】解：：a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3,

a+b=0,cd=I,x=±3,

当x=3时，a+b+x2-cdx=0+9-1x3=6;

当x=-3时，a+b+x2-cdx=0+9-1x(-3)=12,

a+b+x2-cdx的值为6或12.

【解析】【分析】由互为相反数的两个数和为。得a+b=0,互为倒数的两个数的乘积为1得cd=1,x的绝

对值是3,可得x=±3,然后分别代入计算即可.

【变式8-2]如果a、b互为倒数,c、d互为相反数,且m是绝对值最小的有理数，求2ab-(c+d)+m的值.

【答案】解：言、b互为倒数・・・ab=l

Ye、d互为相反数・・・c+d=O

•・・m是绝对值最小的有理数

/.m=0

/.2ab-(c+d)+m

=2x1-0+0

=2

【解析】【分析】根据倒数、相反数、有理数以及绝对值的含义，求出代数式的值即可。

题型9；有理数的应用•新定义运算

血如果一对有理数a,b使等式a-b=a-b+l成立，那么这对有理数a,b叫做“共生有理数5寸，记为

(a,b),根据上述定义，下列四对有理数中不是“共生有理数对方勺是()

A.(3z1)B.(2,i)

23

C.(5,2)D.(-2,-1)

33

【答案】D

【解析】【解答】解：A、由(3,，)，得到a-b=5,a・b+l=3+]=5，不符合题意；

2222

B、由(2,i)，得到a-b=5,a・b+l=2+l=5，不符合题意；

C、由(5,2)，得到a-b=13,a・b+l=10+1=13，不符合题意；

3333

D、由(・2,-1),得到a-b=-5,a・b+l=2+1=5,符合题意，

3333

故答案为：D

【分析】根据题意，分别将四个选项中的一对数代入a・b和a-b+1中，比较二者的数值是否相等即可得出

答案。

【变式9-1］若定义新运算：aAb=(-2)xax3xb,请利用此定义计算：(1△2)△(-3)=_________.

【答案】-216

【解析】【解答】■△b=(-2)xax3xb,

.*.(1A2)△(-3)

=(-2x1x3x2)△(-3)

=(-12)△(-3)

=(-2)x(-12)x3x(-3)

=-216

【分析】根据新定义得到四个有理数的乘法，由三个负数得到结果是负数，求出它们的积.

【变式9-2］定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是-L=-1,-

l-a1-2

1的差倒数是丁二;=2•已知ax-1,az是ai的差倒数，a3是az的差倒数，是a3的差倒数，…，a2«2o

1-(-1)22

.

【答案】」

2

【解析】【解答】解：由题目可得：-17a2=1,a3=~^=3,

34=-__"1■,,

1-3-2

72020^3=673...1,Aa2020=_-L.

2

故答案为：.

2

【分析】根据差倒数的定义，先计算a2、as、a」的值,即可发现规律是每3个数循环，然后由2020除以3

的余数即可得出答案.

题型10：有理数的应用•实际问题

咽10.某原料仓库一天的原料进出记录如卜表(运进用正数表示，运出用负数表小)：

进出数蚩(单位：吨)-34-12-5

进出次数21332

(I)这天仓库的原料比原来增加了还是减少?请说明理由；

(2)根据实际情况，运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元，问这天共需运费多少元？

【答案】(1)解：.3x2+4xl_Ix3+2x3_5x2

=_6+4_3+6_10

=-9；

・••仓库的原料比原来减少9吨.

(2)解：(4+6)x5+(6+3+10)x8

=50+152

=202(元).

，这天共需运费202元.

【解析】【分析】(1)将进出数量x进出次数，再把它们相加即可求解；(2)根据运进的数量乘以价格加

上运出的数量乘以价格，即可得到答案.

【变式10/】某检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路;如果规定向东行驶为正，向西行驶

为负，这个检修小组一天中行驶的距离记录如下(单位：千米)：

-4,+7,-9,+8,+6,-4,-5.

(।)求收工时检修小组在A地的哪边?距A地多远？

(2)距A地最远时是哪一次？

(3)若检修小组所乘汽车每千米耗油0.5升，则从出发到收工时共耗油多少升？

【答案】(1)解：-4+7+(-9)+8+6+(-4)+(-5)=_I(千米).

答：收工时检修小组在A地西面I千米处.

