玩转30°与 60角 培优练习-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第22讲玩转30。与60角

题型①60。角一构30。的直角三角形

［例I］如图，在△ABC中,NB=6(r,BC=C,点D在边AB上,(CA二CD,BD=7,求AD的长.

题型②补形一构30。的直角三角形

【例2】如图,NB=NC=6()o,BC=2BD,DEJ_CE于点E若CE=2,求BC的长.

题型③作垂线T构30°的直角三角形

【例3】如图.在RlAABC中,AB=AC,D是^ABC内一点,匚44。=30.求证:AB=BD.

题型④15“角一构30“的直角三角形

【例4】如图在△ABC中,NACB=90o,NB=3()o,AD平分口。民，E为AD的延长线上一点.NE=15。.求证:

DE=AC+^DB.

实战演练

如图,于点求的值.

LAC=BD.DHJ_ABH,ZABC=60°,ZBAC=50°,ZDBA=20°,DH±ABH.An

2.如图在四边形ABCDZB=ZADC=90°,ZA=30°.BC=1,AB=5VJ,AD=8,求CD的长.

3.如图在RSABC中,/□JC5=90a^lC=5CD为BC上任意一点,E为AD上一点，且AE=；BEQBED=3

0.求证:NCED=45。.

4.如图在等腰△ABC中.UACB=90，4BC,,D为AB上一点.BC的垂直平分线交CD于点E,NBCD=15。,

求证:AE=AC.

板块二60角的用法(一)构等边

典例精讲

题型①运用6()。作等边三角形构错位全等

【例1】如图,D是BC的中点，□/Z)C=60」,,E是AC上一点.BE交AD于点F,AE=EF.求证：AF=\BC.

题型②运用6()。作等边三角形构手拉手全等

［例2］如图，在△ACD中.NCAD=60。,以AC为底边向夕M乍等腰△ABC,ZBAC+ZADC=60°,ffiCD上截取DE

=AB.连接BE.若NBEC=30°,求证:AD=AC+BC.

实战演练

如图.在等边4ABC中.P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称.连接DA,并延长交直线CP于

点E.

⑴求NE的度数:

⑵求写竺的值.

板块三60。角的用法(二)等边互补模型

类型1:证角平分线类型2：证等边三角形

条件:4ABD为等边三角形,NBCD=120°条件:NBAD=ZBCA=ZACD=60°.

以

结论:①ZBAC=ZBDC,ZACD=ZACB=60°;®AC=

BC+CD.

C

电

结论：△ABD为等边三角形.

方法:作等边△ACE.

方法.作等边^BCE.

典例精讲

【例1】如图,在四边形ABCDO,ZBCD=120°,AABD为等边三角形.

(1)求证9人平分/BCD;

⑵求证:AC=BC+CD.

BD

C

【例2]如图，在四边形ABCD中,NBAC=NDAC=NDCB=60。.

⑴求证:△BCD为等边三角形;

(2浩AC=4,AB=1,求AD的长.

【例3】如图在等边△ABC中,D为边AC的中点，点M在边AB上点N在边BC的延长线上，且NMDN二

120。.求证:DM二DN.

实战演练

1.在四边形ABCD中，EU5G120,[/。。=60,,E为BD上一点，口48后为等边三角形,求证:BC=DE.

2.如图，在口力8。中，AB=ACy[BAC=\20„D为BC的中点EF分别为AB,AC上一点DEZ)产=60.

⑴求证:DE二DF;

（2求AB.AE,AF的数量关系.

3.如图.在四边形BMDN中C为BN上一点，/口8=口6。。=60,DMON=120,8C=2CQ=6.求BM+BN的长.

板块四60角的用法（三）等边同旁张等角模型

条件：口/班.为等边三角形，\1ACE=CADE=^.

B

方法：作等边rDCF.D

结论：AD=DE;BD=CE.

典例精讲

【例】如图，D为等边.匚力8C0她BC的延长线上一点，口力。E=口/"=60.求证：AD=DE（用两种不同方法

证明）.

证法一：

证法二：

备用图

实战演练

如图C为BN上一点,BC=2CD=6,NMBN=NMDN=NDCN=120。,求CN-BM的值.

板块五60角的用法(四)120夹60模型

条件:CA=CB,NACB=120。,ZDCE=60°.

方法:顺时针方向作NFCE=12()o,CF=CE.

结论:△CAF^ACBE,ACFD^ACED.

典例精讲

【例】如图，在△ABC中,CA=CB,NACB=I2O1点D,E在AB上,/口。。"=60：］JCQE==75。求证:AD=2BE.

实战演练

1.如图，在△ABC中,CA=CB,NACB=120。,点D,E在射线AB上，匚QCE=60区求/E的度数

2如图，在△ABC中,(C4=CBgCB=l20，点D,E在线段AB上，IDCE=60，点P在CE的延长线上，

口力研=12()，求证：PD=AD+BP.

