一次函数及其应用（测试）-初中八年级数学下册（含解析）

专题19.2-3一次函数及其应用

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求

的）

1.（2021♦四川成都市•八年级期末）下列函数，是正比例函数的是（）

1I,1,

A.y=-B.y=--x+lC.y=--xD.y=x~

【答案】C

【详解】

解：根据正比例函数的定义可知丁=是正比例函数.

故选：C.

2.（2021•浙江九年级专题练习）己知函数的图象如图所示，则函数,，=・云+々的图象大致是（）

【答案】A

【详解】

解：•・•函数），=&+/，的图象经过第一、三、四象限，

：,k>0,bVO,

・•・-b>0

・•・函数），=-/犹+4的图象经过第一、二、三象限.

故选：A.

3.（2021•广东深圳市•八年级期末）一次函数丫=1^+>经过（1,1）,（2,4）,则k与b的值为（）

k=3>=-3k=~5k=6

A.B.c.D.<

b=~2b=4b=6b=~5

【答案】A

【详解】解：把（I，1),(2,4)代入一次函数y=kx+b,

>+Z?=l

得V

2k+b=4

k=3

解得:

b=-2

故选A.

4.（2021•四川成都市•八年级期末）如图，一次函数尸2x和y=*+4的图象相交于点4（〃?,,则关于K,y

x=3x=2

D.<

y=2j=3

【答案】A

【详解】解：把A（m,3）代入y=2x,

/.1m=3,

3

/.tn=—

2

(31

A—,3,

(2J

3

y=2xx=—

关于x,y的方程组，的解为《2.

1y=or+4

)'=3

故选：A

5.（2021.浙江温州市.八年级期末汜知点（—2,y）,（0,%），（4,%）是直线＞'=-5/+〃上的三个点，则y,

%，%的大小关系是（）•

A.B.y,<y,<y3C.必>%>必D.<y2

【答案】A

【详解】•・•直线)，二-51+力I-.,y随着X的增加而减小，且一2<0<4

・•・”>%>为

故选:A.

6.(2021•全国九年级专题练习)若直线y=kx+b(k/))经过点A(2,-3),且与y轴的交点在x轴上方，则々的取

值范围是()

3333

A.k>—B.k<—C.k>—D.k<一

2222

【答案】B

【详解】解：直线y=kx+b(k，0)中，令x=0,则y=b,

；・直线y=kx+b(k#))与y轴交于点(0,b),

又*•直线y=kx+b(k/))经过点A(2,-3),

.*.-3=2k+b,

・・・b=3-2k,

又*•直线y=kx+b(k川)与y轴的交点在x轴上方，

Z.b>0,即-3-2k>0,

3

解得：k<--,

2

故选:B.

7.(2020•浙江九年级期中)若三点(0,1),(3,〃),(2,7)在同一直线上，则。的值等于()

A.10B.0C.3D.4

【答案】A

【详解】

解:设经过(0,1),(2,7)两点的直线解析式为尸在4■点

f7=2k+b(k=3

则3,，解得：L「

1=/?[b=l

，)=3%+1,

将点(3,0代入解析式,则。二10；

故选：A.

8.(2020•郑州市・河南省实验中学八年级期中)甲、乙两个草莓采滴园为吸引顾客，在草蕉销售价格相同的基

础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买fJ票，采摘的草莓按六折优惠.乙园：顾客进园免门票，

采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售.活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采

摘需总费用V兀，若在乙园采摘需总费用”兀."，”与x之间的困数图象如图所示，则卜列说法中错误

的是（）

A.甲园的门票费用是60元

B.草莓优惠前的销售价格是40元/千克

C.乙园超过5千克后，超过的部分价格优惠是打五折

D.若顾客采摘15千克草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠

【答案】D

【详解】解：由图象可得,

甲园的门票费用是60元，故选项A正确；

草莓优惠前的销位价格是200-5=40阮/千克），故选项B正确:

乙园超过5千克后，超过的部分价格优惠是打4吗—?0+40x10=5折,故选项C正确;

15—5

若顾客采摘15T•克草莓，那么到乙园比到甲园采摘更实惠，故五项。错误;

故选：D.

