有余数的除法-2026三年级奥数培优讲义（含答案）

第08讲有余数的除法

（知识梳理+例题讲解+考点练习）

。【学习目标】

1.理解有余数除法的意义，能区分"能整除''和"不能整除’的情况，明确余数的产生条件。

2.掌握被除数、除数、商、余数之间的基本数量关系，并能灵活运用关系公式（如被除数=除

数x商十余数、除数=（被除数■余数户商）解决问题。

3.牢记“余数必须比除数小”的核心规则，能运用该规则确定余数、除数的取值范围，进而解决

求最大/最小被除数、除数、商等问题。

一:♦:一知识梳理

一■-知识点一、有余数除法的定义

在整数除法中，分为“能整除”（没有余数）和“不能整除”（产生余数）两种情况。当不能整

除时，被除数除以除数的结果由“商”和“余数”组成，记作：被除数+除数=商……余数。

例如：26+4=62（商是6,余数是2）。

*知识点二、基本数量关系

1.除法算式：被除数+除数=商……余数（余数V除数）

2.被除数=除数x商十余数

3.除数=（被除数.余数户商

4.商=（被除数.余数户除数

一■-知识点三、核心规则：余数必须比除数小

在有余数的除法中，余数的取值范围是公余数〈除数（余数最小为1,最大为除数・1）。该规

则是解决各类问题的关键依据。

知识点四、常见题型及解题方法

1.已知除数和商，求最大/最小被除数

（1）方法：根据“余数V除数”，余数最大为“除数-「，最小为1，再用公式“被除数=除数x商

十余数”计算。

（2）例：口+6=8……□，除数=6,商=8。

余数最大=6・1=5,最大被除数=6x8+5=53；

余数最小=1,最小被除数=6x8+1=49。

第1页共5页

2.已知商，求最小被除数

(1)方法：要使被除数最小，需先确定最小除数和最小余数。余数最小为I,除数必须大于

余数，故最小除数=余数+1=2,再用公式“被除数=除数>：商+余数”计算。

(2)例：□+[]=8……[],商=8。

余数最小=1,除数最小=1+1=2,最小被除数=2x8+1最小

3.已知被除数和余数，求除数和商

(1)方法：先用“被除数■余数”得至广除数X商”的积，再结合“除数>余数”确定除数的取值，

进而求出商。

(2)例：28-[]=[]……4,被除数=28,余数=4。

除数x商=28-4=24,且除数>4。24的因数中大于4的有6、8、12、24,对应商为4、3、2、

1,故除数和商可能为(6,4)(8,3)(12,2)(24,Do

4.商和余数相等时，求被除数

(1)方法：设商=余数=a(a>l),则除数>a(除数最小为a+1),被除数=商、除数+余数=ax

除数+a=ax(除数+1)。根据除数,a,可列举不同a对应的被除数。

(2)例：[]+7=[]……[](商和余数相等)，设商=余数=a(a<7,a>l)0

当a=l时,被除数=k7被=8；a=2时,被除数=2x7+2=16；........；a=6时,被除数

=6x7+6=48。

5.除数和商相等时，求最小被除数

(1)方法：设除数=商=L余数已知(记为C),则除数>余数(b>c),除数最小为C+1,此

时被除数最小=除数X商十余数=b2+C。

(2)例：[]+[]=[]……4(除数和商相等)，余数=4,除数=商q>4,最小b=5,最小被除数

=5x5+4=29。

6.已知被除数与除数的倍数关系，求除数

(1)方法：根据题意列出关系式“被除数=除数X倍数十余数”，变形可得“除数=(被除数-余数产

倍数”。

(2)例：被除数是77,比除数的8倍还多5,即77=除数乂8+5,除数=(77・5)+8=9。

嘘例题讲解

腺一、已知除数和商，求最大/最小被除数

【例题】[]+5=7……[],求最大被除数和最小被除数。

第2页共5页

嘘二、已知商，求最小被除数

【例题】[]-[]=5……[],求最小被除数。

喧三、已知被除数和余数，求除数和商

【例题】35寸]=[]……5,求所有可能的除数和商。

唱四、商和余数相等时，求被除数

【例题】[卜5T]……[]（商和余数相等），写出所有可能的被除数。

除数和商相等时，求最小被除数

M]=[]……2（除数和商相等），求最小被除数。

嚏六、已知被除数与除数的倍数关系，求除数

【例题】被除数是53,比除数的6倍还多5,求除数。

，考点练习

第3页共5页

，一、已知除数和商，求最大/最小被除数

1.[卜8=6……[],求最大被除数和最小被除数。

2.[]-7=10……[],求最大被除数和最小被除数°

"二、已知商，求最小被除数

1.[]-[]=4……[],求最小被除数。

2.[]-[]=10……[],求最小被除数。

"三、已知被除数和余数，求除数和商

1.30-[]=[]……3,求所有可能的除数和商。

2.17寸]=[]……4,求所有可能的除数和商。

