浙江省金华十校2026届高三年级上册一模考试数学试题（解析版）

浙江省金华十校2026届高三上学期一模考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中,只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合。={1,2,3,4,5,6,78},A={2,3,4},则集合24=()

A.{1}B,{2,3,4)

C.{5,6,7,8}D.{1,567,8}

【答案】D

【解析】由。={1,2,34,5,6,7,8},A={2,3,4),则心A={1,5,6,7,8}.

故选：D.

2.已知等差数列｛〃/满足4=2,%+4=20,则%=:）

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

［解析】由题设q+4==20=6=10,而q=2,

所以4+%=2%=12n%=6.

故选:B.

5

3.——)

2+i

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2

【答案】B

5_(2+i)(2-i)_o

【解析】——乙一

2+i2+i

故选：B.

+」5

4.已知-----,则々二（)

log9。幅7aJ

A.3B.9C.27D.81

【答案】C

5

1=loga9+log(/27=log</3=1,

【解析】嬴T际

所以^=35,则/=(3')=27',解得4=27.

故选：c.

5.已知随机变量XN（2,"）,且P（X<0）=0.3,则P（0<X<4）的值为()

A.0.2B.0.4C.0.7D.0.35

【答案】B

【解析】由题设P(X<2)=0.5,且P(X<0)=0.3,则P(0<X<2)=0.2,

由正态分布曲线关于X=2对称，则P(0<X<4)=04.

故选：B.

6.若圆C:(x—l『+(y+3)2=l上存在两点4,8,直线/:3工一4)，+〃?=0上存在点儿

使得NA??=60。，则实数的取值范围为()

A.[-25,-5]B.(—<x),—25]u[—5,-Ko)

C.[-35,5]D.(^o,-35]u[5,+oo)

【答案】A

【解析】当直线与圆相交时，如图所示，若A、8离直线越近时，直至与直线和圆C的两交

点重合，此时44依二兀，

若4、8相距越来越近时，直至A、3两点重合，此时NAP3=0。，

所以一定存在A、B及P,使得NAPB=60。；

当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在人、B及P,使得

ZAP^=60°；

当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P,若A、8相距越来越近时，直至A、8两

点重合时，仍有NAP3=0。，

另一方面，若PB与圆C相切于8,%与圆。相切于A,此时N4产B必为该P点所能达到

的最大情况，如图所示，

由图可知sinNCPA=」二，ZAPB=2/CPA,CP最短时,

CP

即等于圆心C到直线的距离d,sin/。为最大，NC尸A也最大，同时NAP8最大,

7T

所以若圆。上存在两点A3,直线/上存在点尸，使得乙4尸8=6()。=二,

r兀I

则必有一2sin—=—，解得又因为圆C的半径r=1,

62

|3xl-4x(-3)+//z||m+15|

圆心C(1,—3)到直线3x-4)，+机=0的距离"二

所以帆+15|«2,解得—254加工一5.

5

故选：A.

7.设。为两个非零向量。力所成的角，已知对任意，wR,|。-加|的最小值为则

6=()

71兀兀35兀

A.-B.-C.一或—D.

6366

【答案】C

【解析】令。=OA,b=08,/b=OC,如下图示，I。-〃”即为线段4C的长度,

由对任意，ER,I。—必|的最小值为1|〃|,即|4。舄二11。1，而/AOB=0,

显然4C_LOB时，线段AC最短，此时14clmin=|OA|sine=|a|sine=；|〃|,

所以sin。二,，又。£[0,兀],故0=色或2.

266

故选；C.

22

8.若双曲线4一二=1,>()力>())不存在以点(。,24)为中点的弦，则该双曲线离心率

的取值范围为(

-7526隹，+/

c.D.

2

【答案】C

【解析】由题意得点（42。）在双曲线外部或在双曲线上，则伽）得

假设存在以（。,2〃）为中点的弦，设弦与双曲线交于点，（不y）,网天,％），

X+x一

则mil-——-2=a,

2

2L_i=i

2L21

由点A（X，yJ,8（y）在双曲线上，得＜。:

%石_]

两式作差得（）”为）9「乃）=（…）0-々）,

a2b2

所以忆二.一.二〃（*+电）二片,2〃二6

AH2,2

X）-x2/?（）1+y2）p4。lb

因为不存在该中点弦，所以直线4B与双曲线至多一个交点,

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（）

A.底面半径为1B.表面积为2兀

C.体积为且兀D.外接球与内切球半径比值为3

3

【答案】AC

【解析】由题意，圆锥的母线长为2,底面周长为2兀,

若底面半径为广，则2兀尸=2兀=r=1,A对，

1、1

表面积为一兀x2~+71X1=3兀，B错,

2

由上，圆锥的高/?=亚，=百，则圆锥体积为'版，=』'6兀=也兀，C对，

333

由上，圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，其外接圆和内切圆半径，分别为圆锥的外接

球和内切球半径，

22I1

所以圆锥的外接球半径为§x2xsin6()o=耳，内切球半径为§x2xsin6()o=耳，

所以外接球与内切球半径比值为2,D错.

