2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题32 与圆有关的位置关系【十六大题型】（解析版）

专题32与圆有关的位置关系【十六大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1点和圆的位置关系】 5【题型2直线与圆的位置关系】 8【题型3求平移到与直线相切时圆心坐标或运动距离】 14【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】 22【题型5判断或补全使直线成为切线的条件】 27【题型6利用切线的性质求值】 31【题型7证明某条直线是圆的切线】 36【题型8利用切线的性质定理证明】 44【题型9切线的性质与判定的综合运用】 54【题型10作圆的切线】 62【题型11应用切线长定理求解或证明】 68【题型12由外心的位置判断三角形形状】 79【题型13求三角形外接圆的半径、外心坐标】 81【题型14由三角形的内切圆求值】 87【题型15与三角形内心有关的应用】 95【题型16三角形外接圆与内切圆综合】 101【知识点与圆有关的位置关系】1.点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d=r；点P在圆内d＜r。性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。2.直线和圆的位置关系直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有：直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d=r；直线l和⊙O相离d＞r。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。【题型1点和圆的位置关系】【例1】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（

）

A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内【答案】C【分析】由AB=8，BP=3AP得到AP=2，BP=6，再根据勾股定理，在Rt△ADP中计算出PD【详解】解：如图，

∵四边形ABCD为矩形，∴AD∵AB=8，∴AP=2，在Rt△ADP中，AP=2∴PD在Rt△PBC中，∵PB∴PC∴PC∴点B在圆P内，点C在圆P外．故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上【变式1-1】（2023·四川凉山·统考模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙AA．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．【答案】A【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系．由勾股定理可求得AB的长，进而得到AD的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为AD和AC长度之间时，B、C、D三点中只有点D在⊙A【详解】∵在Rt△ABC中，BC=3∴AB=∵D为AB的中点，∴AD=

由上图可知，当⊙A的半径r=AD=5当⊙A的半径r=AC=4时，点C在当⊙A的半径r=AB=5时，点B在⊙A当⊙A的半径满足52<r≤4当⊙A的半径满足4<r≤5时，点C、D当⊙A的半径满足r>5时，点B、C、D在∴若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是故选：A【变式1-2】（2023·四川成都·统考二模）已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2-12【答案】12【分析】根据题意知⊙O【详解】解：∵P是⊙O∴⊙O∵最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax∴⊙O的直径为-故答案为：12．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．【变式1-3】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是平面内一点，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则PD的最小值为（A．45 B．1 C．75 D【答案】B【分析】根据题意，分别以B,C为圆心BC的长为半径，作⊙B,⊙C，作BC的垂直平分线，则符合题意的点P，在⊙【详解】如图，分别以B,C为圆心BC的长为半径，作⊙B,⊙C，作BC的垂直平分线，则符合题意的点P当P位于CD的延长线与⊙C∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC∴∴PD≥PC故选B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，根据题意作出两圆一线是解题的关键．【题型2直线与圆的位置关系】【例2】（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，已知∠ACB=30°，CM=2，AM=5，以M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段【答案】1≤【分析】过M作MH⊥AC于H，根据直角三角形的性质得到【详解】解：过M作MH⊥AC于∵CM=2，∠∴HM=∵AM=5，⊙M与线段∴r的取值范围是1≤r故答案为：1≤r【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d【变式2-1】（2023·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD上一定点，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且【答案】154<【分析】根据题意可得PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M；PC最大值为圆P'与圆E内切，切点为Q【详解】解：根据题意可知：PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M，如图所示：∴PM⊥在直角梯形ABCD中，∵AD∥∴∠ABC∴四边形ABPM是矩形，∴PM=PC最大值为圆P'与圆E内切，切点为Q∴P'当PC=PA时，此时圆P与线段AD开始有设PC=PA=∴6-x∴x=则PC长度的取值范围是154<PC故答案为：154<PC【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．【变式2-2】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）如图，线段BC=16cm，过点B在线段BC的上方作射线BA，且tan∠ABC=43，动点O从点B出发，沿射线BA以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点O，Q都停止运动．以点O为圆心，OB长为半径的半圆与线段BC交于点D，与射线BA交于点(1)求BD的长（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，线段PQ与半圆O相切？(3)若半圆O与线段PQ只有一个公共点，直接写出t的取值范围．【答案】(1)BD(2)t=3时，线段PQ与半圆O(3)0<t≤3【分析】（1）连接OD，过点O作BC的垂线，垂足为G，tan∠ABC=43，设BG为3m，OG为4m（2）当线段PQ与半圆O相切时，则QP⊥BP，又因为tan∠PBQ=43，设PQ（3）根据题意分情况讨论：当半圆O与线段PQ相切时，可以求得t的值；当点E与点C重合时，可以求出t的值，解出相应的取值范围即可．【详解】（1）解：连接OD，过点O作BC的垂线，垂足为G，∵点O为半圆圆心，∴OB=∴DG=∵tan∠设BG为3m，OG为4∴t2解得m=∴BD=2（2）解：当线段PQ与半圆O相切时，则QP⊥BP在Rt△BQP中，tan∠∴BQ=又∵BP=2∴2t∴t=3∴t=3s时，线段PQ与半圆（3）解：∵半圆O与线段PQ只有一个公共点，∴当半圆O与线段PQ相切时，由（2）得，t=3s时，线段PQ与半圆∴当0<t≤3时，半圆O与线段当点Q与点D重合时，BD=∴65解得t=5∴当5<t<8时，半圆O与线段综上所述，t的取值范围为0<t≤3或【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系、锐角三角函数、勾股定理的应用和圆的切线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【变式2-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知矩形ABCD，AD

图1

图2(1)如图1，若点B，D在以O为圆心，OA为半径的圆上，AB=OB，求证：(2)如图2，点E，F分别在AD，BC边上，若点D，点C关于直线EF对称的点分别为点B和点P，判断直线DP与过A，E，【答案】(1)见解析；(2)相交，理由见解析【分析】（1）先证明⊙O是△ABD的外接圆，再证明BD是⊙O的直径，再证明△OAB为等边三角形，得∠AOD（2）设过A,E,F三点的圆为⊙O，连接FD,FB,OF，过点O作OH⊥PD于点H，由对称性质得DP【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A∵点B，D在⊙O∴BD是⊙O的直径，O是BD∴AO∵AB∴AB∴AB∴△AOB∴∠AOB=60°，∴AD=120°∴AD（2）解：如图，连接DF，

