余弦定理、正弦定理 课时3 同步练习-2025-2026学年高一数学下册人教A版必修第二册

6.4.3余弦定理、正弦定理

课时3余弦定理、正弦定理应用举例

基础知识巩固练

知识点1距离问题

1.已知长方形墙ACFE把地面上B,D两点隔开,该墙与地面垂直,长10米，高3米.已测得AB=6米,BC=8米.现欲通过计

算，能唯一求得B,D两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（）

A.点D到AC的距离B.CD长度和DF长度

C.ZACB和ZADCD.CD长度和ZACD

2.一艘轮船从A处出发，以40海里/小时的速度沿西偏南50。的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,

轮船在A处观察灯塔,其方向是东偏南25°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东85°,则B,C两点间的距离为（）

A.10（6+或）海里B.1C（遥-鱼）海里

C.106海里D.1CVI海里

知识点2高度问题

3.如图,测量河对岸塔高AB时,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得a=75°,B=60。，CI）=20m,

在点C史测得塔顶A的仰角为0=60。，则塔高AB为（）

A.30V3mB.20乃m

C.3072mD.10V6m

4.如图，为测量超然楼的高度,选择C和一个楼房DE的楼顶E为观测点，已知A,C,D在水平地面上，超然楼AB和楼房DE

都垂直于地面.已知DE=14m,ZACD=45>,ZADC=60°,在C点处测得E点的仰角为15°,在E点处测得B点的仰角为

45°,则超然楼的高度AB=（）

A.(12+28V3)mB.(32+14次)m

C.(14+2875)mD.(28+146)m

5.位于河南省焦作市的“腾飞”铜马雕塑如图所示,建于1985年,寓意焦作人民奋发昂扬的精神风貌某同学为测量雕

塑的高度CD,选取了与雕塑底部在同一条水平直线上的点A,B,并测得/DAC=30°,ZDBC=75°,AB=19米，则雕塑的高度

CD为（参考数据:sin750二世髻）（

4

1）

D19(V6+V2)

八皿包④米K

4-2-

C19(、。+1)米D型普米

4

6.如图,在离地面高为M>400m的热气球M上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,已知N

BAC=60°,则山的高度BC=m（A,B,C,D,M在同一铅垂平面内）.

知识点3角度问题

7.如图，在坡度一定的山坡AD上的A处测得山顶上••建筑物CD的顶端C对于山坡AD的斜度为15°,向山顶前进100

m到达B处，在B处测得C对于山坡AD的斜度为45°.若CD二

50%山坡AD与地平面AE的夹角为0,则cos。等于（）

4C.V2-1D.x/3-1

综合能力提升练

8.老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东15°方向上的B地,立刻以10V3m/s的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以1072

m/s的速度往北偏东750方向逃窜,假设甲、乙都是匀速直线运动，且AB=500（述-&）明则甲能够一次性捕获乙的最短

时间为（）

A.60sB.80sC.100sD.120s

9.如图,某工程队将从A到D修建一条隧道,工程队从A出发向正东行10V3km到达B,然后从B向南偏西450方向行

了一段距离到达C,再从C向北偏西75°方向行了“5km到达D.已知C在A南偏东15°方向上，则A到1）隧道的长度

为（）

A.2V78kmB.2753km

C.2x^38kmI).872km

10.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位:m）,三角高程测量法是珠峰高程

测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图加图所示，现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满

足NA'CB'=45°,NAB'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为

45°,则AC两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为（百合1.732）（）

H

A.346B.373C.446D.473

11.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600

m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°,则此山的高度CD=m.

12.如图:海岸线上有相距5海里的两座灯塔A,B.灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A

的北偏西75°,与A相距3或海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处,此时乙船与灯

塔A之间的距离为海里,两艘轮船之间的距离为海里.

13.如图所示,某旅游景区的B,C景点相距2km,测得观光塔AD的塔底D在景点B的北偏东45°,在景点C的北偏西60°

方向上,在景点B处测得塔顶A的仰角为45°,现有游客甲从景点B沿直线去往景点C,则沿途中观察塔顶A的最大仰

角的正切值为.(塔顶大小和游客身高忽略不计)

14.如图,某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时5km的速度向东进行长跑训练,长跑开始时,在A市南

偏东方向距A市25km,且与海岸距离为15km的海上B处有一艘小艇与运动员同时出发,要追上这位运动员.

(D小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？

(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.

答案

1.D在AABC中，由余弦定理的推论可求得NBAC和NBCA,要求出BD的长，需解以BD为边的三角形，

对比选项可知选项D可以解aBCD,从而求出BD.

2.A由题易知AB=40X；20(海里)，/ABC=85°-(90°-50°)=45°,ZBAC=180°-(50°+25°)=105°,ZACB=180d-

(105°+45°)=30。，如图，

//:

由正弦定理得六二儡

则BCFOsin105°=40Xsin（60°+45。）=40Xgx当+；x曰）=10（遍+&）海里.故选A.

3.C在ABCD中，NCBD=1800-75°-60°=45°,

由正弦定理得上一=旦,则BC="3=¥=10VS（m）,

stnZCBDsinBsinZCBDV2

在RtZVBC中，AB=BC・tan。=105退=30立（m）.故选C.