第4页共5页

，四、商和余数相等时，求被除数

1.[]+3=[]……[]（商和余数相等），写出所有可能的被除数。

2.[]+9=[]……[]（商和余数相等，被除数＜50）,写出所有可能的被除数。

“五、除数和商相等时，求最小被除数

1.[]-[]=[]……3（除数和商相等），求最小破除数。

2.[M]=[]……6（除数和商相等），求最小被除数。

“六、已知被除数与除数的倍数关系，求除数

1.被除数是80,比除数的9倍还多8,求除数。

2.被除数是40,比除数的5倍还少5,求除数。

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第08讲有余数的除法

（知识梳理+例题讲解+考点练习）

。【学习目标】

1.理解有余数除法的意义，能区分"能整除''和"不能整除’的情况，明确余数的产生条件。

2.掌握被除数、除数、商、余数之间的基本数量关系，并能灵活运用关系公式（如被除数=除

数x商十余数、除数=（被除数■余数户商）解决问题。

3.牢记“余数必须比除数小”的核心规则，能运用该规则确定余数、除数的取值范围，进而解决

求最大/最小被除数、除数、商等问题。

一:♦:一知识梳理

一■-知识点一、有余数除法的定义

在整数除法中，分为“能整除”（没有余数）和“不能整除”（产生余数）两种情况。当不能整

除时，被除数除以除数的结果由“商”和“余数”组成，记作：被除数+除数=商……余数。

例如：26+4=62（商是6,余数是2）。

*知识点二、基本数量关系

1.除法算式：被除数+除数=商……余数（余数V除数）

2.被除数=除数x商十余数

3.除数=（被除数.余数户商

4.商=（被除数.余数户除数

一■-知识点三、核心规则：余数必须比除数小

在有余数的除法中，余数的取值范围是公余数〈除数（余数最小为1,最大为除数・1）。该规

则是解决各类问题的关键依据。

知识点四、常见题型及解题方法

1.已知除数和商，求最大/最小被除数

（1）方法：根据“余数V除数”，余数最大为“除数-「，最小为1，再用公式“被除数=除数x商

十余数”计算。

（2）例：口+6=8……□，除数=6,商=8。

余数最大=6・1=5,最大被除数=6x8+5=53；

余数最小=1,最小被除数=6x8+1=49。

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2.已知商，求最小被除数

(1)方法：要使被除数最小，需先确定最小除数和最小余数。余数最小为I,除数必须大于

余数，故最小除数=余数+1=2,再用公式“被除数=除数>：商+余数”计算。

(2)例：□+[]=8……[],商=8。

余数最小=1,除数最小=1+1=2,最小被除数=2x8+1最小

3.已知被除数和余数，求除数和商

(1)方法：先用“被除数■余数”得至广除数X商”的积，再结合“除数>余数”确定除数的取值，

进而求出商。

(2)例：28-[]=[]……4,被除数=28,余数=4。

除数x商=28-4=24,且除数>4。24的因数中大于4的有6、8、12、24,对应商为4、3、2、

1,故除数和商可能为(6,4)(8,3)(12,2)(24,Do

4.商和余数相等时，求被除数

(1)方法：设商=余数=a(a>l),则除数>a(除数最小为a+1),被除数=商、除数+余数=ax

除数+a=ax(除数+1)。根据除数,a,可列举不同a对应的被除数。

(2)例：[]+7=[]……[](商和余数相等)，设商=余数=a(a<7,a>l)0

当a=l时,被除数=k7被=8；a=2时,被除数=2x7+2=16；........；a=6时,被除数

=6x7+6=48。

5.除数和商相等时，求最小被除数

(1)方法：设除数=商=L余数已知(记为C),则除数>余数(b>c),除数最小为C+1,此

时被除数最小=除数X商十余数=b2+C。

(2)例：[]+[]=[]……4(除数和商相等)，余数=4,除数=商q>4,最小b=5,最小被除数

=5x5+4=29。

6.已知被除数与除数的倍数关系，求除数

(1)方法：根据题意列出关系式“被除数=除数X倍数十余数”，变形可得“除数=(被除数-余数产

倍数”。

(2)例：被除数是77,比除数的8倍还多5,即77=除数乂8+5,除数=(77・5)+8=9。

嘘例题讲解

腺一、已知除数和商，求最大/最小被除数

【例题】[]+5=7……[],求最大被除数和最小被除数。

【答案】最大被除数40,最小被除数36。

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【详解】除数=5,商=7。余数最大为除数-1=5-1=4,最大被除数=5x714=35+4=40；余数最小