9.（2021•安徽六安市•八年级期末）如图,函数y=ax+4和y=2x的图象相交于点A（l,m）,则不等式ax+4>2x

的解集为（）

A.x>lB.x<lC.x>2D.x<2

【答案】B

【详解］解：•・•函数y=2x的图象经过点A(l,m),

:.m=2,

・•・点A(l,2),

所以，当x<J时，2xVax+4,

即不等式2x<ax+4的解集为xVl.

故选:B.

10.（2021.四川成都市.八年级期耒）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于45两点，户是线段A3上

任意一点（不包括端点），过点Q分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为4,则该直线的函

数表达式是（）

y\

O\A\x

A.y=-x+2B.y=x-2C.y=x+4D.y=-x+4

【答案】A

【详解】解：如图，过。点分别作尸D_Lx轴，PC-Ly轴，垂足分别为。、C,

设P点坐标为（％），），

,/P点在第一象限，

PD=y,PC=x,

•.•矩形P。。。的周长为4,

2（x+y）=4,

.\x+y=2,

即该直线的函数表达式是y=-x+2,

11.（2021•陕西九年级专题练习汴列说法正确的是（）

A.直线），=丘+攵必经过点（一1,0）

B.若点4（王，凹）和4（％2，）'2）在直线）'=履+〃（%〈。）上，且网>々，那么X>）’2

C.若直线>经过点A（川，-1）,8（1,加），当加〈一1时，该直线不经过第二象限

D.若一次函数），=（〃?-1）工+〃/+2的图象与），轴交点纵坐标是3,则加=±1

【答案】A

【详解】

解：把工二一1代入)，=米+%可得：)，=一攵+2=0,

所以：直线了=履+人必经过点(一1,0),故A符合题意；

,/直线y=vo),

・•.)'随工增大而减少，

?

>!<y2，故8不符合题意；

-\=tnk+b

{tn=k+b

因为“<-i,

〃？+1m-\+22

解得：k=------=----------=-1-------,

m-1m-\m—\

所以kvo,所以图象必过第二象限.故C不符合题意；

•••一次函数y=(初一+“2+2的图象与y轴交点纵坐标是3,

/.in1+2=3,

nr=1,

/.〃?=±1,

又因为y=(,〃-1)工+加2+2为一次函数，

所以6一1±0,

in*1,

・•・加=-L故D不符合题意.

12.(2021•江苏扬州市.八年级期末)如图，A、M、N三点坐标分别为A(0,1),M(3,4),N(5,6),动点P

从点A出发，沿y轴以每秒一个单.位长度的速度向上移动，且过点P的直线1：y=-x+b也随之移动，设移

动时间为1秒，若点M、N分别位于1的异侧，则t的取值范闱是()

A.6<r<11B.5<r<10C.6<r<10D.5<^<11

【答案】c

【详解】解：当直线y=-x+b过点M(3,4)时，得4=-3+b,解得：b=7,

则7=l+t,解得t=6.

当直线y=-x+b过点N(5,6)时，得6=-5+b,解得:b=l1,

则11=1+1,解得1=10.

故若点M,N位于1的异侧，t的取值范围是：6<t<10.

故选：C.

4

13.(2020•山东淄博市•周村二中七年级月考)如图，直线)，=§x+4与x轴，丁轴分别交于A,8两点，点

使点A恰好落在不轴上的点力处，则点C的坐标是()

(3、

C.D.(0,2)

【答案】C

【详解】

4

解：•・•直线y=§x+4与x轴、)，轴分别交于A、8两点,

・••当x=0时，y=4；当y=()时，x=-3,

则点A、B的坐标分别为：A(-3,0)、B(0,4),

AO=3,BO=4,

・••在RsABC中，ABTAO'BO?=5,

•・•折叠,

：.AD=AB=5fCD=BC,

AOD=AD-AO=2,

设点C(0,"?),则OC=m,BC=4-m,

.\CD=BC=4-m,

在RSCOD中，。。2+0。2=。。2,

即/+22=(4—⑼2,

3

解得：，〃=—,

2

,3

故u点C(0,-),

2

故选：C.