P

第22讲玩转30。与60。角

板块一30。角的用法

典例精讲

【例1］解过点C作CEJLAD于点E,

匚口3=60,□□5CF=303,□5E=；BC=9.

*/RD=7/.DF-RF-RD=?,

,/CA=CD,CE_LAD,AE=DE=2.:.AD=4.

【例2】解:延长BD,CE交于点A,连接CD.

VZB=ZACB=60°,

•••△ABC为等边三角形,NA=60。，

AAB=AC=BC=2BD,.\AD=BD,

・•・CD1AB,NACD=NBCD=30°.

VDEIAC,AZADE=90°-ZA=30°.

・•・AD=2AE.设AE=x,则AD=2x,AB=AC=4x,

•.•AC=AE+CE,；.4x=x+2,解得.r=1,

CBC=4x=^.

【例3】解过点D作DE_LAC于点E,过点A作AF_LBD于点F,：AD=CD,，AC=2AE,

ZABD=30°,ZAFB=90°,

.*.AB=2AF,VAB=AC,

・•・AE=AF,J△ADFg△ADE(HL),

/.ZDAF=ZDAE.

VZBAC=90°,ZBAF=60°,

AZEAF=30o,ZDAE=15o,ZBAD=75o,ZBDA=180o-ZABD-ZBAD=75°=ZBAD.

AAB=BD.

［例4］解:：ZACB=90°,AZCAB=90°-ZB=60°.

•..AD平分NCAB,

二ZCAD-ZDAB-300-ZB,

J

LCD=^AD=^DBy［ADB=JCDE=12O.

在DE上截取DM二CD.连接CM,

/.ZDCM=ZDMC=30°.

AZCAD=ZCMA=30°.

/.CA=CM.VZCMA=ZE+ZMCE,

・•・ZMCE=ZCMA-ZE=15°=ZE,

・・・CM=ME,・・・ME=AC,

[DE=ME+DM=AC+CD=AC+G2DB.

实战演练

1.解:过点A作AE_LBC于点E.

ZABC=60°,ZBAC=50°,AZBAE=30°.

AAB=2BE,ZEAC=ZBAC-ZBAE=20°.

VDH1AB,ZDBH=2O°,.*.ZDHB=ZAEC=9O°,ZDBH=ZEAC.

VAC=BD,.\△DBHgACAE,；.DH=EC.

BC-DHBC-EC_BE_1

~AB2BE~2BE~2'

2解:延长AD,BC交于点E,连接AC.

•・•ZDAB=30°,ZADC=ZB=90°,

□□£=60,0£CD=90-6Oa=3O3.

设DE=xWCE=2DE=2x,AE=2BE,

AAE=AD+DE=8+x=2(2x+1),解得x=2.

ADE=2,CE=4,AE=10,

匚sACE=\AECD=\CEAB,

C10CD=20\/3,nCZ)=2V3.

3解:过点B作BF1AD交AD的延长线于点F,连接CF.

匚口3£。=304E="E,匚BF=；BE=AE

•/ZACB=90°=ZBFA,ZADC=ZBDF,

:.ZCAD=ZCBF.VBF=AE.AC=BC,

/.ACAE^ACBF,/.CE=CF,ZACE=ZBCF.

・•・ZECF=ZECD+ZBCF=ZECD+ZACE=ZACB=90°,VCE=CF,/.ZCFE=ZCED=45°.

4.解：过点A,B作直线CD的垂线，垂足分别为F,H,连接BE易证匚BEH=2匚BCD=30,BH=gBE=；CE、易

证4BCH^ACAF.BH=CF=

VAF1CD,.,.AE=AC.

板块二60。角的用法（一）构等边

典例精讲

【例I】证明:在AD的延长线上我取DH=BD,连接BH.

VZBDH=ZADC=60o,/.ABDH为等边三角形,

ABH=BD,VD是BC的中点,.\BH=BD=CD,

VAE=EF,AZAFE=ZEAF=ZBFH,

VZBHF=ZADC=60O,/.AFBH^AACD（AAS）,

・••HF=AD,・••DF+DH=DF+AF,，DH=AF,

VDH=DB=DC,/.AF=；BC.

【例2】解:延长AC至点T,使AT=AD,连接BT,ET,BD,DT.

•IZCAD=60°,

.••△ATD为等边三角形，

.\AD=DT=AT,ZADT=ZATD=60°=ZADC+ZCDT.

VZBAC+ZADC=60°,/.ZBAC=ZTDE.

VAB=DE,・•・AATB^ADTE,

/.BT=ET,ZATB=ZDTE,

AZBTE=ZATD=60°,

•••△BTE为等边三角形.

ABE=TE,ZBET=60°.

VZBEC=30°..\ZTEC=30°.

ZBEC=ZTEC.VEC=EC,

，△BEC^ATEC,JCT=BC.

