一次函数及其应用（讲练）-初中八年级数学下册（学生版）

专题19.2-3一次函数及其应用

典例体系(本专题共86题57页)

一、知识点

1.•次函数定义

若两个变量X,y之间的对应关系可以表示成产kx+b(k,b为常数，kM)的形式，则称y是X的一次函

数(x为自变量，y为因变量)。

特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。

2.一次函数的图象

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描

出它的对应点，所有这些点的组成的图形叫做该函数的图象。

一次函数y=kx+b(kM)的图象是一条经过(0,b)和(-P,0)的直线:

k

正比例函数y=kx是一条经过（0,。）和（1,k）的直线。

3.一次函数的性质

（1）k的正负决定直线的倾斜方向;

①k>（）时，y随x的增大而增大；

②kVO时,y随x的增大而减小.

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度:

①|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡）；②|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）;

（3）b的正负决定直线与y轴交点的位置；

①当b>0时，直线与y轴交于正半轴；

②当bV。时，直线与y轴交于负半轴；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数.

由于匕b的符号不同，直线所经过的象限也不同：

kb图象经过象限图象

-

b>0、—、—二，

k>0

b<0一、三、四

b>0一、二、四

k<0

b<0二、三、四

4.确定正比例函数及一次函数表达式的条件

正比例函数y=kx（k/））中只有一个待定系数k,故只需一个条件（如一对x,y的值或一个点）就可求得k

的值.

一次函数丫=10;+15（1<#0）中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程，求得k,b

的值，这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.

5.一次函数与一元一次不等式的关系

一次不等式kx+b>0（或kx+bV0）的解集，就是使一次函数y=kx+b中y>0（或y<0）的自变量xE勺取值范围。

反映在图象上是一次函数图象在x轴上方部分（或x轴下方部分）对应的函数图象。

6.一次函数的应用

在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式,

再利用方程（组）求解。

二、考点点拨与训练考点1：正比例函数的图象与性质

典例：已知y-2与x+1成正比例，且x=2时，y=8

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当x=-4时，求y的值.

方法或规律点拨

本题考查正比例以及函数值问题，掌握正比例定义，和函数值求法是解题关键.

巩固练习

1.已知正比例函数）'=办的图象经过点（3,-6）,则下列四个点中在这个函数图象上的是（）

A.（1,—3）B.（2,-4）C.（4,—7）D.（5,—8）

2.若一个正比例函数的图象经过A（l,-2）,B（2,b—l）两点，则b的值为（）

A.-3B.0C.3D.4

3.在式子丁=（6-1）工+〃中，若y是x的正比例函数，则m,n应满足的条件是（）

A.mrlB.I,且〃=0C.〃?=1,且〃=（）D.n=0

4.若正比例函数y=（m-2）x的图象经过点A（xi,y。和点B（x2,yz）.当x〕Vx2时，yi>y2,则m的取值范

围是（）

A.m>0B.m<0C.m>2D.m<2

5.对于函数尸2x,下列说法不正确的是（）

A.该函数是正比例函数B.该函数图象过点（1,2）

C.该函数图象经过二、四象限D.），随着x的增大而增大

6.已知正比例函数）仁爪的自变量x取值增加1,函数值y就相应减少2,则&的值为

7.若函数y=履的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是.

432

8.若点A（一,m）和点B（n,--）在同一个正比例函数图象上，则——的值是____

32mn

9.已知y是关于x正比例函数，当x=-l时，y=2,则y关于x的函数表达式为

10.若），=（攵-4卜是正比例函数，则攵的取值范围是

X.-%-,

11.若4（为，yi）,Bg,"）是直线y=・2x上不同的两点,记机--,则函数y="“+3的图象经过第

_象限.

12.己知正比例函数y=h经过点（2,6）.

（1）求），与X之间的函数表达式.

（2）当y=-3时,求工的值.