∵点B，D关于直线EF对称，∴直线EF垂直平分BD；∴BE=DE，∴∠BEF∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE∴∠BEF∴BE=∴四边形BFDE是菱形∴BD垂直平分EF，在BD上取点O，连接OA，∵⊙O经过点E，F∴OE∴点O在BD上，∵点C，P关于直线EF对称，∴PF=CF∵BF∴△BFP∴∠BFP∴∠BFP∴点D，F，P三点共线；∴∠BPF∵∠ADB∴BP=AB∴∠ABD∵OB=OB∴△ABO∴OP=OA，点P∴直线DP与⊙O有∴直线DP与⊙O【点睛】本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，圆周角定理，轴对称的性质，关键是综合应用这些知识解题．【题型3求平移到与相切时圆心坐标或运动距离】【例3】（2023·河南南阳·统考一模）如图，直线y=-34x-3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙PA．-73,0 B．C．-37,0 D．【答案】B【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0，-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线y=-34x-3交x轴于点∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴PDOB∴13∴AP=53∴OP=73或OP=17∴P(-73,0)或故选：B．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．【变式3-1】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d

【答案】1<d<5【分析】分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)∴OP∵⊙P的半径为2∴AP∴OA=1，∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5∴平移的距离d的取值范围是1<d故答案为：1<d

【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．【变式3-2】（2023·四川凉山·统考模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．【详解】解：作OC⊥AB，又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm∴BO＝5，BC＝4，∴由勾股定理得OC＝3cm，∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．故选：B．【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键．【变式3-3】（2023·北京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于直线l和线段BC，给出如下定义：若将线段BC关于直线l对称，可以得到⊙O的弦B'C'(B'，C'分别是B，C的对应点)，则称线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．例如，图1中线段BC是以直线

(1)如图2，点B1，C1，B2，C2，①在线段B1C1，B2C2，B3C3中，以直线l1：②在线段B1C1，B2C2，B3C3中，存在以直线l2：(2)已知直线l3：y=-3x+mm>0交x轴于点A．在△ABC中，AB=6，BC=2，若线段BC是以直线【答案】(1)①B1C1；(2)m的最大值为83，AC=213；m的最小值为4【分析】（1）①根据题中定义即可画图得出；②通过判断B1C1⊥直线l2，⊙O的最长的弦即直径为4，可排除B1（2）画⊙O与⊙T关于直线l3：y=-3x+mm>0对称，以点A为圆心，6【详解】（1）解：①如图所示：

∴以直线l1：y=x+4为轴的⊙O的“关联线段②∵直线l2：y=-x+b∴线段B1C1∴线段B1C1关于直线l2的对称线段还在直线∵⊙O的最长的弦即直径为4B2C2∴线段B2C2∵线段B3C3∥直线l2∴线段B3C3线段B3C3且B3'C如图，平移线段B3C3

(ⅰ)B3'，C3'的坐标分别为0,2，(ⅱ)B3''，C3''的坐标分别为-2,0综上所述，b=1或3（2）解：画⊙O与⊙T关于直线l3∵AB=6以点A为圆心，6为半径画⊙A，则⊙A与∵⊙O与⊙T关于直线则⊙A与⊙

此时m取得最小值；

此时m取得最大值；把y=0代入直线l3：y=-∴点A的坐标为A3∵⊙A与⊙∴-2解得：43∴m的最大值为83，m的最小值为43连接AC、BC、OC，过点C作CE⊥

∵BC=2，⊙O的半径为∴△OBC∴OC=2，OE∴CE=∵AB=6∴AE=∴AC=连接AC、BC、OC，过点C作CF⊥

∵BC=2，⊙O的半径为∴△OBC∴OC=2，OF∴CF=∵AB=6∴AF=∴AC=【点睛】本题考查了圆的几何问题，难度较大，正确理解新定义和考虑到以点A为圆心，6为半径画⊙A，则⊙A与【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】【例4】（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案，甲答：

A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整【答案】D【分析】由勾股定理求出BC=4，再根据等面积法求出斜边AC上的高为125，再根据半径【详解】解：∵AB=3，AC∴BC∴斜边AC上的高为：3×45当r=4