为L最小被除数=5x7+1=35+1=36。

【分析】考查“余数〈除数”的性质及“被除数=除数X商+余数”公式，需准确确定余数的最大和

最小值。

啕二、已知商，求最小被除数

【例题】[:H]=5……[],求最小被除数。

【答案】11。

【详解】要使被除数最小，余数最小为1,除数必须大于余数，故最小除数=1+1=2。被除数=

除数x商+余数=2x5+1=10+1=11。

【分析】关键是确定“最小余数=1”和“最小除数=2”，再用公式计算，基础且核心。

啕三、已知被除数和余数，求除数和商

【例题】35+[]=[]……5,求所有可能的除数和商。

【答案】除数和商可能为（6,5）、（10,3）、（15,2）、（30,1）。

【详解】被除数=35,余数=5,除数x商=35-5=30,且除数>5。30的因数中大于5的有6、

10、15、30,对应商=30+6=5、30+10=3、30+15=2、30+30=1。

【分析】先求“除数、商=被除数.余数”，再筛选“除数〉余数”的因数，是本知识点的核心步骤。

嘘四、商和余数相等时，求被除数

【例题】[]+5=[]……[]（商和余数相等），写出所有可能的被除数。

【答案】6、12、18、24o

【详解】设商=余数=a（a>l,a<5）,则a=l、2、3、4。被除数=ax5+a=6a,本应a=l时

6x1=6,a=2时6x2=12,a=3时6x3=18,a=4时6x4=24。

【分析】核心是“商二余数二a”且“aV除数”，通过“被除数=@、（除数+1）”快速计算。

喧五、除数和商相等时，求最小被除数

【例题】[卜[]=[J……2（除数和商相等），求最小被除数。

【答案】11。

【详解】设除数=商』（b>2）,最小b=2+l=3,被除数刈2+2=32+2=9+2=11。

【分析】关键是“最小除数=余数+1"，再用"被除数52十余数”计算，基础且核心。

嘘六、已知被除数与除数的倍数关系，求除数

【例题】被除数是53,比除数的6倍还多5,求除数。

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【答案】8o

【详解】关系式：53=除数乂6+5,除数=（53-5尸6=48+6=8。

【分析】核心是“被除数=除数x倍数+余数”，变形为“除数=（被除数-余数户倍数”。

，考点练习

“一、已知除数和商，求最大/最小被除数

1.[卜8=6……[],求最大被除数和最小被除数。

【答案】最大55,最小49。

【详解】除数=8,商=6。余数最大=8-1=7,最大被除数=8x6+7=48+7=55：余数最小=1,最小

被除数=8x6+1=48+1=49。

【分析】巩固余数与除数的关系，强调余数必须小于除数，计算时注意乘法与加法的准确性。

2.[]-7=10……[],求最大被除数和最小被除数,

【答案】最大76,最小71。

【详解】除数=7,商=10。余数最大=7-1=6,最大被除数=7x10+6=70+6=76；余数最小=1,最

小被除数=7x10+1=70+l=7Io

【分析】商为两位数（10）,数字稍大但计算简单，巩固对公式的熟练运用。

“二、已知商，求最小被除数

1.[]-[]=4……[],求最小被除数。

【答案】9o

【详解】余数最小=1,除数最小=2,被除数=2x4+l=8+l=9。

【分析】商较小，结果简单，适合基础巩固，确保学生掌握基本步骤。

2,[]+[]=10……[],求最小被除数。

【答案】210

【详解】余数最小=1,除数最小=2,被除数=2x10+1=20+1=21。

【分析】商为10,数字稍大但计算直观，考查公式应用的熟练度。

"三、已知被除数和余数，求除数和商

1.30^[]=[]……3,求所有可能的除数和商。

【答案】除数和商可能为（9,3）、（27,Do

【详解】被除数=30,余数=3,除数x商=30・3=27,除数＞3。27的因数中大于3的有9、27

（因数3等于余数，需排除），对应商=27+9=3、27+27=1。

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【分析】强调“除数必须A余数”，排除等于余数的因数，培养严谨性。

2.17乱]=[]……4,求所有可能的除数和商。

【答案】除数和商可能为（13,Do

【详解】被除数=17,余数=4,除数x商=17・4=13（质数），除数>4。13的因数仅1和13,故

除数=13,商=1。

【分析】积为质数时因数少，考查学生在特殊情况下的应用能力。

■四、商和余数相等时，求被除数

1.[]+3=[]……[]（商和余数相等），写出所有可能的被除数。

【答案】4、8o

【详解】a=l、2（a<3）,被除数=a'3+a=4a,对应4x1=4、4x2=8。

【分析】除数最小（3）,a仅1和2,强调“a的最大值=除数-1”