因式分解（知识+8大题型+分层检测）原卷版-2025-2026学年八年级数学上册（人教版）

因式分解（必备知识+8大题型+分层检测）

工区

单元目标聚焦•明核心

1.了解因式分解的意义，体会其与整式乘法的互逆联系，明确因式分解需分解至每一个因式不能再分的要

求。

2.能用提公囚式法（准确确定公因式）、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法进行囚式分

解。

3.理解“一提、二套、三查”的因式分解步骤，能按步骤规范完成多项式的因式分解.

4.能利用因式分解解决简化运算、代数式求值、实际问题建模等相关问题，提升运算与问题解决的能力。

又又

知识图造梳理•固基础

知识点01因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。需注意分解对象是

多项式，结果必须是积的形式且因式为整式，是恒等变形，还要分解到每个因式都不能再分解为止，它与

整式乘法是互逆变形。

知识点02因式分解的方法

1.提公因式法：pa+pb+pc=p（a+b+c）o确定公因式时，系数取多项式各项系数的最大公约数，字母取各

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项中都含有的相同字母，相同字母的指数取各项中最小的一个。

2.公式法：平方差公式为a?-b2=(a+b)(a-b),适用于两项、符号相反、均为平方形式的多项式；完全平

方公式为a?+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,适用于三项、含两个平方项、中间项为两倍乘

积的多项式。

3.十字相乘法:a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)»

知识点03因式分解的步骤

可概括为“一提、二套、三查”。首先看多项式的各项是否有公因式，若有则先提取公因式；然后在

各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数，两项式可尝试运用平方差公式分解

因式，三项式可尝试运用完全平方公式或十字相乘法分解因式，四项式及四项式以上的可以尝试分组分解

法分解因式；最后检查分解是否彻底，必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

知识点04因式分解的应用

因式分解在简化运算、代数式求值、实际问题建模等方面有重要应用,例如在计算一的复杂的数值时.

通过因式分解可以将式子化简，从而更方便地进行计算。

oo

考点题型突破•拓思维

题型一、判断是否因式分解

【例1】(25-26九年级上•山东•阶段练习)下列变形中是分解困式的是()

A.F+3x+4=(4+l)(x+2)+2B.(3x-2)(2x+l)=6x7-x-2

C.6x3=3xy•2xy2D.4ab+2ac=2a(2b+c)

【变式1-1](25-26八年级上•吉林•阶段练习)下列各式从左到右的变形，是因式分解的是()

A.x(x-l)=x-*2B.x2-2x+l=(x-l)2

C.A；2+3x-4=x(x+3)-4D.y(y+^)=y2+y

【变式1・2】(25-26八年级上•全国•课后作业)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.X?+2x+3=(x+l)2+2B.(X+^)(J;-^)=X2-y2

C.x2-xy+y2=(x-j)2D.2x-2y=2(x-y)

【变式1-3](25-26八年级上•全国•课后作业)下列各式从左到右的变形是因式分解且正确的是()

A.(a+3)2=a2+6a+9B.-44+4=〃(〃-4)+4

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C.5ax2-5ay=5a^x2-D.a?-2a-8=（"2）（o+4）

题型二、已知因式分解的结果求参数

【例2】（25-26八年级上•山东淄博•阶段练习）如果2x+l是6/+"~-5的一个因式，则加的值为（）

A.-6B.6C.7D.-7

【变式2-1]（25-26八年级上•全国•单元测试）若——然一1可以分解为（x—2）（x+b）,那么〃+/）的值为

（）

A.-1B.1C.-2D.2

【变式2-2]（25-26八年级上♦全国•单元测试）多项式4x》-M可分解因式为4个（，_/+日），那么屈

等于（）

A.-Axyi+4abxyB.-4xy3-4abxyC.4^y3+4abxyD.4xy3-4abxy

【交式2-3]（24-25七年级下•浙江杭州•期末）若多项式2/+去一24因式分解后的结果是（心+3）（.・8）,

则A的值是（）

A.10B.-12C.-13D.13

题型三、公因式

【例3】（24-25七年级下•全国•单元测试）下列选项不是5/和20/的公因式的是（）

A.5/B.5y2C.5PD.5

【变式3-1]（25-26八年级上•全国•课后作业）〃为正整数，若如"J4"川的公因式是M,则M等于（）

A.B.2anC.2/TD.2。川

【变式3・2】（25-26八年级上•全国•课后作业）有下列各组多顼式：①（1）+和〃+入②5〃?（a-b）

和b—a；③3（。+6）和一（4+与；④（工一田，+孙+产）和+其中含有公因式的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【变式3・3】（24-25八年级下•陕西榆林・期末）多项式小—2〃?与多项式病―4m+4的公因式是（）