，此时△ABC在圆内部，⊙B与当3<r

，此时⊙B与AC当r=

，此时⊙B与AC∴三人的答案合在一起才完整，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，等面积法，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．【变式4-1】（2023·湖南·中考真题）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【答案】C【分析】首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相交，直线与圆相交有两个交点；若d=r，则直线于圆相切，直线与圆相交有一个交点；若d＞r，则直线与圆相离，直线与圆相交没有交点．【详解】∵⊙O的直径等于12cm，∴该圆的半径是6cm，即r=6cm，∵圆心O到直线l的距离为5cm，即d=5cm，∴d＜r，∴直线和圆相交，∴直线l与⊙O的交点个数为2．故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．【变式4-2】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6.点O为对角线AC上一点（不与A重合），⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆.当⊙O与矩形各边的交点个数为5个时，半径OA的范围是【答案】15【分析】在圆心从点O1运动到O3过程中，⊙O在⊙O2与⊙O3之间时与矩形有5个交点，过点O2作O【详解】如图所示，⊙O2与矩形有4个交点，当O2再往点C运动一点就会与矩形有⊙O3与矩形有6个交点，当O3往点A运动一点就与矩形有所以，⊙O在⊙O2与⊙O3之间时与矩形有过点O2作O2E⊥CD设⊙O的半径为r，∵在Rt△ABC中，AB=8，BC∴AC=10∵O∴O2∴10-r∴r=∵O3∴O∴10-rr=∴154故答案为：154【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，相似三角形的性质，解题的关键是找到⊙O与矩形有5个交点的两种临界点，画出相应的图形，再根据相似三角形的性质进行求解．【变式4-3】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，已知OA=6，OB=8，BC=2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y=A．4 B．92 C．112 D【答案】D【分析】在Rt△AOB中，由勾股定理求得AB=10；再求得直线AC的解析式为y=-x+6；设⊙P的半径为m，可得P（m，-m+6）；连接PB、PO、PC，根据S△AOB=S△AOP+S△APB+【详解】在Rt△AOB中，OA=6，OB∴AB=∵OB=8，BC∴OC=6，∴C（0，6）；∵OA=6∴A（6，0）；设直线AC的解析式为y=∴6k+解得k=-1∴直线AC的解析式为y=-设⊙P的半径为m∵⊙P与OB∴点P的横坐标为m，∵点P在直线AC上，∴P（m，-m+6）；连接PB、PO、PA，∵⊙P与OB、AB∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m，∵P（m，-m+6）；∴△AOP边OA上的高为-m+6，∵S△∴12解得m=1，∴P（1，5）；∵抛物线y=ax∴a=5故选D．【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出⊙P【题型5判断或补全使直线成为切线的条件】【例5】（2023·广东揭阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（A．若DE=DO，则DE是⊙O的切线 B．若AB=AC，则DEC．若CD=DB，则DE是⊙O的切线 D．若DE是⊙O【答案】A【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；若DE=DO，没有理由可证明DE是⊙【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；当CD=BD时，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．若DE=DO，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以故选：A．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-1】（2023·天津西青·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为．【答案】1或5/5或1【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为1或5．【变式5-2】（2023·吉林·一模）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线（1）如图1所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（2）如图2所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF【答案】（1）∠BAE=90°或∠EAC=∠ABC【分析】（1）根据切线的性质添加适合的条件即可；（2）作直径AM，连MC，利用圆的性质直径所对的角为直角以及同弧所对的圆周角相等，进行等角转换，即可得出∠CAM【详解】（1）∠BAE=90°或∠EAC=∠ABC或（2）是；作直径AM，连MC则∠ACM=90°∴∠M+∠∵∠∴∠∴∵AM∴EF是⊙【点睛】此题主要考查圆的性质和切线的性质和判定，熟练掌握，即可解题.【变式5-3】（2023·贵州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）A．DE=DO B．AB=ACC．CD=DB D．AC∥OD【答案】A【详解】：根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线．根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．故选A.【题型6利用切线的性质求值】【例6】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B．若△ABC∽△

【答案】63/【详解】题主要考查了相似三角形的性质，求角的正弦值，掌握正弦的概念，理解相似三角形的性质是解题关键．由△ABC∽△CBO【点睛】解：∵△ABC∴BCAB=OB∴BC∵BC与⊙O相切于点B∴∠ABC在Rt△ABCsin∠故答案为：63【变式6-1】（2023·海南三亚·统考二模）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C是⊙O上一点，若∠ACB=32°【答案】26°/26度【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接OA，由切线的性质得到∠OAP=90°，由圆周角定理求出∠AOB【详解】解：连接OA，∵PA切圆于A∴半径OA⊥∴∠OAP∵∠ACB=1∴∠AOB∴∠P故答案为：26°．【变式6-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，E是⊙O的直径AB延长线上一点，过点E作⊙O的切线EC,C为切点，D是⊙O上一点（在直径AB的下方）．若∠【答案】70°/70度【分析】本题考查切线的性质，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，理解题意，准确添加辅助线是解题关键．连接OC，由切线的性质可得∠COE【详解】解：连接OC，∵过点E作⊙O的切线EC∴∠OCE∵∠AEC∴∠COE∴∠AOC∴∠故答案为：70°．【变式6-3】（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）如图，△ABC内接于⊙O．AB是直径，过点A作直线MN，且MN是(1)求证：∠MAC(2)设D是弧AC的中点，连接BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点①求证：FD=②若BC=3，AB=5，试求【答案】(1)见解析(2)①见解析；②1【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°得出∠CAB+∠ABC=90°，由切线的性质定理得出（2）①由等弧所对的圆周角相等得出∠DBC=∠ABD，由直角所对的圆周角为90°得出∠CBG+∠CGB=90°，由垂直的定义得出∠FDG+∠ABD=90°，等量代换得出∠FDG=∠CGB=∠FGD，即可得出结论；②连接AD、CD，作DH⊥【详解】（1）证明：∵AB∴∠ACB∴∠CAB∵MN是⊙∴MA⊥∴∠MAC+∠∴∠M（2）解：①∵D是弧AC∴∠DBC∵AB∴∠CBG∵DE⊥∴∠FDG∵∠DBC∴∠FDG∴FD②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于∵∠DBC=∠ABD，DH∴DE在Rt△BDE与DH=∴Rt∴BE∵D是弧AC∴AD在Rt△ADE与DE=∴Rt∴AE∴BE=BC∴AE【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．【题型7证明某条直线是圆的切线】【例7】（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作(1)求证：CD为⊙O(2)若AC=5，∠E=30°【答案】(1)见解析(2)5【分析】本题考查切线的判定，直径所对圆周角为直角，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．（1）连接OC，由等边对等角及角平分线定义可证得OC与PA平行，进而可证明CD⊥（2）由直径所对圆周角为直角，结合∠E=30°，结合证明∠CAD【详解】（1）证明：连接OC．∵AC平分∠PAE∴∠PAC∵OC=∴∠OAC∴∠OCA∴OC∥∵CD⊥∴CD⊥∵OC是⊙O∴CD为⊙O（2）解：∵AE是⊙O∴∠ACE∵∠E∴∠CAD∵∠CDA∴CD=【变式7-1】（2023·江苏淮安·校考模拟预测）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点(1)判断直线AB与⊙O(2)PC=26，OA【答案】(1)直线AB是⊙O(2)PB【分析】此题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键，（1）连接OB，根据AB=AC得到∠ABC=∠C，由OA⊥l得到∠APC+∠C=90°（2）过点O作OH⊥BC于点H，如图，则BH=PH，设⊙O的半径为r，则PA【详解】（1）直线AB是⊙O连接OB，如图，∵AB=∴∠ABC∵OA⊥∴∠PAC∴∠APC∵OB=∴∠∵∠APC∴∠APC∴∠OBP∴∠OBP+∠ABC∵OB是⊙O∴直线AB是⊙O（2）过点O作OH⊥BC于点H，如图，则设⊙O的半径为r，则PA在Rt△APC中，在Rt△ABO中，∴PC∴26解得r=1∴OP=1，AP∵∠OHP∴△HPO∴HPAP∴HP3=1∴PB【变式7-2】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC=DC，BD交AC于点E，点F在(1)求证：BF是⊙O(2)若EF=6,①求BF的长；②求⊙O【答案】(1)见解析(2)①BF=5；②⊙O【分析】（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求得CF=CE=12EF=3,∠F=∠【详解】（1）证明：∵BC=∴BC=∴∠A∵BE=∴∠BEC∵AB为⊙O∴∠ACB∴∠BEC∴∠F∴∠ABF∴OB⊥∵OB是圆的半径，∴BF是⊙O（2）解：①由（1）得：BE=∵AB为⊙O∴BC⊥∴CF=∵∠ABC∴∠F在Rt△∵cos∠∴BF=②在Rt△BCF中，在Rt△∵cos∠∴AB=∴⊙O的半径为10【点睛】本题主要考查了圆的切线的的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握上述性质是解题的关键．【变式7-3】（2023·广东茂名·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=2，AE平分∠BAD，(1)求证：PA是⊙O(2)若tan∠DAE=2(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求【答案】(1)见解析(2)1(3)2【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，即∠DAB+∠（2）连接OE,EB，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得AD∥OE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠DAE（3）过点B作BG∥AD，根据平行线分线段成比例，求得DG=22，设⊙O的半径为x，则GB=12OE【详解】（1）证明：∵AB是⊙O∴∠ADB∴∠DAB∵AD∴∠AED∵∠PAD∴∠PAD∴∠BAD即∠PAB∴PA是⊙（2）如图，连接OE,∵AE平分∠BAD∴∠DAE∴DE=∴OE∵OA∴∠OEA∴∠DAE∴AD∵AB是⊙∴AD⊥DB即∠ADF∵∴∠DAE∴tan∴EF∴EF=（3）如图，过点B作BG∥由（2）可知AD∥∴OE∵AO∴DE设⊙O的半径为x，则GB∵AD∴△CGB∴CG∴AD∵OE∴DB∵DE=∴DG在Rt△DBG中，在Rt△ADB中，即32解得：x=2∴⊙O的半径为2【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．【题型8利用切线的性质定理证明】【例8】（2023·广东江门·统考一模）如图1，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C为圆上任意一点，过点C作圆的切线，分别与过A，B两点的切线交于P，Q