14.(2020•浙江八年级期末)已知函数)，={/八若战/仇〃族》〃，则卜列说法错误的是()

x(x>1)

A.当，一加=1时，〃一。有最小值0.5B.当〃一根=1时，〃一々有最大值1.5

C.当人一4=1时，〃一机有最小值1D.当/?一々=1时，〃-根有最大值2

【答案】B

【详解】

解：如图，作出函数图，

当n-m=l时,

当a、b均大于1时，b-a=l,

当a、b均小于等于1时，

-2再+3-2々+3)=1,

1

则上2一%二万，

则b-a=!，

2

当好1,b>l时,

则OVaWLl<b<2,

则W-2再+3)=1,

:.x2+2x]=4,

当a=l,b=2时有解，故不存在，

Ab-a最小值为!，b-a的最大值为I；

故A正确，B错误；

当b-a=l时，

当a、b均大于1时，n-m=l,

当a、b均小于等于1时，

-2x1+3-[-2(Xj+1)+3]=2=〃一〃？，

当OVaWl且IVbV2时，

X+1—（—2%[+3）=3^）—2,

当占=1时为最大值1,当X接近0时取值无限接近2但小于2,

故n-m最大值为2,最小值为1,贝l」C、D正确，

故选B.

二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）

15.（202（）.四川成都市.成都七中九年级月考）若点4。/）在一次函数）=-3/+2的图象上，则代数式

b12-9a2+12a的值为•

【答案】4

【详解】解：将43。）代入丁=-34+2得3=3+2,

•••两边同时平方可得b2=（一3。+2）2,即/二9/一12。+4，

:.b2-9a2+\2a=4^

二代数式〃2-9/+124=4

故答案为：4.

16.（2021•浙江九年级专题练习）一次函数尸（2m・l）x+3・2m的图象经过第一、二、三象限，则，〃的取值

范围是.

13

【答案]

22

【详解】

解：:一次函数y=（2m-I）A+3-2m的图象经过第一、二、三象限，

'2〃L1>0

・•・<,

I3-2m>0

13

解得，-v，〃v—.

22

13

故答案为：—<m<—.

22

17.（2021•浙江九年级专题练习）对于实数a,b,我们定义符号max{a,b}的意义为：当心b时，max{a,b}

=a；当a<b时，max（a,b]=b；如：max{4,-2}=4,max{3,3}=3,若关于x的函数为y=max{x+3,

-X+1},则该函数的最小值是.

【答案】2

【详解】

解：联立两函数解析式成方程组，得：<y=x+3,,

y=-x+i

x=—\

解得：c.

・••当xV・l时，y=max{x+3,-x+1}=-x+1>2；当x^・l时，y=max{x+3,-x+1}=x+3>2.

工函数y=max{x+3,-x+1}最小值为2.

故答案为：2.

18.(2021•广东茂名市•八年级期末)如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线y=x与>的交角内部

作等腰RtZ\ABC,使ZABC=90°,边BC〃x轴，A8〃y轴，点A(l,1)在直线y=%上，点C在直线y=2x

上，CA的延长线交直线y=x于点4,作等腰区以4阳，,使NA8G=90。.BC〃x轴.AB"y轴,

点G在直线y=2x上…按此规律，则等腰RtA7VO21B2O21C2O2I的腰长为.

【详解】

设AB=a,

・・•直线y=x与)，=2%的交角内部作等腰RtzMBC,使NA5C=90。，边BC〃x轴，A8〃y轴，点A0』)

在直线)=工上，

C(1-a1+3),

•・•点C在直线y=2x,

A1+a=2(1-a),

解得：a=—,

3

等腰RSABC的腰长为一,

3

3>

••・4的坐标为

(44

设A4=。，则4一+方

•••G在直线y=2x上,

4(4

・・・一+6=2x--b

3(3

4

解得：b=-,

4

・•・等腰R«4罔G的腰长为g,

(816、

93,

设&4=c»则G----C,――+c

99

•・•点G在直线y=2工,

解得：c哈

・•・等腰R"4&C2的腰长为

以此类推，

6464

A^=—»即等腰RsA383c③的腰长为匕,

44=10,即等腰RsA4c的腰长为HI

420214^21

*,*^021^2021=萨7，即等腰R"4020202。2021的腰长为手忘；

2021

故答案是4为•

三、解答题（本题共8道题，19・21每题6分，22.25每题8分，26题10分，满分60分）

19.（2021•江苏泰州市•八年级期末）已知y与2x7成正比例，当x=3时，y=IO.

