线段的垂直平分线（一）学案-2025湘教版数学八年级上册

第4章三角形

4.6线段的垂直平分线（1）

►学习目标与重难点

学习目标：

1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达.

2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。

3.体会“性质”与“判定”的互逆关系，培养逆向思维。

学习重点：

线段垂直平分线的性质定理及逆定理的理解与应用。

学习难点：

区分“性质”与“判定”的逻辑方向，并在复杂情境中识别或构造垂直平分线。

►学习过程

一、复习回顾

回顾：轴对称的性质是什么？

填空：aABC与4DEF关于直线/对称，点A的对应点为,

点B的对应点为,点D的对应点为,由轴对称的性质可

知线段AD、BE、CF被直线I.

二、探究新知

探究：线段的垂直平分线的性质定理

教材第137页

【定义】线段的垂直平分线的概念:

思考；

甲乙两位同学在玩一个游戏，甲在点A处，乙在点B处，把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段

AB的中点外还有别的地方吗？

你的猜想：

【探究】如图，在线段AB的垂直平分线/上任取一点P（点P不在线段AB上）,连接PA,PB,则

线段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出什么结论？

【归纳】线段垂直平分线的性质定理:

探究二：线段垂直平分线的性质定理的逆定理

【说一说】线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么？

【思考】线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题吗？

【归纳】线段垂直平分线的性质定理的逆定理:

三、例题精讲

例1如图，在△ABC中，AB,BC的垂直平分线相交于点O,连接OA,OB,OC.

求证：点0在AC的垂直平分线上.

四、课堂练习

【知识技能类作业】

必做题

1.如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，4APC=50。，则匕B=（）

2.已知下列命题：①两点之间线段最短；②全等三角形的对应边相等；③底角相等的两个等腰三

角形全等；④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.其中真命题的个数为（）个.

A.1B.2C.3D.4

3.如图，在等边三角形48c中，AD1BC,垂足为点。，点£在线段40上，Z-EBC=45°,则/4CE等

于（）

选做题

4.如图，在△ABC中，AB=AC,々1=30。，48的垂直平分浅［交力C于点D,则/C8D=

A

5.如图，8c的垂直平分线分别交45、BC于点D和点E,连接CO/C=DJB=25°,则乙47。的度

数是.

6.如图，在R£△力BC中，44cB=90。，D,E是边48上两点，且CE所在的直线垂直平分线段力8

CD平分/BCE,AC=10,则BD的长是.

【综合拓展类作业】

7.如图，ZX/IBC中，AB=AC,=36°,4c的垂直平分线交4B于点E,交AC于点D,连接EC.

(1)求4EC8的度数；

(2)若CE=4,求BC长.

五、课堂小结

这节课你收获了什么，在解题过程中须注意什么？

六、作业布置

1.如图，在△A8C中，AB=AC,△4=120°,BC=6cm,的垂直平分线交BC于点M,交AB于点

E,月C的垂直平分线交8c于点N,交AC于点F,则MN的长为()

A.4cmR.3cmC.2cmD.1cm

2.如图，在△ABC中，48的垂直平分线分别交AB、BC于点、D、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC

于点F、G.若，8RC=a,则zEAG的度数是()

A.1800-aB.?C.2180。D.90°-?

3.如图，在△/8C中，AB=AC,匕8=36。，AC的垂直平分线分别交AC,BC于D,E两点,F是BE

上一点，且FE=CE,连接4E,AF.则下列说法正确的是①瓦4=EF；②N8=24凡4&(3)

AC=BE.()

A.①②B.①③C.②@D.①②③

4.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC,交力B于M、N两点，DM与EN相交于点F.

(1)若△CMN的周长为15cm,求A8的长;

(2)若/MFN=80。，求乙MCN的度数.

答案解析

课堂练习：

1.【答案】A

【解析】解：••,直线PC是线段AB的垂直平分线，

Z.PC1AB,PA=PB,

Az.B=Z.A,Z.PCA=90°,

VzAPC=50°,

/.zB=zA=90°-ZAPC=4O°,

故答案为：A

2.【答案】C

【解析】解：①两点之间线段最短，该项正确；

②全等三角形的对应边相等，该项正确；

③底角和相等的两个等腰三角形全等，该项错误；

④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，该项正确:

综上所述，其中真命题个数为三个，

故答案为：C.