(1)求CP•(2)如图2，连接PB，AQ交于点M，证明直线【答案】(1)CP•CQ的值为1(2)见解析【分析】（1）连接OP、OQ，由切线的性质可推出AP∥BQ，∠OAP=∠OBQ=90°（2）延长CM交AB于点H，证△QMB∽△AMP，【详解】（1）解：如图1，连接OP

∵PA、BQ、PQ分别与⊙O相切于点A、∴AP⊥AB，BQ⊥AB，∠∴AP∥BQ，∴∠APC∴∠OPC+∠OQC∴∠POQ∴∠AOP∴APOA=tan∠∵AB是⊙O的直径，AB=2∴OA=∴AP•∵AP=∴CP•（2）证明：如图2，延长CM交AB于点H，

∵AP∥∴△∴MQ∴MQ∴MQ∵∠MQC∴△MQC∴∠MCQ∴AP∥∴∠MHC∴MC⊥【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判断与性质、正切的定义等知识点．掌握相关结论是解题关键．【变式8-1】（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，连接AO并延长，与PB的延长线相交于点C，连接PO，交⊙O于点

(1)求证：∠APO(2)若DP=DB，试探究PB与【答案】(1)见解析(2)PB=【分析】（1）证法一：如图．连接OB．利用切线的性质证明Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），进而可得结论；证法二：如图．连接OB,AB,（2）如图，连接OB．由切线的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质证明∠DBP=∠DPB=30°，【详解】（1）证法一：如图．连接OB．

∵PA,PB是⊙∴OA在Rt△PAO与∵PO=PO∴Rt△PAO∴∠APO证法二：如图．

连接OB,AB,AB与∵PA,PB是⊙∴OA∴∠PAO∴∠PAO-∠OAB∴PA∴点P在线段AB的垂直平分线上，∵OA∴点O在线段AB的垂直平分线上，∴直线OP是线段AB的垂直平分线，即PE垂直平分AB．∵PA∴∠APO（2）PB=证明：如图．连接OB．∵PB是⊙O的切线，∴OB∴∠OBP∵DP∴∠DPB∵∠ODB∴∠ODB∴∠OBD∵∠OBD∴2∠DBP∴∠DBP∴∠ODB∴在Rt△PBO中，∴PB∵OD=∴△ODB∴OB∵DP∴OB∴PB