（1）求y与x之间的函数关系式；

⑵当y=-2H寸，求x的值.

【答案】（l）y=4x—2；（2）x=0.

【详解】

解：⑴设y=k（2x-l）,

当x=3时，y=IO,

/.5k=10,

解得k=2,

Ay与x之间的函数关系式是y=4x—2；

⑵当y=-2时

4x—2=—2,

解得x=0.

20.（2021•广东广州市•八年级期末）已知函数y=x+2.

⑴填表，并画出这个函数的图象：

・・・・・・

X0—

y=x+2

•••—0•••

⑵判断点A（-3,1）是否在该函数的图象上，并说明理由.

【答案】（1）2,-2,作图见解析；（2）点A（-3,1）不在该函数的图象上，见解析.

【详解】

解：(1)当x=0时，y=0+2=2：

当y=0时，x+2=0,解得：x=-2.

描点：(0,2),(-2,0),

连线，画出函数图象，如图所示.

故答案为：2；-2.

⑵点A(-3,1)不在该函数的图象上，理由如下：

当x=-3时，y=-3+2=-I,-1^1,

・••点A(・3,1)不在该函数的图象上.

21.(2021•浙江九年级专题练习汝口图，直线小)，=x+l与直线&)，=必+〃交于点P(l,b),直线/2与x轴

交于点44,0).

⑴求人的值；

(2)解关于x,)，的方程组|，一'+,并直接写出它的解；

[y=)nx+n

(3)判断直线&)，=△+机是否也经过点P?请说明理由.

【详解】

解：⑴•・•点P(l,b)在直线/i：y=x+\±,

.•.力=l+]=2.

⑵;直线八：y=x+l与直线〃：尸〃?交于点P(1,2),

y=x+lx=\

，美于X，)，的方程组的解为

y=f7uc+n)'=2

(3)直线Z,3：)，=/!¥+〃?也经过点P.理由如下：

将点A(4,0)、P(l,2)代入直线幺:y=〃?x+〃中,

2

m=——

0=4，〃+n3

得:,解得:

2=m+n8

n=—

3

Q2

工直线/3：y=-x-

3

,,8

当i=l时，y=-xl-

3

82

・•・直线&y=-x—一经过点尸(1,2).

33

22.(2021・山东聊城市•七年级期末)一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂彼吗，下血是

测得的弹簧长度y(cm)与所挂硅码的质量x(g)的一组对应值：

《)012345••・

yg)182022242628・・・

(1)表中反映了哪两个变量之间的关系？

⑵弹簧的原长是多少？当所挂祛码质量为3g时，弹簧的长度是多少？

⑶祛码质量每增加1g,弹簧的长度增加cm.

(4)请写出y与X之间的关系式(写成用含工的式子表示了的形式)，并判断y是不是工的函数.

【答案】(1)弹簧长度与所挂祛码质量;(2)18cm；24cm；(3)2；(4)y=2x+18；y是％的一次函数.

【详解】解：(1)上表反映了弹簧长度与所挂祛码质量之间的关系；其中所挂砺码质量是自变量，弹簧长度

是因变量；

(2)因为不拌硬码时的弹簧长度即为弹簧的原长.所以弹簧的原长是18cm：

当所挂物体重量为3g时，弹簧长24cm；

⑶根据上表可知，硅码质量每增加1g,弹簧的长度增加2cm.

故答案为：2.

(4)设关系式为y="+b,则

当x=0时，y=18；x=l时，y=20；

b=\S〃=18

.•・<,解得《，

k+b=20k=2

，关系式为：y=2x+18；

・・・y是x的一次函数.

23.(2021•山东济南市•八年级期末)甲、乙两车同时从A地出发，沿同一路线赶往距离A地800<m的B地，

在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h,甲车先以一定速度行驶了500km,用时5h,然后再以乙车的速度

行驶,直至到B地(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离A地的路程y(km)与所用时间x(h)的关系如图

所示，请结合图象解答卜.列问题：

(1)甲车改变速度前的速度是km/h,甲车行驶h到达B地，乙车行驶h到达B地；

(2)求甲车改变速度后离A地的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数解析式(不用写出自变量x的取值范围);

(3)出发h时，甲、乙两车相距40km.