3.【答案】A

【解析】解：•••△力"是等边三角形，

AAB=AC,ZABC=ZACB=6O°,

■:ADIBC,

ABE=CE,

，乙ECB=Z_E8C=45°,

.*.ZABC-ZEBC=ZACB-ZECB=6()°-45O=15°,

BPzABE=zACE=15°

故答案为：A.

4.【答案】45°.

【解析】解：•••AB的垂直平分线交AC于D,

•••AD=BD,

:.(ABD=Z.A=30°,

*：AB=AC,=30°,

“ABC=Z-ACB=75°,

Z.CBD=Z-ABC-LABD=75°-30°=45°.

故答案为：45°.

5.【答案】80。.

【解析】解：・・・DE垂直平分8C,

：.CD=BD,

:,乙BCD=Z.B=25°,

：./.ADC=Z/?+乙BCD=50°,

'：AC=DC,

・•・乙力=LADC=50°,

：./.ACD=180。一(44+LADC)=80°.

故答案为：80。.

6.【答案】10.

【解析】解：•・•(:£是线段的垂直平分线，

：,CA=CD,又

：.Z.ACE=^DCE,

,・S平分Z_BCE,

J.Z-DCB=乙DCE,

：.Z-ACE=Z-DCE=乙DCB=30",

:.△AC。为等边三角形，

：.LA=60°,

=30°,

Z-B=Z.DCB,

：.BD=CD=AC=10,

故答案为：1().

7.【答案】(1)解：:DE是AC的垂直平分线，，EC=E4

：,^ECD=£A=36°.

*：AB=AC,/A=36°,

"B=Z.ACB=18。76。=72。，

"ECB=^LACB-Z-ACE=72°-36°=36°

(2)解：由(1)得4EC。=36°.48=72°.•.•48£'。是44£>(7的外角，

••・48EC=360+360=72。，

J.Z.BEC=Z.B,

：,BC=CE=4

作业布置：

1.【答案】C

【解析】解：连接力M,AN.

•・N8的垂直平分线交8C于M,交48于E,4c的垂直平分线交8。于N,交九•于F,

:・BM=AM,CN=AN,

J.z-MAB=Z.B,乙CAN=£C.

*：AB=AC,LA=120°,

.*.zF=zf=30°,

：.Z.BAM+Z.CAN=60°,2AMN=乙ANM=60°,

:.△4MN是等边三角形，

•'•AM=AN=MN,

；・BM=MN=NC.

“：BC=6cm,

:.MN=2cm.

故选：C.

2.【答案】C

【解析】解：-：^BAC=a,

・38+zC=180。-a,

•••DE是A8的垂直平分线，

：,EA=EB,

*.Z-EAB=乙B,

YGr是AC的垂直平分线，

：,GA=GC,

,\z.GAC=乙C,

J./-EAB+Z-GAC=zB+4C=180°-a,

：.^EAG=^BAC-{LEAB+4GAC)=a-(180°-a)=2a-lE0°,

故答案为：C.

3.【答案】D

【解析】解：・・・48=/1。，48二36。，

=ZC=36°,

[DE垂直平分AC,

：.CE=AE,

•:FE=CE,

・・・EA=",故①正确，符合题意：

*：CE=AE,

：^C=乙CAE=36°,

：.^AEF=ZC+Z.CAE=72°,

：.^LBAE=180。一乙B—4BEA=180°-36°-72°=72°,

：,AB=BE,

.\AC=BE,故③正确，符合题意；

*：EA=EF,

：./.EAF=Z-EFA=54",

：./-FAB=Z.EFA-/.B=54°-36°=18°,

・・・乙8=24何48,故②正确，符合题意：

综上可知：①②③正确，

故答案为：D.

4.【答案】(1)解：•・•△CMN的周长为15cm,・・.CM+MN+CN=15,

「DM、EN分别垂直平分和BC,

：.MA=MCtNB=NC,

：.AB=AM+MN+NB=CM+MN+CN=15(c