考点2：一次函数的图象的判定

典例：已知一次函数》=丘+3（人工0）满足y随X的增大而减小，则下列点中可能在该函数图象上的是

（）

A.（-1,2）B.（1,-2）C.（2,3）D.（3,4）

方法或规律点拨

本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，属于基础题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题

的关键.

巩固练习

1.y\=ax+b和”=云+。（启份，函数和”的图象可能是（•

2.若a,b为实数，且+=T+b=3,则直线y=ax-b不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.正比例函数丁=辰（4。0）的函数值）'随x的增大而增大，则一次函数y=的图象大致是（）

4.一次函数丁=的图象如下，则＞=-h-〃的图象大致位置是（）

C.4

D，/

x-2>0

5.若关于x的不等式组〈c।八有解，则一次函数），=（a-3）x+2的图象一定不经过的象限是

2元一。+1<0

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.已知关于x的一次函数为y=nvc+4m-2,下列说法中正确的人数为（）

①若函数图像经过原点，则〃尸5；

②若〃?二；,则函数图像经过第一、二、四象限；

③函数图像与y轴交于点（0,-2）：

④无论〃?为何实数，函数的图像总经过（-4,-2）.

A.1个B.2个C.3彳、D.4个

7.一次函数y=-x+l的图象大致是（）

8.一次函数图象经过（0,当比例系数上<0时,

其图象大致是（）

9.直线），二米一〃经过一、二、三象限，则直线y=—攵的图象可能是图中的（）

10.一次函数y二（加一2）x+2一机和y=x+加在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

11.下列关于一次函数丁二-2工+4的结论中，正确的是（）

A.图像经过点（3,0）B.当无>2时，j<0

C.y随x增大而增大D.图像经过第二、三、四象限

12.一次函数y=-3x-2的图象和性质，表述正确的是（）

A.y随x的增大而增大B.函数图象不经过第一象限

C.在y轴上的截距为2D.与x轴交于点（-2,0）

考点3：一次函数增减性的判定

典例：一次函数y=h+仇原0）的图象如图所示，点AQi,%）和点B（X2,竺）是图象上两点,若则

方法或规律点拨

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的图象和性质是解答此题的关键.

巩固练习

1.在平面直角坐标系中,关于x的一次函数产（k-2）（x-2）图象上有三点A（0,a）,B（2,b）,C（4,c）,且a<b<c,

则k的值可能是（）

A.-3B.-1C.1D.3

2.若一次函数丁=代+2-左（k是常数，攵工0）的图象经过点P,且函数y的值随自变量x的增大而减小,

则点P的坐标可以是（）

A.（3,2）B.（3,3）C.（-1,3）D.（-1,1）

3.若点（2,%）和（・2,力）都在直线y=7+3上，则》与x的天小关系是（）

A.B.>-1=yiC.y\>yiD.无法确定

4.点Pi（xi,y。，P2（x2,yz）,是一次函数y=5x+3图象上的两点，且yYy?,则x1与x2的大小关系是（）

A.X|>X2B.X1=X2C.X1<X2D.不能确定

5.已知点在函数y=-9x+l的图像上，则（）

A.%<必B.C.,=%D.3与巴的大小关系不能确定

6.关于函数y=（k-3）x+k,给出下列结论：

①此函数是一次函数；

②无论出取什么值，函数图象必经过点（-1,3）；

③若函数经过二，三，四象限，则女的取值范围是kvo；

④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是k<3.

其中正确的是____；（填序号）

7.一次函数y=（A+5）x-2中），随x的增大而减小，则k的取值范围是____.

8.已知一次函数y=ax+\a-\\的图象经过点（0,3）,且函数y的值随x的增大而减小，则a的值为

9.已知一次函数y=-gx+3,当一3KxW4时，）'的最大值是_____.