故选：AC.

10.已知函数/(可二%2。—。)在x=2处取得极小值，y=/'(x)为其导函数，则()

A.—B.r(>/3+i)-r(i->/2)<o

C./(式)N-4的解集为［—1,内)D.+

【答案】ACD

【解析】对于A,7(司二312-2公，由题意可知/'(2)=0,解得4=3,

此时/(工)=f(/一3),故A正确;

对于B,由/'(1)=3X2-6工，其为二次函数，开口向上，对称轴为冗=白=1,

则6+1到对称轴的距离为2+1-1卜G,

1-0到刈称轴的距离为卜后-1卜夜<百，

结合开口向上的二次函数图像特点可知，离对称轴较远的点函数值更大，

也即/'(后+及)，即+一四)>0,故B错误；

对于C,解不等式即V—3/NT，整理为丁一3/+420，

因式分解得丁—3/+4=(工+1)(1—2『20,解得x»—l,故解集为［T+8),故C正

确：

对于D,对于\/久>0,有工+122，:］二2,当且仅当/=1时取等号，同时一工一1<一1,

由于f'(x)=3f-6x=3x(x-2),当x<0或x>2时,/(x)>0,/(x)单调递增；

当0<x<2时，Z(x)<0,/(x)单调递减，

所以/(X+：)N/(2)=_4,/(-x-l)</(-l)=-t,

所以Vx＞O,,fx+,故D正确.

故选：ACD.

11.在VA3c中，若4=cosA,B=8S（cos5）,C=kan（sinC）,则（）

A.A=BB.B＜CC.C＜-D.k＜2

2

【答案】ARD

【解析】根据y=x与y=cosx在（o,兀）上的图象，如下图示，

显然y=犬与y=8sx在（0,兀）上有且仅有唯一交点，

即工=€：0，工在（0,兀）上有且仅有一个根，而八=8S4,B=cos（cosB）,

由4,3£（0,兀），所以A=cosB,且A=3，A对,

…:等贝吟

v71兀

X—<cos—=

662

所以。=兀一（A+8）£（—,—）,即3＜。，B对，C错，

23

由Ceg,争,则sinCS（号,1）,而C=Ztan（sinC）中攵＞0,

由）,二：在区间（色，名）上单调递增，y=tan（sinx）在区间（二生）上单调递减,

k2323

71

所以,只需＜“J得2tan1

令fM=12口*一彳一工且。＜工＜]'

则r（%）=l-x~=l+tan-x-l-x~-tan~x-x~,

cos2x

对于g(x)=tanx-x且0<x<3则g，(x)」一°0s->0,

2cos-x

故g(x)在(0,色)上单调递增，

2

所以g(x)>g(0)=0=tanx>x,BPtan2x>x2>贝iJ/'(x)>0,

所以f(x)在(0,今上单调递增,故所以〉/(0)=0,

,6x/36、八

=tan------------＞0，

228

所以lan立＞逮，而(156)2=675＞64兀2=(8兀产，则15百＞8兀，即地＞£,

2883

2兀*

所以tan型＞色，故^一万，即Z＜2,D对.

233tan—

2

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(1+R)s的展开式中V项的系数为.

【答案】10

【解析】(l+x)s的展开式中/项的系数为C；=10.

故答案为：10.

13.VABC的三个内角A及C的对边分别为a,〃,c,满足。二殳，且/十/_=4，

4

则7ABe的面积为.

【答案】1

jr

【解析】由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcos-,又/+/=4，

4

得/=/+4一解得川)=26，所以VA8C的面积为g,为sinC=l；

故答案为：1.

14.平面直角坐标系中，原点。处有一只蚂蚁，每过I秒，该蚂蚁都会随机地选择上、

下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚊到原点。的距离等于

V2的概率为.

