湘教版（新课标）必修第一册 第二章

湘教版（新课标）必修第一册第二章

一、单选题

1.如果Q<b<0,那么下列不等式一定成立的是（）

11

-<-

A.a+c>b+cB.a2b<b2C.—ab<—a2D.Qb

2.若x>3,则y=4x+3的最小值是（）

A.4V10+12B.4V10-12C.16D.17

3.如果a,瓦c,deR,则正确的是（）

11

贝d

u-<-若则叱加

A.若a>b,QbB.a>b,2>2

C.若a>b,则出,再D.若a>b,c>d,则ac>bd

4.若a,b是正数，则“ac>bcn是“a>bn的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.若a>L则Q+'7的最小值是（）

a-i

A.2B.aC.等D.3

Q-l

6.关于不的一元二次不等式7n/-2mx-1<。恒成立，则实数m的取值范围为（）

A.(-co,0]C.[-1,0)D.[-1,0]

7.若负实数£满足：对于任意aW[-4,t],总存在瓦cW[-4,t],使得ab+c=l,则£的范围是（）

A.卜4,-*5_1

B.4,-3.D.[-75,-4]

8.若a>b>0,则下列不等式一定成立的是（）

A、

A.-b>—b+1r.l>blc.a称D•瑞*

aa+1Ba++

9.若不等式24/+心:-】<0对一切实数》都成立，则k的取值范围为（）

O

A.-3</c<0B.-3</c<0C.-3</c<0D.-3</c<0

10.已知m>0,xy>0,当％+y=2时，不等式2+巴之4恒成立，则m的取值范围是（）

xy

A.\m\m>B.{m\m>2}

C.{m|0<m<D.{m|0<m<2}

11.若正支数十,y满足％+2y=4,不等式徵2+>2+二■有解，则m的取值范围是（）

•5XV•1

44

A.(-p)B.(-co,--)U(1,4-co)

4

c.(-W)D.(-co,-l)U(-,4-co)

二、多选题

12.下列命题为真命题的是()

A.若a>b>0,则ac?>be2B.若a<bV0,则a2>ab>b2

C.若a>b>0且c<0,则*>/D.若a>b且!>p则ab<0

13.下列说法正确的是()

A.若a>b,c>d,则a+c>6+dB.若a>b,c>d,则ac>bd.

若则2D.若Q>匕>0,cV0,贝lj£>7

C.a<CQC2<beab

14.已知x>0,y>0,%+y=2,则()

A.xy最小值为1B.x2+yz最小值为2

C.|x-l|>|y-l|D.2X+2y最小值为4

15.设Q>b,c<0,则下列结论王确的是(

cc

A.-a>rbB.ac<be

三、填空题

16.设>>0,y>0,x+2y=4,则(x+D(2y+D的最小值为________.

xy

2

17.已知关于工的不等式一/+4x>a-3a在R上有解，则实数Q的取值范围是

18.若%>1,则x的最小值是___.

X-1

19.已知a,b6/?+»a+2b=1,则-+匚彳的最小值为.

a+2b+1

四、解答题

20.

已知关于无的不等式加遥-3x+2>0的解集为｛为[戈<1或x>b](b>1).

(1)求a,b的值；

(2)当x>0,y>0,且满足2+2=1时，有2无+y工好+k+2恒成立，求々的取值范围.

xy

21.

已知关于％的不等式a/+3x+2>0(aeR).

(1)若ax?+3%+2>。的解集为｛工他<x<1),求实数a,b的值:

(2)求关于x的不等式Q%2-3x+2>QX-1的解集.

22.

通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当a>0,b>0时有竽>■(当且仅当Q=b

时不等式取“二").我们称竽为正数a,b的算术平均数，，前为它们的几何平均数，两个正数的算术平均

数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由

C/iMyc/ie〃在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的

•个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：

n个正数%,小，V..•U的算术平均数勺孙不小于它们的儿何平均数逃不不冷…马，且当与，无2,

x3这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等.

(1)写出71=3时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件(无需证明)：

(2)利用你写出的式子，求y=；t十白(尤>0)的最小值；

(3)如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无

盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

23.

己知函数/(%)=2x2-2ax+2-a2,g(x)=x2+3x—a2—4(a6R).

(1)当a=1时，解不等式/'(X)>5(x)：

(2)若对任意x>0,都有/(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；

(3)若对V/£[0,1],女2£[0,1],使得不等式f(石)>g(Q)成立，求实数Q的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】对于4,QVbV0,

•••由不等式的可加性可得，a+c<b+c,故A错误，

对于8,va<Z?<0,

Aa—b<0,a+b<0,

:.a2b—b3=b(a2—b2)=b(a—b)(a4-b)<0,^a2b<b3,故8正确，

对于C,令Q=—3>b=—2,满足Q<b<0,但—ab>—a?,故C错误，

对十。，令a=—3,匕=—2,满足Q<b<0,但;>q,故。错误.