4.D如图,过E作EFlAB,交AB于点F,因为在E点处测得B点的仰角为45°,所以ABFE为等腰直角三角形,所以

BF=EF.

H

C

由题意得NECD=15°,ED±CD,所以CD=DE--.14.m,在aACD中，易知NCAD=75°,由正弦定理得

lanlS*(刖15。

AD_CD_14_14

$E45’sin75"tanl59cosl5*SE15°’

sin15°=sin(45°-30°)=sin45°ccs30°-cos45°sin30°二华，

&

所以易知AD=EF二BF,AF=ED,

V6-V2

则AB=BF+AF=AD+ED=14(b+D+14=(28+14>/3)m.

5.B如图,过点C分别作A'C',B'C的平行线,分别交A'A与B'B于点D和E,连接DE,则DE〃A'B',过点B作DE的平

行线BF,交AA'于点F.

故△A'B'C*—DEC,

・•・NDCE=NA'C'B'=45。，

NCDE=NC'A'B'=1800-NA'C'B'-NA'B'C'=75°.

在RtABCE也可得tan15°谭,即2-冉喘，

/.CE^=100(2+V3),

2-V3

在4CDE中，由正弦定理可得所-CE

sin455加75

,DE用竺一・CE=100(V3+l),

$E75.

又知在RtAABF中，NABF=45°,所以AF=BF,所以AA'-CC'=AD=AF+DF=AF+BE=BF+BE=DE+BE=100(2+V5)%373.故选B.

6.答案100连

解：依题意有AB=600m,ZCAB=30°,

ZCBA=180°-75°=105°,ZDBC=30°.DC1CB.

AZACB=45°.

在ZkABC中，由AB-。上

scnZACBsin/CAB

得60°-CB所以CB=300四m,

sm45°而03°

在RtAECD中，CD=CB-tan300=100^m,

则此山的高度CD=100乃m.

7.C设CD=h米，则在4DCB中，DB」一米，

sm7S,

因为NDBC=75°,NDAC=30°,NDBC=NDAC+NADB,所以NADB=75°-30°=45°.

在ADBA中，由正弦定理得一、3一,

ytnZDABsE/ADB

即——-——=」一,

s加75。・$E3O0$M45°

所以卜二上至二竺二二皿包.故选c.

5in45'4

8.答案600

解：易知NMAD=45°,又NBAC=60°,所以NMAC=180°-45°-60°=75°,所以NMCA=180°-75°-15°-45°=45°,

因为sir.ZMAD=^,所以血\--”■-售=400或(m),在△ACM中，易知所以AC=400V3m,所以BC=ACsin60°

MAsenZMADv£sin60,sE45"

2

=40073X^600m.

2

9.D因为NCBD=45°,NCAB=15°,所以NACB=45°-15°=30°,

在aABC中，由正弦定理得BJ-」B

sinl50s加30'

易知sir15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°也与

4

所以BC」°-s'=50(A/6-V2)叫

sln30a

在ABCD中，由正弦定理得网后孙-5°,

sinZBDCsin45

所以sir/BDC二竺巫囱竺竺-二75-1,即6in(0+90°)=75-1,所以cos0=V5-1.故选D.

50

10.c由题可得示意图如图所示,设经过Is在点C处甲捕获乙，

在△八BC中，易知/ABC=120°,AB=500(^-V2)m,BC=10>/2tm,AC=10V5tm,

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2XABXBCXCOSZABC,

.•.300t2=l000000(2-V3)+200t2-2X500(V6-V2)X10x/21X(-0,

化简得t2-100(V3-l)t-10000(2-何=0,解得匕=100/2=100(75-2)<0(舍去),

工能够一次性捕获乙的最短时间为10()s.

11.C连接AC,由题意得NABC=45°,NACD=75°-15°=60°,ZBCD=75°+45°=120°,ZACB=60°,AB=10V3

km,CD=4企km,

在AABC中，由正弦定理得-AC,即与■吟,则AC=10V2km,

sin/ACBsinZABC且型

在4ACD中，由余弦定埋得

AD=JAC24-CD2-2AC・CDcosZACD

=J(10或)2+(4V2)2-2x10V2x4\/2x|=2V38km.

故选C.

12.答案5;V13

解：连接AC,由题意可知AB=BC=5,ZABC=60°,则AABC为等边三角形,可得AC=5,ZBAC=60°.在4ACD中，易求/

CAD=45°,根据余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2•AC•AD•cosZCAD=25+18-2X5X3\/2X^=13.所以CD=V13,故乙船与灯

塔A之间的距离为5海里，两艘轮船之间的距离为g海里.

13.答案V2

解：由塔底D在景点B的北偏东45°,在景点C的北偏西60°方向上，

可知NDBC=45°,NDCB=30°,在△BDC札BC=2km,

sinZBDC=sin(45°+30°)必£由正弦定理得」--二一,则BD二下一km,

4^n30rsm/BD€V6+V2

在RtZ\ABD中，AD=BDtan450=-^-=kir.,