【答案】21

256

【解析】蚂蚁每一秒有4种移动方向，共移动6秒，根据分步乘法计数原理，总路径数为

46，

若蚂蚁到原点0的距离为近，原点(0,0)到该点(x,y\的距离满足x2+y2=2,

设蚂蚁右移。次、左移5次，则x=a-〃，上移c次、下移d次，则〉=。一"，总步数

〃+/?+c+d=6,

22

要满足炉+丁2=2,g|J(a-Z?)+(c-J)=2,由于。，仇c,d都是非负整数，可能的组合

必须满足国=1,|乂=1,此时，a-b=±\yc-d=±1,且卜/+〃)+(c+d)=6,

设左右移动总次数为〃7=。+力，上下移动总次数为〃=c、+d,则m+〃=6,

由于。当二(需为整数,则打与,一可同奇偶，所以小为奇数,

同理，〃也为奇数，

又加+〃=6,可能的组合有m=L〃=5、6=3,」=3、m=5,n=l,

当机=1,〃=5时，左右移动1次，满足凶=1的方式有2种，即左或右，

上下移动5次，满足忸=1的方式有c=3,d=2或c=2,d=3,共2xC；种，即选3次

上移，剩下2次下移，或选2次上移，剩下3次下移，

其次，在6步中选1步用于左右移动，其余5步用于上下移动，C；种，因此，此情况的路

径数为C；x2x2xC=240；

当"7=3,〃=3时.左右移动3次,满足国=1的方式有〃=2,b=l或〃=1.6=2,

共2xC；种，上下移动3次，满足|y|=l的方式同理,共2xC；种，

此外，6步中选择3步左右移动，剩余上下移动，共C：种，

因此，此情况的路径数为C：x2xC；x2xC；=20x2x3x2x3=720：

当〃2=5,〃=1时，与心=1,〃=5对称，路径数为240；

120075

满足条件的总路径数有240+720+240=1200,概率为一^=——.

46256

故答案为：21.

256

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.如图，长方体ABCO-A4G2中，AB=BC=2,44=3,£,尸三等分CC「

(1)求证：D[E_LAF；

(2)求直线RE与平面AAGC所成角的大小.

(1)证明：根据题意，六面体A8CO-A司为长方体,

所以AA_LAR,例14及

如图，以A为坐标原点，以44，AR,4A分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

因为AB=8C=2,AA=3,E，/为CC1的三等分点，

得各点坐标4（2,0,0）,D,（0,2,0）,4（0,0,3）,£（2,2,2）,*2,2,1）,

则〃E=（2,0,2）,A尸二（2,2,—2）,所以RES/=0,即QE_LA尸.

(2)解：因为AA，平面aqGn，4Qu平面44G0,所以用口,四，

又因为q°_LAG，4GCAA=A，AG，A4u平面AAGC,

所以隹2_L平面AACC，所以4A=(—2,2,0)为平面A4GC的一个法向量，

结合。函=(2,0,2),

设直线。石与平面eCQ所成角为仇0,5,

则sin。=

与川.何目2夜x2夜5'

所以直线。石与平面A&CC所成角为

6

16.近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到

2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）

年份2021202220232024

年份代号工1234

销量）’336993129

回归方程），=%+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

.之■<）（»"）--44

AV

b=--------------------ya=y—bx,V;；=966,-y）=4896,Jl70«13.04•

Z（^-X）21='.

（1）试根据样本相关系数r的值判断该地汽车销量y与年份代号X的线性相关性强弱

（0.75<|r|<l,则认为y与x的线性相关性较强，N<0.75,则认为丁与x的线性相关性

较弱）；（精确到0.001）

（2）建立了关于x的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量.

解：（1）已知〃=4,玉=1,々=2,为=3,兀=4,则/=1+2.3+4=2.5,

4

A，AOQ21onmil-33+69+93+129

=33,y=69,必=93,/=129,则y=---------------=81,

24

=+22+32+42=1+4+9+16=30,4f=4x2.5?=25，

j=i

所以火（占一可2=tX—4/=30—25=5，

r=l/=1

4

已知£七另二966，故

t（x,-H）（Y-9）=i?/—4R》=£x/—4R》=966—4x2.5x8I=156,

i=ii=i<=i

又Z（F一寸二4896,代入相关系数公式,

1=1

E&-可出一方

i=l15615613八

可得r二,5x4896—127175~13.04~

可刃2

因为H=0.997N0.75,所以y与x具有较强的线性相关关系.

Zdd

(2)根据B=上'------------,a=y-bx,

t1d『

r=l

由（1）可知Z（七一可（左一刃二156,Z（七一无『=5,所以〃=^=31.2,

j=l1=15

由2=歹一位，已知工=2.5，y=81,3=31.2，则4=81—31.2x2.5=81—78:3,

所以）'关于文的线性回归方程为y=31.2x+3,

将x=5代入线性回归方程9=31.2x5+3=159（千辆）.