故选：B.

2.【答案】C

【解析】vy=4(x-3)+^+12(%>3),

y=4(x-3)+^+12>2J4(x—3)X3+12=2/4+12=16,

当且仅当4(%—3)=」，即％时取等号，

O4a

y=4x+一二的最小值是16.

故选：C.

3.【答案】C

【解析】取Q=l,b=—1,则工故4错误；

ab

取c=0,贝lac?=be2,故B错误；

由于a>b,所以熹一高=翳>°’则京〉卷故。正确；

取a=2,6=—l,c=0,d=—2,则ac=0,bd=2,QCV匕d,故。错误；

故选：C.

4.【答案】D

【解析】当c<0,"ac>be”不能得出“a>b”；

当c>0,"ac>be”能得出“a>当；

由千c的取值不确定，所以“ac>bc”是"a>b”的既不充分也不必要条件.

5.【答案】D

【解析】由题意，得Q+^ua-l+^+lAzka-Dx^+luB,

Q—lQ-1yja-1

当且仅当Q=1时，取等号，

故G+—=的最小值为3.

a—1

故选。.

6.【答案】C

【解析】因为不等式为一元二次不等式，所以mHO,

若一元二次不等式-2mx-1<0恒成立，

则{4=4黑;;m4O,可得一1工机<°’此时不等式恒成立•

故选：C

7.【答案】R

【解析】解：由题可知:对于任意aw[-4,£],总存在瓦CW[-4,订，使得a=平,

所以a的取值范围是牛的子集即可，

0

因为t<0,

(一44t0(-4_4<r—T<t51

所以晨平北n{f_44<«£g

故t的范围是卜右一目.

故选：B.

8.【答案】C

【解析】对于4因为Q>b>0,故也一空二生a<。，即空，故A错误;

aa+1a(a+l)aQ+1

对于B,a+i-(d+1)=(a-b)(l-^),无法判断，故6错误;

对于C,因为Q>h>0,a—:—|b—怖)=(Q—b)(1+>0,故C正确;

对干D,因为a>b>。，故鬻-户器繇<0,即鬻4故。错误.

故选C.

9.【答案】D

【解析】2kx2+kx~1<0对一切实数x都成立，

O

①k=o时，一]<0恒成立，

O

②值丽，{鼠%+3k〈0，

解可得，-3VAV0

综上可得，一3〈攵工0

故选D.

1（）.【答案】B

【解析】m>0,xy>0,x+y=2,

2m12m12ymx

••汽+歹=2（zx+y）、+歹）=2（zm+2+彳+7）

12ymx

>2（m+2+2j—.—）

二十2十2/1记），当且仅当a=职时取等号，

,••不等式:+y>4恒成立，；.“TN+2+2V2m）>4,

整理得（，记+3/1）（，而一，^）30,解得，记2/1,即mN2,

•••m的取值范围为>2}.

故选:B.

11.【答案】B

【解析】由介册=11+册出+2（y+D]

=篙[4+4(y+DX

X+y+J

>1X[4+2J1(Z±1)

,向二9

当且仅当曳乎二帚，

即x=3,y=1时等号成立，

要使不等式m2+>2+=有解，

3xy+1

只需血2+(血>：,

OO

即3m2十7n—4=(3m+4)(m-1)>0,

所以mW(—8,—U(1,4-co).

故选：B.

12.【答案】BCD

【解析】4当c=0时,不等式de?>加2不成立,故4是假命题;

222

B.若Q<bV0,贝ijab〉/,a>ab,a>ab>bf故B是真命题；

C.若Q>b>0,则也V/，cV二瑞〉故C是真命题；

D由a>b且工>:，可知a>0,b<0,.­.ab<0,故。为真命题.

故选BCD.

13.【答案】AD

【解析】对于力选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确；

对于8选项，例如：a=0,b=-1,c=-2,d=-4,

0>—1,-2>—4,但是0x(—2)<—1x(—4),所以3错误；

对于C选项，当C=0时，QC2=加2,所以。错误；

对干。选项，因为Q>匕>0,所以o<工<；,又c<o,所以£>[,所以。正确.

aaab

故选：AD.