A.m+2B.w-2C.（〃?-2）（〃?+2）D.（加一2『

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题型四、判断是用公式法因式分解

【例4】（25-26八年级上•山东淄博•阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）

（1）4x2-1（2）9a2h2-3ab+\（3）/一刀+；（4）-x2-y2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式4-1]（2025八年级上•全国•专题练习）给出下列式子：①--一个“/；②;③

-4/-/+4/；④4/+9_/_12个，；⑤3/+6孙+3,其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的

有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式4・2】（24-25八年级下•四川成都•期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（）

A.a2-b2B.-a2-b2C.-a2+b2D.9a2-4h2

【变式4・3]（24-25七年级下•安徽六安•期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）

A.x2-xyB.x2+y2C.x2-y2D.x2+xy

题型五、综合提公因式和公式法因式分解

【例5】（25-26八年级上•重庆•阶段练习）分解因式.

（2）（/-3）2+3（/-3）-4

【变式5・1】（25-26八年级上♦全国•课后作业）因式分解:

（1）3x3-12xy2.

（2）9t72（x->'）+16Z）2（>--x）.

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【变式5-2](24-25八年级上•北京•期中)因式分解:

⑴N-9x;

(2)3/4-6axy+3ay2；

⑶9a2(x_y)+4/(yr).

【变式5-3](25-26九年级上•山东•阶段练习)把下列各式分解因式

(1)-ma3+ma2-ma：

⑶Q2_(4+9『；

(4)-16/+81/；

(5)(x-l)(x-3)-8.

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题型六、十字相乘法因式分解

【例6】(25-26八年级上•全国•单元测试)某些形如队+。的二次三项式可利用十字相乘法分解因

式.十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在

十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.如：将式子J+3X+2和

2/+x—3分解因式，如图，+3x+2=(x+l)(x+2)；2x2+x-3=(x—1)(2A+3).

1X1+1X1=3-1X2+1X3=1

请你用卜字相乘法将下列多项式分解因式:

(1)x2+5x+6:

⑵2--7x+3.

【变式6-1](25-26八年级上•全国•单元测试)阅读与思考：将式子/—X—6分解因式.这个式子的常数项

-6=2x(-3),一次项系数—1=2+(-3),这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数,

分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交

叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.如图所示：

1x(-3>+lx2=-l

这种分解二次三项式的方法叫“I字相乘法”.请认真观察，分析理解后，解答下列问题.

(1)分解因式：X2+7X-18;

(2)填空：若f+px-8可分解为两个一次因式的积，则整数〃的所有可能值是.

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【变式6-2](24-25七年级下•安徽六安•期末)阅读与思考

整式乘法与因式分解是方向相反的变形.

(x+p)(x+g)=x2+(p+q)x+pq,得/+(〃+力+夕1=(工+p)(x+g).

利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”

例如：将式子V+3X+2分解因式.

解：x2+3x+2=x2+(l+2)x+lx2=(x+l)(x+2).

请仿照上面的方法，解答下列问题：

⑴分解因式：X2+2X-8.

(2)分解因式：2X3-10X2+\2X

⑶若2f+px+6可进行因式分解，求整数〃所有可能的值.

【变式6・3】(24-25八年级上•甘肃临夏•阶段练习)阅读下列材料：

将/+2》-35分解因式，我们可以按下面的方法解答：

解：步骤：①竖分二次项与常数项：，=x.x,-35=(-5)X(+7).

x-5

②交叉相乘，验中项：x=>7x-5x=2x.

X+7

③横向写出两因式：，+2X-35=(X+7)(X-5).

我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.

试用上述方法分解因式：

⑴x、5x+4；

⑵--6》-7;

(3)2x2+.v-6.

题型七、分组分解法因式分解

【例7】(24-25八年级下•陕西咸阳•期末)将•个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法

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是分组分解法.例如：cr-lab-^b2-c2=[a1-lab+b^-c1={a-b^-c2=(a-b+c)[a-b-cY

请仔细阅读上述解法后，解决下列问题：

(1)分解因式：1一〃/-〃2+2〃?〃；

(2)已知〃?+〃=7,m-n=\,求nr-n1+2m-2n的值.

【变式7-1](24-25八年级下•陕西榆林•期末)在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、

乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下：

甲：x2-xy+4x-4y乙：a2-b2-c2+2bc

二(/-R，)+(4x-4y)(分成两组)=a2-(b2+c2-2bc)(分成两组)

=x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式)=a2-(b-c)2(直接运用公式)

=(x-y)(x+4).=(a+6-c)(〃-6+c).

请你在他们的启发下，解答下面各题:

(1)因式分解：4a2-b2+\+4a：

(2)因式分解：a2-ac-ab+be.

【变式7・2](24-25七年级下•安数安庆•阶段练习)将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分

解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法，“3+1”分法，“3+2”

分法及“3+3”分法.