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有一定的综合性，但难度不大，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．【变式8-2】（2023·四川·校联考模拟预测）如图，圆O中内接△ABC，过点A作圆O的切线l，作直线CD使得∠ACD=∠B，并交(1)证明：CD∥(2)若CE=CA=2(3)证明：BC【答案】(1)见解析(2)DE(3)见解析【分析】（1）连接OA，交CD于点M，根据切线的性质可得∠OAG=90°，根据垂径定理可得∠OMC（2）通过证明△ACE∼△ABC（3）先通过证明△BCA∼△BED，利用相似三角形的性质得出BA⋅BE【详解】（1）连接OA，交CD于点M，∵过点A作圆O的切线l，作直线CD使得∠ACD∴∠OAG∴OM⊥∴∠OMC∴CD∥（2）连接OC并延长交⊙O于点F，连接AF∵∠ACD∴△ACE∴ACAB∵CA=2∴AE=1∴2AB=1∴BE=∵∠CDB∴△AEC∴AEDE∵CE=2∴1DE=2（3）如图，∵∠ACD=∠ABC∴△BCA∴BABD=BC由角平分线定理得BDBC=DE∴BA⋅∴BC【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，角平分线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式8-3】（2023·河南许昌·统考二模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题．其中，命题4．2的内容是：给定一个三角形，可作圆内接相似三角形．小冉想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证：已知：如图1，△ABC为已知三角形，如图2，HG是⊙O的切线，D为切点，∠EDH求证：△DEF小冉在图2的基础上，添加了辅助线；如图3，连接并延长DO，交⊙O于点P，连接PE，PF(1)请在小冉所添辅助线的基础上，求证：△DEF(2)若AB=AC=5，BC=8，【答案】(1)见详解．(2)25【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠PED=∠PFD=90°,得到∠DPE+∠PDE（2）连接OD，OE，OD与EF交于点M，由题意可得出EF//HG,DE=DF,由OD⊥HG,可得到【详解】（1）在小冉添加了辅助线的基础上，证明如下：∵DP是⊙O∴∠∴∠∵HG是⊙O∴∴∠∴∠∴∠∵∠∴∠∵∠∴∠∴△（2）如图，连接OD，OE，OD与EF交于点M，由（1）得，∠∵∴∠∴∠∴∵∴∵△∴∴∴∵∠∴∴∵∠∴∵∴∴∴⊙O的半径为：【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，圆周角的性质，相似三角形的判定性质，勾股定理，正确理解题意是解本题的关键．【题型9切线的性质与判定的综合运用】【例9】（2023·广东肇庆·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=13，AD=6．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG(1)当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为(2)在（1）的条件下，证明：FG是⊙O(3)试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE【答案】(1)12(2)详见解析(3)BE能与⊙O相切，此时BE=2【分析】（1）可得∠EAB=∠DEA（2）连接OF，证明△ADE≌△BCE(SAS)，得出AE=（3）先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°．设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，根据勾股定理可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，CD∥∴∠EAB∵E是CD∴DE∴tan故答案为：1213（2）证明：连接OF，在矩形ABCD中，AD=BC，又CE=∴△ADE∴AE∴∠EAB∵OF∴∠OAF∴∠OFA∴OF∵FG∴FG∴FG是⊙（3）解：若BE能与⊙O相切，由AE是⊙O的直径，则AE⊥设DE=x，则由勾股定理得：AE即(36+x整理得x2解得：x1=4，∴DE=4当DE=4时，CE=9，当DE=9时，CE=4，∴BE能与⊙O相切，此时BE=2【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、切线的判定、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握切线判定与性质是解题的关键．【变式9-1】（2023·山西太原·太原五中校考一模）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等，DB与AC垂直与点B，DB

使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，则EB，EO就把为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，求证：．【答案】AB=OB，EN切半圆O于F，EO就把【分析】证明△ABE≌△OBESAS，求出∠1=∠2，证明BE⊥OB，得出BE是⊙O的切线，EF切半圆O于F，得出EB=EF【详解】解：已知：如图2，点A，B，O，EB⊥AC，AB=OB．M、求证：EB，EO把∠MEN证明：∵EB⊥∴∠ABE∵AB=OB，∴△ABE∴∠1=∠2，∵BE⊥∴BE是⊙O∵EF切半圆O于F，∴EB=EF，∵AO=∴Rt△∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3，∴EB，EO就把∠MEN故答案为：AB=OB，EN切半圆O于F，EO就把

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，切线性质和判定，解题的关键是理解题意，作出辅助线，证明∠1=∠2=∠3．【变式9-2】（2023·山东·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交

(1)如图1，连接BD，求证：△ADB(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN．请问：三条线段【答案】(1)见解析(2)MN=【分析】（1）根据CF⊥OE，OC是半径，可得CF是⊙O的切线，根据BE是⊙O的切线，由切线长定理可得BF=CF，进而根据sinE=CFEF=12，得出∠E=30°，∠（2）延长ND至H使得DH=BM，连接CH，BD，根据圆内接四边形对角互补得出∠HDC=∠MBC，证明△HDC≌△MBCSAS，结合已知条件证明【详解】（1）证明：∵CF⊥OE∴CF是⊙O∵BE是⊙O∴BF=∵EF∴EF=2∴sin∴∠E=30°，∵CD∴CD=∴OC⊥∵AB是直径，∴∠ADB∵∠E+∠∴∠E∴AD=∴△ABD（2）MN=延长ND至H使得DH=BM，连接CH，

∵∠∴∠HDC∵CD=CB∴△HDC≌△MBC∴∠BCM=∠由（1）可得∠ABD又AB是直径，则∠ADB∴∠A∴∠DCB∵∠MCN∴∠BCM∴∠DCH∴∠NCH∵NC=∴△CNH≌△CNM∴NH=MN∴MN=即MN=【点睛】本题考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式9-3】（2023·浙江杭州·校考二模）知：如图1，AB是⊙O的弦，点C是⊙O的半径OB的延长线上一点，将ΔABC翻折得到△ABC'，

(1)求证：BC(2)若AC与⊙O①如图2，点C'落在⊙O上，求②如图3，若OA=10，AB=12，求【答案】(1)见解析(2)①12；②15552【分析】（1）证明∠AB（2）①通过∠C、∠C'和∠O的关系，结合△OAC②说明△C'DB【详解】（1）证明：∵将△ABC翻折得到△∴∠ABC∵OA∴∠OAB∵∠ABC∴∠AB∴B（2）解：①∵AC与⊙∴OA∴∠OAC∴∠O∵将△ABC翻折得到△∴∠C∵∠O∴∠O∴3∠C∴∠C∴sin②作OE⊥AB，垂足为E，则