(2)解：第一次距A地卜4|二4千米；

第二次：|-4+7|=3千米；

第三次：|-4+7-9|=6千米；

第四次：|-4+7-9+8|=2千米；

第五次：|-4+7-9+8+6|=8千米；

第六次：1-4+7-9+8+6-41=4千米；

第七次：1-4+7-9+8+6-4-51=1千米.

所以距A地最远的是第5次.

（3）解：从出发到收工汽车行驶的总路程：|-4|+|+7|+|-9|+|+8|+|+6|+|-4|+|-5|=43；

从出发到收工共耗油：43x0.5=21.5（升）.

答：从出发到收工共耗油2L5升.

【解析】【分析】（1）将7个数据相加，利用有理数的加法法则计算即可求解；

（2）根据绝对值的意义计算出每次到A地的距离，即可求解；

（3）先将记录的数据的绝对值相加得出行驶的路程之和，再乘以每千米的耗油量，即可作答。

【变式10-2】在抗洪抢险过程中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民:早晨从A地出发;晚

上到达B地，约定向东为正方向，当天航行路程记录如下：（单位：干米）

15,-7,18,9,-3,6,-8

（I）通过计算说明B地在A地的什么位置；

（2）已知冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为40升，若冲锋舟在救援前将油箱加满，请问该冲锋舟

在救援过程中是否还需要补充油？

【答案】（1）解：15-7+18+9-34-6-8=30（千米）

答：B地在A地东面30千米；

（2）角军：15+7+18+9+3+6-8=66（千米）

66x0.5=33<40

答：不需补充

【解析】【分析】根据题意列式子，再根据有理数的加减法则进行计算即可求解。

昂9绣刀与提升

1.-3的倒数是（）

A.aB._1C.7D.1

J33

【答案】B

【解析】【分析】根据倒数的定义即可确定-3的倒数；

【解答】-3的倒数是.1；

3

故选：B

【点评】本题主要考查了倒数，绝对值，平方根的定义，主要考查的是基础知识.

2的倒数是（）

2

1

A.-2B.1C._1D.士

222

【答案】A

【解析】【解答】解：的倒数是：-2.

2

故答案为：A.

【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，即可求解.

3.如果a+b>0,ab>0,那么（）

A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a>0,b<0D.a<0,b>0

【答案】A

【解析】【解答】解：〈ab〉。，

，a,b同号，

XVa+b>0,

a>0,b>0.

故本题选A.

【分析】由题意可知：a、b同号，又知；a+b>0,所以，即可判定a、b的取值范围.

4.三个有理数的积为正数，则三个数中负数的个数是（）.

A.0B.1C.2D.0或2

【答案】D

【解析】【解答】解：:三个有理数的积为正数，

•・・这三个数中负数的个数可能是。或2.

故答案为：D.

【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解.

5.倒数是它本身的数是（）

A.1B,-151或-1D.0

【答案】C

【解析】【解答】倒数是它本身的数是1或-1,0没有倒数.

故答案为：C.

【分析】根据倒数的定义：乘积为］的数，叫做互为倒数；从而得出倒数是它本身的数是1或-1。

6.已知a,b,c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断：①a<c<b;②ab<();③a+b>0;

④c-a<。中，错误的有()个.

，•・I--•--1•・A

。-2-1c0bl

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】【解答】解：由数轴可得：a<,

①数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以a<c<b,此结论正确；

②由数轴图不难得出ab异号，故ab<0,此结论正确；

③异号两数相加，取绝对值大的加数的符号,很明显,la|>|b|,所以a+b<0,此结论错误；

④正数减去负数所得差必为正数，所以c-a>0,此结论错误.

故错误的有2个.

故答案为：B

【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点，得出a<-2<-1"<0<b<1且|〃|>|讣进而根据有理数的乘法

法则、加法法则、减法法则即可一一判断得出答案.

二、填空题

7.-3的倒数是.

【答案】,

3

【解析】【解答】解：一3的倒数是-;

故答案为一，

3

【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答即可.

8.计算：_，的相反数是，倒数，绝对值是

2---------------------------

【答案】1；~2;1

22

【解析】【解答］解：」的相反数是1，倒数-2,绝对值是i.

222

故答题：,2；

【分析】只有符号不同的两个数互为相反数.

倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.利用这些知识即可求解.

一个谴的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

9.从-3、-1、()、+2、+4中，任取3个数相乘,则乘积的最大值是.

【答案】12

【解析】【解答】解：积最大的是：(-3)x(-1)