，AD=AT=AC+CT=AC+BC.

实战演练

解（1）设NACE=x,NDCE=NBCP=60°-x,易证CB=CA=CD^［：DCA=60-2t,nCZM=：（180—/ACD）=600+x,，

ZCED=1800-ZDCE-ZCDE=180:（6021—x）-（60+x）=60

(2衽ED的延长线上取点M使EM=CE.连接CM,

•••△ECM为等边三角形，

AZM=ZE=60°,CM=CE.

VCA=CD,AZCAD=ZCDA,AZCAE=ZCDM,

:.ACAE^ACDM,；・AE二DM,

・•・EM-AD=AE+DM=2AE.

*/CE=FMCE-AD=2AE,:.CE-AD=2.

板块三60。角的用法(二)等边互补模型

典例精讲

【例1】证明:⑴延长BC至点E使CE=CD,连接DE.

VZDCE=60°,AADCE为等边三角形；

易证△ACD丝△BED(SAS),

・•・ZACD=ZE=60°=ZACB.ACA平分ZBCD;

⑵由⑴得AC=BE=BC+CE=BC+CD.

【点睛】证120。的角平分线的常用方法有：(1)构等边三角形，［2)作垂线.

【例2】解:⑴延长AB至点E,使AE=AC,连接EC.

VZEAC=60°>.*.AAEC为等边三角形，易证△ACD且△ECB(ASA),・・.CD=CB,

VZBCD=60°,.\ABCD为等边三角形；

⑵由⑴知AC=AE=AB+BE=AB+AD=4,AD=3.

【点睛】本题也可过点C作AB,AD的垂线求解.

【例3】证明:过点D作DE〃AB,交BC于点E.易证△DEC为等边三角形，易证△AMD^AEND,ADM=DN.

匕点睛】本题还有不少其他方法，如：

(1祚口作DF〃BC;

(2过D向/ABC的两边作垂线.

实战演练

1解:延长BC至点M,使BM二BD,连接DM.

,：△ABE为等边三角形,，AB=BE,ZABE=60°.

•・•ZABC=120°,/.ZDBM=60°.

VBM=BD,.\ABDM为等边三角形，

/.DM=BD,ZM=ZBDM=60°,

ZADC=60°,Z.NADONBDM,

AZADB=ZMDC.

,.,ZM=ZARD=60°,/.AARD^ACMD,.\AR=CM.

VAB=BE,.\CM=BE.

VBM=BD,.\BD-BE=BM-CM,gpDE=BC.

2.解:(I)连接AD,在AB上截取AM=AD,连接MD.

VAB=AC,D为BC的中点，

L\JBAD=L.CAD=^U^JC=60.

•・•AM二AD,，AAMD为等边三角形，

・•・MD;AD,ZAMD=ZADM=60°,

；・ZAMD=ZBAD,ZADM=ZEDF,

AZEDM=ZADF,

；・△EDM^AFDA,?.DE=DF;

(2)VAD=AM=AE+ME,AF=EM,

.\AD=AE+AF,

VAB=AC,D为BC的中点,NBAC=120。，

.\ZB=ZC=3O°,AD1BC,

/.AB=2AD,，AB=2(AE+AF).

3.证明:延长BM,CD交于点人狈必ABC为等边三角形.

过点D作DF〃BC交AB于点F,

易得△ADF为等边三角形，易证△DFM^ADCN,

,MF=CN,・・・BN+BM=BF+BC=3+6=9.

板块四60。角的用法(三)等边同旁张等角模型

典例精讲

【例】证法一：过点D作DM〃AC交EC于点M,

JZDMC=ZACE=60°,ZMDC=ZACB.

AZDME=120°.

•・•AABC为等边三角形,AZACB=60°,

/.ZMDC=60°,ZACD=120°,

••.△MCD为等边三角形,，MD=CD.

ZACE=ZADE=60°,AZCAD=ZCED.

ZACD=ZEMD=120°,，△ACDg△EMD,

.\AD=DE;

证法二:过点D作DN〃AB交AC的延长线于点N.

AZNDC=ZB.

■:ZXABC为等功三角形,・••ZB=ZACB=60°,

ZNDC=60°,ZNCD=ZACB=60°,

•••△CDN为等边三角形,・・・DN=CD,NN=60。.

■:ZECD=180°-ZACB-ZACE=180o-60o-60o=60°,AZECD=ZN=60°.VZADE=ZNDC=60°,

；・ZEDC=NADN,，△ANDgAECD,.\AD=DE.

实战演练

解延长MB,CD交于点E,

易证△BCE为等边三角形，D为EC的中点.

过点D作DF〃BC交BE于点F,

易证△DEF为等边三角形,则ED=EF=DF=DC,

易证△DFM^ADCN,ACN=MF,ACN-BM=

FM-BM=FB=EB-EF=EC-ED=CD=3.

板块五60。角的用法（四）120。夹