∴OE∵B∴∠OAD∵∠AOD+∠C∴∠AOD∴A∵S△OAB∴AD∴OD∴BD∵∠OAD=∠C∴△C∴BDOD即365∴D∴S【点睛】本题以圆为载体考查了圆的性质，平行线的判定，翻折问题，相似，解直角三角形等知识，（2）②的关键是得出△C【题型10作圆的切线】【例10】（2023·江苏南京·一模）过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线直线AD即为⊙O如图，小明已经完成了作图步骤①．(1)用尺规完成作图步骤②；(2)连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD(3)求证：直线AD为⊙O【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题意完成作图即可；（2）由作图可知，AC=AD,（3）连接OA,OB，根据BC=AB推出OB⊥【详解】（1）解：如图：直线AD即为所求；（2）证明：由作图可知，AC=在△ABC和△AC=∴△ABC∴∠BAC∴AB平分∠CAD（3）证明：连接OA,由（2）可得：BC=∴点B为AC中点，∴OB平分AC，∴OB⊥∴∠OBA∵OA=∴∠OBA∵∠BAC∴∠OAB+∠BAD∴直线AD为⊙O【点睛】本题主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，解题的关键是掌握在同圆中，半径都相等；全等三角形对应角相等；经过半径外端且垂直于半径的直线与圆相切．【变式10-1】（2023·福建福州·统考三模）如图，已知⊙O及圆外一点P，请你利用尺规作⊙的切线PA．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析【分析】作OP的垂直平分线，交OP于O′，以O′为圆心，O′P为半径画圆，交⊙O于A、A′，根据直径所对的圆周角等于90°可得OA⊥PA，OA′⊥PA′，根据切线的判定定理可得PA、PA′是⊙O的切线.【详解】如图，作OP的垂直平分线，交OP于O′，以O′为圆心，O′P为半径画圆，交⊙O于A、A′，∴∠OAP=90°，∠OA′P=90°，∴PA、PA′是⊙O的切线，∴PA和PA′即为所作，

【点睛】此题综合考查切线的性质及圆周角定理，能够结合切线的性质定理和圆周角定理的推论分析出切点的位置是解题关键.【变式10-2】（2023·湖北·校联考三模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交CA于D点，O是BC上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、(1)用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：CA与⊙O(3)当BD=23，∠ABD【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）作BD的垂直平分线交BC于O，以CO为半径画圆O分别交BC、BA于点E、F，则⊙O（2）连接OD，得到OD=OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBD=∠ODB（3）连接DE，根据圆周角定理得到∠BDE=90°，根据三角形的内角和得到∠BOD【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：连接OD，则OD=∴∠OBD∵∠OBD∴∠ODB∴OD∵∠A∴∠ODA即AC⊥∴AC与⊙（3）如图，连接DE，∵BE是⊙∴∠BDE∵∠OBD∴∠BOD在Rt△BDE中，∴⊙O的半径=2∴劣弧BD的长=120【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，平行线的判定，基本作图，作出辅助线构造直角三角形是解本题的关键．【变式10-3】（2023·山东·统考中考真题）如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4【分析】（1）过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明RtΔPAO≅RtΔPCO，然后根据切线的判定方法判断PB、PC为（3）先证明ΔOAC为等边三角形得到OA=AC=23，∠AOC=60°，再计算出AP=2【详解】（1）如图，（2）已知：如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC=30°，AC=23，过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以求证：PB、PC为⊙O证明：∵∠BPD=120°，∴∠PCA∴PA连接OP，∵OA⊥PA，∴∠PAO∵OP=∴∴OA∴PB、PC为⊙（3）∵∠OAP∴ΔOAC∴OA=AC∵OP平分∠APC∴∠APO∴AP∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积=S四边形APCO-S【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和扇形面积公式．【题型11应用切线长定理求解或证明】【例11】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC＝45，以AB为直径作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x个单位，得到⊙O′，A'B'为直径AB(1)当x＝0，且M为⊙O上一点时，求DM的最大值；(2)当B′与C重合时，设⊙O′与CD相交于点N，求点N到AB的距离；(3)当⊙O′与CD相切时，直接写出x的值．【答案】(1)4(2)154(3)2或12．【分析】（1）当x＝0，连接DO并延长交⊙O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DE⊥BC于E，易证四边形ABED是矩形，可得AB＝DE，AD＝BE＝4，解Rt△DEC求出DE＝8，CD＝10，可得⊙O的半径为4，利用勾股定理求出OD，即可得到DM的最大值；（2）当B'与C重合时，⊙O'与CD相交于点N，则⊙O向右平移了10个单位长度，连接OO'，则OO'=10，连接A'N，过点N作NF⊥A'B'（3）当⊙O'与CD相切，在CD的左边时，设切点为P，如图，则A'B'ED是矩形，A'D、CD、B'C都是⊙O'的切线，根据切线长定理可得A'D=PD，【详解】（1）解：如图，当x＝0，连接DO并延长交⊙O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DE⊥BC于E，∵∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴AB＝DE，AD＝BE＝4，∴EC＝BC－BE＝10－4＝6，∵在Rt△DEC中，sinC＝DECD∴设DE＝4k，CD＝5k（k＞0），由勾股定理得：EC2+整理得：k2∵k＞0，∴k=2∴DE＝4k＝8，CD＝5k＝10，∴AB＝DE＝8，∴OA＝OB＝4，∴OD＝42∴DM=42即DM的最大值为42（2）当B'与C重合时，⊙O'与CD相交于点N，则⊙O向右平移了10个单位长度，连接OO'，则OO'=10，连接A'N，过点在Rt△CDE中，sin∠CDE=∵A'∴∠A在Rt△A'B'∵sin∠A'∴A'N=∵S△∴NF=∴点N到AB的距离为OO（3）当⊙O'与CD相切，在CD的左边时，设切点为P，如图，则A'B'ED是矩形，A'∴A'D=∵AA∴A'D=4-∵CD=∴10=4-x解得：x=2当⊙O'与CD相切，在CD的右边时，设切点为Q，如图，则ABB'A'是矩形，A'∴A'D=∵AA∴A'D=∵CD=∴10=x解得：x=12综上，当⊙O′与CD相切时，x的值为2或12，故答案为：2或12．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系，平移的性质，圆周角定理，切线的性质以及切线长定理等知识，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．【变式11-1】（2023·山东威海·统考一模）如图，⊙O的直径AB=12，AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，交BN于C，设AD=x(1)求证：AB(2)求y与x的函数关系式；(3)若x，y是方程2x2-【答案】(1)证明见解析．(2)y(3)45【分析】（1）连接OD、OE、OC，证明全等三角形，根据全等的性质得出∠AOD=∠DOE（2）根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则（3）由（2）得xy=36，根据根与系数的关系得a的值，再通过解一元二次方程求得x、y的值，再根据AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，得到OE⊥CD，AD=DE【详解】（1）证明：连接OD、OE、OC．∵AD,BC,DC与⊙O相切于∴在△OAD和△∵∴△∴∠同理可得：△∴∠∴∠∴∠∴在Rt△∵∠AOD+∠∴∠∵∴∴∴∵AO=OB=∴∴（2）作DF⊥BN交BC于∵AM,AN与⊙O切于∴∵∴∠∴四边形ABFD是矩形．∴∵∴∵DE切⊙O∴则DC在Rt△x整理得：y∴y与x的函数关系是：（3）连接OD、OE、OC∵y与x的函数关系是：∴∵x,y∴xy=∴原方程为：x∵解得：x=3y∵∴∵AD,BC∴∴∴【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线长定理、韦达定理、解一元二次方程、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定等，解决问题的关键在于正确添加辅助线．【变式11-2】（2023·北京石景山·统考二模）如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD分别切⊙O于点B，D（1）求证：AB//（2）连接PA，若PA=22，tan∠【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）连接OB、BD，则OB=OD，根据切线长定理PD=PB，则OP垂直平分BD，根据AD为圆的直径，可得AB⊥BD，从而可得结论；（2）由∠BAD=∠COD，OD⊥BD，得PD=2OD，从而得PD=AD，故可求得AD，在直角△PDO中，由勾股定理可求得PO【详解】（1）如图，分别连接BD、OB∵PB，PD分别切⊙O于点B，D∴PB=∵OB=OD，∴PO垂直平分线段BD，即PO⊥BD．∵AD为⊙O∴AB⊥BD∴AB//（2）由（1）AB//∴∠BAD∵PD切⊙O于点D∴PD⊥∴tan∠即PD=2OD．∵AD=2∴AD=在Rt△PDA中，∠PDA∴AD=∴OC=在Rt△PDO中，∠PDO=90°，∴PO=∴PC=【点睛】本题主要考查了切线长定理，线段垂直平分线的判定定理，切线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解答本题的关键是等角正切值的转换即∠BAD的正切值转换为∠POD的正切值，从而得出PD=2OD=【变式11-3】（2023·广东中山·统考三模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C为圆上任意一点，过点C作圆的切线，分别与过A，B两点的切线交于P，