14.【答案】BD

【解析】解：选项A：因为％>0,y>0,x4-y=2,

所以孙《(等了=1,

当且仅当x=y=l时取等号，故孙的最大值为1,而非最小值，4错误；

选项8：%24-y2=(x+y)2-2xy=4-2xy,

因xy41,故4—Zxy>4—2x1=2,

当且仅当x=y=l时取等号，B正确；

选项C,由x+y=2,得％=2-y,

则卜-1|=|(2-y)-1|=|1->'|=\y-1|,C错误;

选项。，因为％>0,y>0,x+y=2,

所以2、+2y>2V2XXiy=2V2x+y=2"=4,

当且仅当2、=2匕即x=y=l时取等号，。正确.

故选BD.

15.【答案】BD

11Cc

有

即Sd

a>o>->-Cy-<-

【解析】对于选项A,当a,b异号时,b,abQb

对于选项8,因为a>b,c<0,所以ac<be,故8正确；

对于选项C,令a=2,b=l,c=-1PBJ-=I，—=所以故C错误；

a2a—c3aa—c

对于选项。，因为C2>0,a>b,所以碇2>儿2,故。正确.

故选BD.

16.【答案】?

【解析】x>0，y>0,x+2y=4,

则(x+l)(2y+l)_2xy+x+2y+l_2盯+5=2+3，

、xyxyxyxy，

由基本不等式有：4=x+2y>2yj2xy,

*,■0<xJy<2,—xy>2

故：2+捻"+|/

(当且仅当x=2y=2,即：x=2,y=l时，等号成立)，

故(x+l)(2y+l)的最小值为:

xy2

故答案为去

17.【答案】{a|-l工。44}

【解析】因为关于x的不等式一-4x>a2-3a在R上有解，y=-x24-4x=-(x-2)24-4的最大值为4,

所以a?-3a<4,解得一1<a<4.

18.【答案】3

【解析】VX>1,

r+去="-1+六.六+1=3,

当且仅当x-1=<即x=2时取等号，

•••x=2时％+去取得最小值3,

故答案为：3.

19.【答案】I

【解析】因为Q+2b=1,

所以(a+2)+(2b+2)=5,

所以总+备=(焉+Kl)•妇+=安+曙+管)二(4+4)=?当且仅当一助同时

取等号.

20.【解析】(1)方法一：因为不等式。/-3%+2>0的解集为｛幻％<1或%>匕｝,

所以1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根且a>0,

所以卜+8=2"解得1：二]：

[1.力=(3=2

方法二：因为不等式Q--3%+2>0的解集为｛x\x<1或%>8｝,

所以1和b是方程Q/-3x+2>0的两个实数根且Q>0,

由1是a/-3x+2=0的根，有Q-3+2=0=Q=1,

将Q=1代入ax2-3x+2>0,

得工2-3%+2>0=%<1或%>2,

•••b=2；

(2)由(1)知于是有

故2x+y=(2%+y)G+$=4+(+幸工4+2-/4=8,

当且仅当时，等号成立，

依题意有(2x+y)min>k2+k+2,即82d+4+2,

得/+上一6工0=-3人工2,

所以k的取值范围为[-3,2].

21•【解析】(1)当a<0时，

因为Q/+3%+2>0的解集为｛Rb<x<1｝,

所以方程a/+3%+2=0的两个根为瓦l(b<1),

(b+l=~~(a=—5

由根与系数关系得：1？〃2,经验证，符合题意.

［外1岩1/?=-5

(2)ax2—3%+2>QX—1=ax2—(a+3)x+3>0=(ax—3)(%—1)>0,

当G=0时，不等式x—l<0,不等式的解集为卜|无<1｝；

当GV0时，不等式化为卜一号。-1)V0,不等式的解集为卜得<%V1｝；

当G>0时，方程(。无一3)(%-1)=0的两个根分别为：1,1.

①@=3时，=1,故不等式的解集为｛X|xW1｝；

②a>3时，:<1，不等式的解集为｛%|尤<:或>1｝;

③0<Q<3时，(>1,不等式的解集为卜氏VI或x>

综上所述：当a=0时，不等式的解集为｛后％V1｝：

当GV0时，不等式的解集为①(VXV1｝;

当a=3时,不等式的解集为｛%|%*1)；

当a>3时，不等式的解集为｛x|x<\她>1｝；

当0<a<3时，，不等式的解集为卜氏<1她>1.

22.【解析】(1)由题意，当n=3时，若a>0,b>0,c>0,可得殳普N超反，

即算术平均数与几何平均数的关系为号上N麻，当且仅当Q=b=C时，等号成立.

(2)x>0时，y=x+^=i%4-ix+^>3x*.呆隹=3,

当且仅当"无二妥时，即工=2时，等号成立，此时函数取得最小值为3.

(3)设小正方形的边长为之,则盒子高为九=为，底边边长为6-2x,

可得盒子的容积为V=(6—2x)2/,其中0<%<3,

则炉=(6-2x)2.X=i-4%"(6-2x)2<i­(4x+6—2