"2+2"分法如：ax1ay1bx\by-[axiay)I(bxiby^-a(xIIy)—(xI/)(«Ib),

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请你仿照以上方法，分解因式:

(1)9〃/-4x2+4xy-y2.

(2)4/+4。-4a2b2-b2-4ab2+1.

【变式7-3］（24-25八年级下•陕西宝鸡・期末）【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因

式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解.例如1-加+54-58和

X2+2^+K-9.社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解.

方法如下：a2-ah+5a-5b=a（a-b）+5（a-b）=（a+5）（^a-b）；

x2+2q，+y2_9=（x+y）2_32=（x+y+3）a+y_3）.请在这种方法的启发下，解决下列问题：

【问题解决】

（1）因式分解：X3-2X2+2X-4：

（2）因式分解：Y-6xy+9y^l；

【方法延伸】

（3）因式分解：4a2-\2ab+9b2-4a+6b+\.

题型八、因式分解的应用

【例8】（25-26七年级上•上海松江•阶段练习）若一个整数能表示成/+/（“、方是整数）的形式，则称

这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为5=22+-，再如：M=1+29+2/=（x+y）2+Va、丁

是整数），所以M也是“完美数”.

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⑴请你判断29是否为“完美数”;

(2)已知S=x2+F+4x—6y+kG、y是整数，&是常数)要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个左的

值，并说明理由.

【变式8・1](24-25八年级上•全国•期中)颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中

有两块是边长都为"的大止方形，两块是边长都为〃的小止方形，九块是长为〃?、宽为〃的相同小长方形,

且.

(1)观察图形，可以发现代数式2〃/+5mn+2/r可以因式分解为；

(2)若每块小长方形的面积为10,两个大正方形和两个小正方形的面积和为58,试求机+〃的值.

【变式8-2](2025八年级上•全国・专题练习)问题：已知多项式一+加一+以-16含有因式(工-1)和

(x-2),求，〃，〃的值.

解:®x4+/MX3+nx-16=^(x-l)(x-2)(其中4为整式)，

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取x=】，得1+〃?+〃-16=0,①

取x=2,得16+8〃?+2〃-16=0,②

由①，②解得机=-5,〃=20.

根据以上阅读材料，解决下列问题：

⑴若多项式31+。/-2含有因式(x-l),求实数。的值；

(2)若多项式2/+〃勺+炉-4x+2y含有因式(x+y-2),求实数〃"〃的值；

(3)如果一个多项式与某正数的差含有某个一次因式，则称这个正数是这个多项式除以该一次因式的余数.请

求出多项式*6+2*3+3除以一次因式(x+1)的余数.

【变式8・3】(24-25八年级下•陕西咸阳・期末)对于一些多项式，不能直接进行因式分解，我们可以进行适

当的变形后再分解.

例I：因式分解：X2-2X-8.

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解：X2-2X-8=X2-2X+1-I-8=(X-1)2-9=(X-1-3)(X-1+3)=(X-4)(X+2).

例2：因式分解：(x-yf+4(x-y)+4.

解：将(尤7)看成一个整体，设(.1)，)=%

则原式=/+4a+4=(a+2>,

再将。=(x-y)代入，得原式=(x-y+2)2.

根据以上解法，解答下列问题：

(1)请你利用例1的方法,因式分解:X2-8X+15;

(2)请你利用例2的方法，因式分解：4(x+yf-4(x+y)+l；

(3)右展：已知△力8c的三边长分别是a,b,c,均是正整数，且满足42_6〃+/-126+45=0,求边长c

的最大值.

9

分层阶梯训练•提能力

基础巩固通关测

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一、单选题

1.（24-25七年级下•全国・单元测试）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）

A.a[x-y)=ax-ayB.X2-8X+16=(.V-4)2

C.x2-4x+3=x(x-4)+3D./+l=(a+l)2

2.（24-25八年级上•全国•期中）把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（1-2）后，余下的部分是（）

A.x+1B.x+3

C.2xD.x+2

3.（24-25九年级下•河北沧州•阶段练习）下列多项式能用完全平方公式分解的有（）

⑴心⑵八"上⑶

9a2-24cih+4b2;(4)-a2+8«-16

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（19-20八年级上•广东•期末）设小h,。是三角形的三边,贝IJ多项式从+/—的值为（）

A.大于零B.小于零C.等于零D.无法确定

二、填空题

5.（25-26八年级上•山东淄博•阶段练习）分解因式：2x2y-4xy-6y=—.

6.（2025八年级上•全国•专题练习）将4//＞（x+y）3—+因式分解，则应提取的公因式为.

7.（25-26九年级上•山东•阶段练习）若多项式3/+加:+c可分解为3（x-2）（x+l）则/）=,c=.

8.（25・26七年级下•全国•单元测试）分解因式：若。是整数，则/―。一定能被一个常数整

除，这个常数的最大值是—.