(1)求CP⋅(2)如图，连接PB，AQ交于点M，证明直线MC⊥

【答案】(1)1(2)见解析【分析】（1）根据切线长定理可证明OP，OQ分别是∠AOC，∠BOC的平分线，结合平角定义可证明∠POQ=90°，利用余角的性质可证明∠OPC（2）先证明△MBQ∽△MPA，得出MPMB=PABQ，由切线长定理得出PC=PA，QC【详解】（1）解∶如图，连接OP，OQ，OC．

∵AP，BQ，PQ是⊙O∴OP，OQ分别是∠AOC，∠∵∠AOC∴2∠POC∴∠POQ=90°，即∴∠POC∵PQ是⊙O∴OC⊥∴∠POC∴∠OPC又∠PCO∴△OCP∴OCPC即OC∴CP⋅（2）证明：∵AP，BQ，PQ是⊙O∴AP⊥AB，BQ⊥AB，∴AP∥∴△MBQ∴MPMB又∵PC=PA，∴MPMB=又∠MPC∴△PMC∴∠PMC∴MC∥又BQ⊥∴MC⊥【点睛】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．【题型12由外心的位置判断三角形形状】【例12】（2023·江苏无锡·模拟预测）下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断．【详解】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误；（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确；（4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．【变式12-1】（2023·浙江温州·模拟预测）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握外心的形成和性质是本题突破的关键，根据外心的形成和性质直接判断即可．【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于90°，那么这个三角形一定是钝角三角形，故选：C．【变式12-2】（2023·河北沧州·模拟预测）当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】根据内心和外心的概念，三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边的垂直平分线的交点；再根据等边三角形中三线合一性质，所以一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是等边三角形．【详解】解：根据等边三角形的性质可知，一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是等边三角形．故选：D．【点睛】本题考查三角形的内心、外心的相关知识，熟悉相关性质是解题的关键．【变式12-3】（2023·广西玉林·统考中考真题）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来【答案】△ADC、△BDC、△ABD【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解．【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：12则外接圆半径r=图中D点到O点距离为：12图中E点到O点距离为：12则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，故答案为：△ADC、△ADB、△BDC．【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键．【题型13求三角形外接圆的半径、外心坐标】【例13】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO

(1)求证：∠BAC(2)若AD:DC=2:3，BC【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）连接AO，得到OA=OB，进而得到（2）延长AO交BC于点H，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，得到△BDC∽△EAD，△【详解】（1）连接AO，∵AO=∴∠OBA又∵O为△ABC∴AO垂直平分BC，又∵AB=∴∠BAO∴∠BAC（2）解：延长AO交BC于点H，则：AH⊥BC,BH=12BC=