10.在平面直角坐标系中，一次函数）=-5工+3的图象经过6（5,）［）,£（工2，）‘2）两点，若%>工2，则M

>'2.（填“>”“v"或』”）

考点4：一次函数、方程与不等式

典例：在同一平面直角坐标系内画出一次函数y=-x+4和），2=2x—5的图象，根据图象回答下列问题:

y=-X+4

⑴求出方程组的解;

y=2x-5

（2）当x取何值时，M〉），2?当x取何值时，,〉。且％<。？

本题考查的是一次函数与一元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，能根据题意画出函数图象，利用

数形结合求解是解答此题的关键.

巩固练习

1.如图，一次函数y=kx+b（k,b为常数，且k邦）的图象过点A（0,-1）,B（l,I）,则不等式kx+b>l的

解集为（）

x<0C.x>lD.x<l

2.如图，直线必十〃与%相交于点P，点P的横坐标为T，则关于x的不等式x+依-1

的解集在数轴上表示正确的是（）

y531-1

A.x>0B.x<\C.x>0.5D.x<0.5

4.已知一次函数yi=kx+l(kVO)的图象与正比例函数y2=mx(m>0)的图象交于点(J,-7/7),则不等式组

22

+1<nix

,,c的解集为()

KV+I>•—3

1c131

A.—<x<2B.一<x<—C.X>—D.0VxV2

2222

线y=3x・2相交于点(g，-；)，则不等式3x-2<kx+b的解为()

5.如图，直线y=kx+b与直

|尸3X-2

A、y=kx+b

A.x>—B.x<N—C.x>--D.x<--

2222

6.如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A(-1,0).B(4,0),贝ij不等式(kx+b)(mK+n)>。的解

集为()

y=kx+b[y=mx-*-?1

V

A.x>2B.0<工xV4C.-l<x<4D.xV-1或x>4

7.如图，直线,二九+〃与J/2=爪-1相交于点P,点P的横坐标为-1,则关于X的不等式X+匕〈日一1的

解集在数轴上表不止确的是()

上一

/七1

y2=Ax-1

-2-10-2-10

8.在平面直角坐标系中，一次函数丫=11^+1）（01,b均为常数）与正比例函数y=nx（n为常数）的图象如图所

示，则关于x的方程mx=nx-b的解为（）

\y=mx+3

9.若直线y=如-3和），=2%+〃相交于点P（-2,3）,则方程组广介的解为（）

[y=2x-n

10.如图,在平面直角坐标系中,直线h：y=ax+b（a、b为常数且a#））和直线除y=mx+n（m、n为常数且

y=ax+b

inf。）相交于点A,若点A的坐标是（4,5）,则关于x、y的二元一次方程组｛的解为_____.

y=mx+n

11.如图，函数y=20x和），=依-40的图象相交于点尸，点P的纵坐标为40,则关于X,y的方程组

2O.v-y=O

—的解是

12.一次函数y=kx+b(kM)的图象如图所示，则--元一次不等式・kx+2k+b>0的解集为

考点5：一次函数的纯数学问题问题

典例：如图，在平面直角坐标系中,直线h：y=kix+b(k#O)经过点A(4,0),B(0,2),与直线Z2：y=k2x(k2^0)

交于点P(a,1).

(1)求直线/八〃的表达式；

(2)C为直线4上一点，过点C作直线m_Lx轴于E,直线m交〃于点D.当CD=3ED时，求C点的坐标.

方法或规律点拨

本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，二元一次方程组的解法，一次函数的性质，坐标与图形，

掌握以上知识是解题的关键.

巩固练习

I.如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个一次函数.若用y表示B中的实数，用x

表示A中的实数，则a=.

2.如图，若正比例函数)，=丘(女工0)的图象与一次函数y=—K+1的图象相交于点?，则这个正比例函数

的表达式为.

3.已知直线丁=履+力与直线y=+l平行，月.过(一2,3),则这条直线的解析式是_________.

4.在平面直角坐标系中,有点A(a+1,・6),B(2a-3,-*5)；

(1)当点8在第二、四象限角平分线上时，求8点坐标.

(2)若线段A8〃x轴，求A、8两点坐标.

(3)在(2)的条件下，求经过点4和坐标原点O的函数解析式.