13人

《川=另4+52

17.已知数列｛q｝,也｝满足::（〃wN*），且4=3%下.

"+|+/。〃

（1）证明：数列｛4+包｝与｛4一包｝均为等比数列：

（2）求数列｛[4]｝的前25项和$25•（其中印表示不超过工的最大整数，如UZ=1）

13,

%+1=^4+^””

=2(%+2)

(1)证明：由《\\，可得•

〃向一也用=一(4-〃)'

bb+Cl＞，

n+\=~n2

乂+/?|=2H0吗一4=-1^0,

所以｛4+2｝与——叱均为等比数列；

n

(2)解：由(1)知%+a=2",an-b„=(-i)f所以4〃=2"+；T),

2n2n2

则EJ==2-',[a2n_I]==2--\,

2322(12

Sg=(2°-l+2,)+(2-14-2)+...+(2-14-223)-h224-l=-p-13=225-14.

18.已知函数、f(x)=e'-工-1.

(1)求)，=/(可在x=0处的切线方程；

(2)若/(Inx)N爪-xlnx-1恒成立，求实数攵的取值范围；

(3)当时，讨论g(x)=/(x)-axcosx在区间卜衅)上零点的个数.

解：⑴由/(x)=e、7-l,则r(x)=e'-l,显然/(0)=/(0)=0,

所以切线方程为y=。；

(2)/(x)=ev-x-1,此时/(Inx)NZt-Hnx-lox-lnx-12辰一xlnx-1,

1rvv

法一：分离参数法，从而去W(x-l)lri¥+x=>ZV1+RLY----,

X

./X.,\nx\11-Irux+lnx-1

令A力(x)=1+lav----,则ml力(x)=-------2-=----2---，

.1AX-V

所以//(X)>0=x>1,"(x)<O=O<x<l,

所以力(无)在(0,1)单调递减，在(l,+x))单调递增,

因此MH.=〃⑴=1，故攵的取值范围为(3，1］；

法二：必要性探路，x-lar-l>^-xln¥-l<=>(x-l)lnr+(l-Z:)x>0,

令〃(x)=(x-l)lnx+(l-Z:)x,/?(1)=l-A:>0=>/:<1,

下证；k<\,x>0时，九(工)工0恒成立，

由一次函数〃?(Z)=(xT)lnx+x-"在(YO,1］上递减，

则/??(/:)>z/z(l)=>(x-l)lnx+x-Air>(x-l)lnx,

在x£(0,l)和xe(l,4<o)上(x—l)lnx>0恒成立，且/=1时(x-l)lnx=0,

所以g(x)之0恒成立，故攵的取值范围为(口』；

(3)g(x)在区间｛完,上有3个零点，理由如卜：

由于」(0)=。所以」=0是函数/(x)的一个零点，g'(x)=e'+a(xsinr-cosx)-1,

当工£(一，，。>寸，此时一accost〉。恒成立，又由(1)知e、—x—l>0恒成立，

从而g(x)〉0恒成立，所以g(x)在区间x£(一*0)上没有零点；

、乙)

当xeO.])时，此时g'(O)=-。<0,g'(])=e2+'|。一1〉,一1>0,

若g"(x)是g'(x)的导数，则g"(x)=e'+a(2sinx+ACOSx),

由于2sinx+xcosx>0恒成立，所以g"(x)>0,即g'(x)在0段)上单调递增,

/\

从而存在士£0,弓使得g'(X1)=。，且g'(x)>0=>再</<1，

I2J2

g'(x)<0=0<x",

即g(x)在区间(0,%)上递减，区间卜I，上递增，从而g(x)<g(o)=o，

/\n

乂g—=e2---1>0,

\2J2

所以g(x)在内,5有唯一零点，即在0，£上有唯一零点;

;乙))

当工£一兀，一三时，此时期inx-co&r>0,

I2)

从而g'(x)=e'+a(心inx-cosx)-INe'+_xsinx-cosx-1,

由于.时'Einx，

所以e'+Jtsinv-COJVV-1>ev+sin2x-cosx-1=ev-(cos2jr+cosxj,

又cos2x+cosx=COST•(cosx+1)<0,

从而ev+xsinx-cosx-1>eA-(cos、+cosx)>()恒成立,

即在卜兀,一上恒成立，所以在区间

g'(x)>01£5g(x)上单调递增.

因为g=e2+y-l>(),g(一兀)=&-"-si十兀—1<e-R—1<0,

I乙/乙

因此g(x)在区间xw