∵AE∥∴△BDC∽△EAD∴AEBC=AD∴AOOH设OA=在Rt△BOH中：BO解得：x=1∴OA=即：⊙O的半径为4【点睛】本题考查三角形的外接圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的外接圆的圆心是三边中垂线的交点，构造相似三角形，是解题的关键．【变式13-1】（2023·江苏南京·统考一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．【答案】（1）52；（2）12【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB；（2）连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案．【详解】解：（1）如图1，连接OB、OC，∵BD＝6，DC＝4，∴BC＝10，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴OB＝22BC＝52（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴BF＝FC＝5，∴DF＝1，∵∠BOC＝90°，BF＝FC，∴OF＝12BC＝5∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，∴四边形OFDE为矩形，∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，在Rt△AOE中，AE＝0A2-∴AD＝AE+DE＝12．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．【变式13-2】（2023·浙江温州·校考一模）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点(1)利用网格确定△ABC的外接圆的圆心坐标为______(2)作出△ABC(3)利用直尺作出∠ACB【答案】(1)(0,-1)(2)图见解析(3)图见解析【分析】（1）利用网格特点作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为P点，则P点为△ABC的外接圆的圆心，然后写出P点坐标；（2）以点P为圆心，PA长为半径作⊙P即可；（3）找到⊙P与y轴的交点D，用直线作射线CD即可．【详解】（1）解：利用网格特点作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为P点，∵A(-1,1)，∴P(0,-1)∴△ABC的外接圆的圆心坐标为(0,-1)；故答案为(0,-1)；（2）解：作AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点为P，连结PB，以点P为圆心，PB为半径作圆，如图，⊙P为所作△ABC的外接圆；（3）解：如图，CD为所作．由（1）可知，点P在y轴上，⊙P与y轴的交点D，∴OP⊥AB，∴AD=∴∠ACD=∠BCD，∴CD是∠ACB的平分线．【点睛】本题考查利用网格作线段垂直平分线，画角平分线，点的作标，三角形外接圆，垂径定理，圆周角定理，利用三角形外心的定义找三角形外接圆的圆心是解题的关键．【变式13-3】（2023·山东济宁·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为(1)以原点O为位似中心，位似比为2:1，在y轴的左侧画出△ABC放大后的△(2)在（1）中，若点Mm,n为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M(3)直接写出△A1B1C【答案】(1)见解析(2)M(3)-【分析】（1）根据以原点O为位似中心的坐标变换规律，把点A，B，C的横纵坐标都乘以2即可得到点A1，B1，C1（2）根据以原点O为位似中心的坐标变换规律，把点Mm,n的横纵坐标都乘以2（3）首先得到A1B1【详解】（1）解：根据以原点O为位似中心的坐标变换规律可得点A1，B1，C1的坐标分别为：A1-（2）解：根据位似比和以原点O为位似中心的坐标变换规律可得，点M'的坐标为M（3）解：如图所示，由网格的特点可得，∠A∵△A∴A1∴A1B1∴点D的坐标为-3,5【点睛】本题考查了作图—位似变换，位似比，三角形外接圆等知识点，解答本题的关键是会利用位似中心和位似比作图并利用点的坐标求出线段长．【题型14由三角形的内切圆求值】【例14】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M3,1，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA=MB，若⊙O1是△ABO的内切圆，⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与【答案】3【分析】连接OO1、AO1、BO1，作O1D⊥OB于D，O1E⊥AB于E【详解】解：如图所示，连接OO1、AO1、BO1，作O1D⊥OB于D则O1过点M作MC⊥x轴于∴MC∥∵M3,1，MA=MB，即点∴点C是OA的中点，MC是△ABO∴BO=2OA=2∴B0,2，A23∴S△S△S△S△∵S△∴r1同理可得：r2=3-1∴rn依此类推可得：⊙O2023的半径故答案为：3-【点睛】本题考查三角形的内切圆，勾股定理，三角形的中位线，规律型．根据题意列出等式，适当地对图形进行分解，总结出规律是解题的关键．【变式14-1】（2023·福建泉州·模拟预测）作图题：如图，在矩形ABCD中，已知AD=10，AB(1)用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED(2)求△CDE内切圆半径r【答案】(1)见解析(2)r【分析】（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于E，连接BE，CE，则EC平分∠（2）先分别利用勾股定理求得AE、CE，然后利用三角形内切圆的性质列方程即可求解．【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求．（2）解：由（1）作图可知，BE=∴在Rt△ABE中，∴DE=∴在Rt△CDE∵△CDE内切圆半径为r∴△CDE内切圆的圆心到△CDE的三边的距离都为半径∴S△即12解得r=4-【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质、三角形内切圆的性质．【变式14-2】（2023·山东淄博·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠A=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD⋅BC=AC⋅CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点（1）求证：AC是⊙E（2）若AF=4，CG=5，求（3）在（2）的条件下，若RtΔABC的内切圆圆心为I，直接写出IE【答案】（1）见解析；（2）20；（3）130【分析】（1）利用相似三角形的判定定理得到ΔCDE∽ΔCAB，从而得到∠EDC=∠A=90°，根据切线的判定定理证明；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，得出四边形ADEH为矩形，设半径为r，得出BH=r-【详解】（1）证明：∵CD⋅∴CDCA∵∠DCE∴ΔCDE∽∴∠∴ED⊥又∵点D在⊙O∴AC与⊙E相切于点D（2）过点E作EH⊥AB，垂足为∴BH＝在四边形AHED中，∠AHE∴四边形AHED为矩形，∴ED=HA，∴∠B设⊙O的半径为r，则EB∴BH=FH=在ΔBHE和ΔEDC中，∵∠B=∠DEC∴ΔBHE∽∴BHED=BE∴r=20即⊙E的半径为20（3）如图2：过I作IM⊥BC于M，过I作IH由（2）得：FH∴AC∵I是ΔABC的内心∵S即36×27×12∴AH=∴EM∴IE【点睛】这是一道圆的综合题目，有一定的难度．注意构造辅助线与垂径定理、相似三角形的应用；同时掌握三角形的面积与三角形内切圆的半径关系是解决第（3）问的关键．【变式14-3】（2014·江苏南京·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆，(1)求⊙O的半径；(2)点P从点B沿边BA向点A以点1cm/s的速度匀速运动，以点P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为ts，若⊙P与⊙O相切，求t的值．【答案】(1)1cm(2)t=2【分析】（1）设⊙O与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，连接OD，OE，OF，根据切线的性质证明四边形CEOF是正方形，由勾股定理求AB的长，把AD，BD用半径r的代数式表示，从而根据AB=（2）为⊙P与⊙O外切和⊙P与⊙O内切两种情况讨论即可．【详解】（1）解：如图，设⊙O与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，连接OD，OE，OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CF，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°，又∵∠C=90°，∴四边形CEOF是矩形，又∵OE=OF，∴四边形CEOF是正方形，设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=∵AD=∴4-r+3-r=5∴⊙O的半径为1cm；（2）解：如图，过点P作PG⊥BC于点G，∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC，∴△PBG∽△ABC，∴PGAC又∵BP=t，∴PG=如图，当⊙P与⊙O外切时，过点P作PH⊥OE于点H，连接OP，则OP=1+t，∵∠PHE=∠