【详解】

解：⑴由点(5,500),可得甲车的速度为：—=100^//?,

U800-500u1535,

甲车到B地的行驶时间为：5+--------------=5+—=—/?,

8044

甲车到8地的行驶时间为：桨=1%，

80

故答案为-00n1°.

⑵设甲车改变速度后所求函数解析式为：y=kx+b[k*0),

将(5,500)和—,800代入得：

I4；

5k+b=500①

3+b=800②‘

4

②-①得：竺2=300,

4

/.k=80,

把女=80代入①得：

Z?=100,

攵=8()

.,工=100'

.・.甲车改变速度后离A地的路程y(切?)与所用时间x(〃)之间的函数解析式：

y=80x+100

(3)设改变速度以前〃历时两车相距4()加7,

/.100/72-80/72=40,

/.m=2,

当甲车到达A地后，设助两车相距40切?，

80/2=760,

/.77=9.5.

出发2/7或9.5力时，甲、乙两车相距40km.

故答案为：2或9.5.

24.(2021•广东深圳市•八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，A(-2,0),B(l,4).

(1)求直线AB的解析式；

(2)已知点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，若S^AOB=2S“OC，求点C的坐标.

48

【答案】(1))，=一不+—：(2)C的坐标为(2,2)

33

【详解】解：(1)设直线AB的解析式为:y=kx+b,

*/A(-2,0),B(l,4),

'-2k+b=0

/.<，

攵+8=4

A’,

解律｛:,

b,=-o

3

48

・•・直线AB的解析式为y=-x+-；

(2)；A(-2,0),B(l,4),

1八,

•»SAAOB=—x2x4=4,

2

设C的纵坐标为n(n>0),

•・•点C在第•象限，且到两坐标轴距离相等，

.*.C(n,n),

「SAAOB=2SAAOC>

1c

ASAAOC=-x2-n=2,

2

・・・n=2,

25.（2021•江苏金湖县•八年级期末）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店每千克苹果的价格为7元,

乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买数量不超过20依时，价格为8元/依；一次性购买数量

超过20依时，其中，有20依的价格仍为8元/依，超过20依部分的价格为6元/依.设小王在同一批发店一

次性购买苹果的数量为xkg(x>0).

⑴设在甲批发店购买需花费广元，在乙批发店购买需花费方元，分别求N、”关于x的函数关系式，并写

相应的x的取值范围；

(2)求：当x为何值时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱？

(3)填空:

①若小王在甲批发店购买更合算，则购买数量x的取值范围为；

②若小王花费400元，则最多可以购买依苹果.

【答案】⑴=7x(x>0),y,=〈：(2)x=40：(3)0<x<40：60依.

6x+40(x>20)

【详解】解：(I)根据题意得，在甲批发店需花费：yl=7x(x>0)t

8A(0<A<20)8x(0<x<20)

在乙批发店需花费:

>2=5BPy2

8x20+6(x-20)(x>20)6x+40(x>20)

⑵若甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱时，

当0vxW20时，7x=8x,解得x=0(不符合题意，舍去)

当上>20时，7x=6x+40,解得x=40

故当x=40时，甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱:

(3)由(2)知，在甲批发店购买更合算，则7x<6x+4(),解得x<40

在甲批发店购买更合算，购买数量x的取值范围为0<x<40：

若小王花费400元，在甲店可购买与依苹果，

V400>8x20,二在乙店可购买超过20kg的苹果，

6x+40=400

6x=360

?.x=60依

•/60版>—^―kg

.二小王花费400元，在乙店最多可以购买60依苹果.

4

26.(2021•江苏扬州市•八年级期末)如图1,在平面直角坐标系中，直线y=--x+4分别与x轴、y轴交于

点A、点B,将aAOB绕坐标原点逆时针旋转90。得到aCOD,直线CD交直线AB于点E.

(1)求直线CD的函数表达式；

(2)如图2,连接OE,过点O作OFJ_OE交直线CD于点F,

①求证：ZOEF=45°：

②求点F的坐标：

(3)若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点(点Q不与点。重合)，当ADPQ与aDOC全等时，直接写

12

T)

【详解】

4

解：(1)二•直线y=-]X+4交x轴、y轴分别于点A、点B,

・・・A(3,