5.已知正比例函数)，=(攵一1卜.

⑴若函数图象经过一、三象限，求女的取值范围；

⑵若点(-2,-4)在函数图象上.求该函数的表达式.

6.已知3与X成正比例，且当X=2时，y=-l.

(1)求y关于x的函数表达式.

⑵判断点A(-1,6)是否在函数的图象上，并说明理由.

(3)当〃意!k〃?+1时，y的最小值为4,求m的值.

7.设一次函数y=H+b(&,6是常数,且一工0).

⑴若一次函数)，=x+2和丁="+6的图象交于x轴同一点，求与的值；

k

(2)若％=—1,〃=1,点和Q(-3,〃)在一次函数)，的图象上，且〃2>〃，求凡的取值范围;

(3)若4+〃<0,点Q(5,m)(利>0)在该一次函数上，求证：k>0.

8.己知¥与八十2成正L匕例，且工=1时，y=-6.

(1)求)'与x之间的函数关系式，并建立.平面直角坐标系，画出函数图象；

⑵结合图象，当一2<y«。时，求x的取值范围.

4

9.如图1,直线AB：y=5x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C,

将么BOC沿BC折叠，使点O落在BA上的点M处.

(1)求A、B两点的坐标；

⑵求线段BC的长；

⑶点P为x轴上的动点，当NPBA=45。时，求点P的坐标.

10.如图，已知一次函数户履+力的图象经过4(-2,-2),仅1,4)两点，并且交x轴于点C,交y轴于点。.

(1)求一次函数的解析式；

⑵求点。和点。的坐标；

(3)求△004的面积.

11.如图，正方形ABCD的边长为4cm,动点P从A点出发，在正方形的边上由ATB—C—D运动，设运

动的时间为t(s),AAPD的面积为S(cm)S与t的函数图象如图所示.

(1)当点P在BC上运动时，写出(的范围.

(2)当［为何值时,AAPD的面积为6cm2.

12.如图，一次函数y=x+〃的图象分别与刀，)'轴交于4(-8,0),区两点，已知过点3的直线BC交x

轴干点C,且。8:OC=4:3.

(1)求点。的坐标，并在图中画出直线8c的图象；

(2)求直线8C的表达式.

13.如图,已知直线/：＞="+〃与x轴交于A(-3,0)、与信轴交于B点,

且经过(1,8),在)'轴上有一点C(0,3),动点D从点A以每秒1个单位的速度沿X

轴向右移动，设动点D的移动时间为f秒.

⑴求攵、〃的值；

(2)当/为何值时△CODgZXAOB,并求此时点D的坐标；

(3)求aCOD的面积S与动点D的移动时间f之间的函数关系式.

14.如图，已知把线段相平移，使点△移动到点D(3,4)处，这时点4移动到点。

处.

(1)请在图中画出线段CD：

(2)求经过aD的直线的函数表达式及其与y轴的交点坐标.

15.己知一次函数y=kx+b(kHO)的图象经过点A(-2,3)和5(2,0).

(1)求该函数的表达式.

(2)若点尸是x轴上一点，且AABP的面积为6,求点P的坐标.

16.如图，直线1：y=-gx+2与x轴，y轴分别交于A,B两点,在y轴上有一点C(0,4),动点M从点

A出发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动.

(I)求A,B两点的坐标；

(2)求aCOM的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式;

(3)当t=6时,

①直接写出直线CM所对应的函数表达式；

②问直线CM与直线/有怎样的位置关系？请说明理由.

-2x+4（x>/n）

17.定义：函数«叫做关于机的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A,与x轴正半轴

2x+4（x</n）

交点记为8.

-2x+4（x>l）

(1)关于1的对称函数与直线x=l交于点C,如图.

2x+4（x<l）

①4（,0）,网,0）,C（l,）.

②P为关于1的对称函数图象上一点(点P不与点。重合)，当SAA8C=S/B尸时，求点P的坐标;

(2)当直线y=x与关于〃?的对称函数有两个交点时，求加的取值范围.

18.已知点P(2,3)是第一象限内的点，直线小交丁轴于点8(0,2),交X轴于点A,连接OP.

(1)求直线Q4的表达式.

(2)求AAOP的面积.

考点6：一次函数的实际应用问题

典例：.某文具店计划购进A,B两种笔记本共60本，每本A种笔记本比B种笔记本的利润高3元，销售2

本A种笔记本与3本B种笔记本所得利润相同，其中A种笔记本的进货最不超过进货总晟的B种笔记

3

本的进货量不超过30本.

(1)每本A种笔记本与8种笔记本的利润各为多少元？

(2)设购进B种笔记本〃?本，销售总利润为W元，文具店应如何安排进货才能使得W最大？

(3)实际进货时，8种笔记本进价下降〃(39玄)元.若两种笔记木售价不变，请设计出笔记本销售总利润最

大的进货方案.

方法或规律点拨

本越考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识，是聿要考点，难度一

般，掌握相关知识是解题关键.

巩固练习

1.如图，若弹簧的总长度McM是关于所挂重物M依)的一次函数了=依+4则不挂重物时，弹簧的长度是()

2.小甬，小真两人的跑步路程y（米）和跑步时间x（分）之间的关系如图所示，一知小甬的跑步速度比小真快,

则下列说法正确的是（）

A.小甬每分钟跑200米.小真每分钟跑100米

B.小雨每跑100米时，小真只能跑60米

C.相遇时，小甬、小真两人都跑了500米

D.经过4分钟时，小甬、小真两人都跑800米

3.一蓄水池中有水50m，打开排水阀门开始放水后水池的水量与放水时间有如下关系:

放水时间/分1234・・・

水池中水量/n?48464442・・・

下列说法不正确的是（）

A,蓄水池每分钟放水2m3

B.放水18分钟后，水池中水量为14m3

C.蓄水池一共可以放水25分钟

D.放水12分钟后，水池中水量为24m3

4.一条笔直的公路上依次有A,B,。三地，甲，乙两人同时从A地出发，甲先使用共享单车，经过“地

到达停车点。地后再步行返回8地，此时直接步行的乙也恰好到达3地.已知两人步行速度相同，两人离

起点A的距离）'（米）关于时间工（分）的函数关系如图，则.

5.本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议.现有甲、乙两家出租车公

司供选择.设每月行驶x千米，应付给甲公司以元，应付给乙公司为元，y、为分别与式之间的函数关

系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为350（）千米，那么为了省钱，这个单位应租

公司.

6.甲乙两人同时登同一座山，甲乙两人距地面的高度）'（米）与登山时间工（分）之间的函数图象如图所示，根

据图象所提供的信息解答下列问题：

⑴乙在提速前登山的速度是米/分钟，乙在A地提速时距地面的高度力为米.

(2)若乙提速后，乙比甲提前了9分钟到达山顶，请求出乙提速后)，和x之间的函数关系式.

(3)登山多长时间时，乙追上了甲，此时甲距山顶的高度为多少米？

7.已知A,3两地相距120km,甲、乙两人沿同一条公路匀速从4地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑自行

车，设乙行驶的时间为«h),甲乙两人之间的距离为》(km),)，与，的函数关系如图所示.请观察分析图象

km/h,第一次相遇的时间在乙出发小

时.

⑵当30领卜50时，求/的取值范围;

⑶若甲到达8地后立即原路返回，返回途中甲乙何时相距10km?

8.某数码商店销售A、B两种型号的手机，其中A型手机每台的利润为260元，B型手机每台的利润为300

元.该店计划一次性购进两种型号的手机120台，由于厂家的限制，A型手机最多购进80台，B型手机购

进的台数不超过A型手机的2倍，设购进A型手机x台，这120台手机的销售总利润为y元.

(1)求y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；

⑵该商店购进八型、B型手机各多少台时，俏售总利润最大？最大利润是多少？

(3)实际进货时，厂