三、解答题

9.（25・26八年级上•山东淄博•阶段练习）把卜.列各式分解因式:

（|）〃（叱3）+2〃/（3-a）；

（2）ax'*-8Xay1；

(3)x3+6x2-x-6；

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(4)(.V2-3):-12(A-2-3)+36.

10.(25-26八年级上•湖南•阶段练习)完成下面各题：

(1)若二次三项式反一5可分解为*-l)(x+c),贝1坨=；c=

(2)已知二次三项式2/+5x-Z有一个因式是2x-3,求另一个因式以及k的值.

11.(25-26八年级上•山东东营•阶段练习)下面是某同学对多项式(Y+2x)(x2+2x+2)+l进行因式分解的

过程.

解:设』+2x=y

原式=M.y+2)+l(第一步)

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二）2+2y+l（第二步）

=（），+1『（第三步）

=（r+23+1丫（第四步）

请问：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的

A.提取公因式法B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？.（填“彻底"或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后

结果______

⑶请你模仿以上方法尝试对多项式（/-6%+8）12-64+10）+1进行因式分解.

12.（24-25七年级F河北石家庄•阶段练习）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如F问题：将

2。-3"-4+6。因式分解.

【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：

解法一:原式=（2叱3岫）-（4-6b）=a（2-3b）-2（2-3b）=（2-3b）（a-2）；

解法二：原式:（2a-4）-（3"-66）=2（a-2）-36（a-2）=（a-2）（2-36）.

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【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式

法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方

程、函数等学习中起着重要的作用.（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）

【类比】（1）请用分组分解法将/+工+。因式分解：

【挑战】（2）请用分组分解法将仆+/一2"一反+/因式分解；

【应用】（3）已知△44。的三边长。、b、。都是正整数，满足21+82—4。-86+18=0,求△48。的周长.

能力提升进阶练

一、单选题

1.(2025八年级上•全国•专题练习)下列多项式的分解因式，正确的是()

A.12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xyz)B.3a2y-3ay+6y=3)<a2-a+2)

C.-x3+xy-xz=-x(x2+_F-Z)D.crb+Sab-b=Ka1+5«)

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2.（21-22八年级上•河南信阳•阶段练习）多项式①4/T；②（X-I）2_4（X-1）；③1-/；

④_4--1+4X，分解因式后，结果中含有相同因式的是（）

A.①和②B.③和④C.①和④D.②和③

3.（24-25九年级下•山东青岛•阶段练习）因式分解：/-4m+»=（）

A.（3o+2Z））（a-2力）B.（5tz+4h）（-3a-4b）

C.一（5。+4/））（3。+4力）D.-（3a+2b）（a+2b）

4.（24-25七年级下•河北唐山•阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少

的内容.下列回答错误的是（）

分解因式：2«（X2-1）-26（X2-1）.

解：原式二2命一力①

=②

A.①填（”与B.②填（x+l）（x-l）

C.该过程用到了提公因式法D.该过程用到了公式法

5.（24-25七年级下•安徽淮南•阶段练习）多项式f-or-io分解因式为（x+m）（x+〃）,其中小小，〃为整

数，则。的取值有（）

A.2个B.3个C.4个D.无数个

二、填空题

6.（24-25九年级下•云南临沧•阶段练习）因式分解：--32^+256=.

7.（24-25八年级下•四川成都•阶段练习）多项式12/6+6/6-24"中各项的公因式是.

8.（24-25九年级下•河北邢台•阶段练习）如图，嘉琪同学准备设计一个矩形的手工作品，已知矩形的边长

为b（a>b）,周长为14,面积为12,请计算〃为+〃/的值为

9.（24-25八年级下•广东江门•开学考试）已知且满足两个等式炉-2^=2022?,/-2x=20222,

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则/+2xy+y2的值为.

10.(24-25七年级下•重庆忠县•阶段练习)若一个四位数力满足①千位数字2一百位数字2=后两位数，则

称4为“美妙数”.例如：•.■62-12=35,••.6135为“美妙数”.②7、(千位数字-百位数字)=后两位数，则称

力是“奇特数”.例如：7x(8-5)=21..・.8521为“奇特数”.一个，美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为

〃?，百位数字均为〃，且这个“美妙数”比“奇特数”大14,则满足条件的“美妙数”为.

三、解答题

II.(25-26八年级上•全国倜测)将下列多项式因式分解：

(l)2x2-6x.

小

(2)-1-x2-+1-y2.

(3)4x2-(/-4y+4).

(4)4AT2-4x2y-y3.

12.(24-25七年级下•山东聊城•阶段练习)将下列各式因式分解:

(1)3ax2-6ax+3。：

(2)-1+6m2n-3nin;

(3)d-y)-4ab(y-x)+4b2；

(4)|w24-lj--4m2.

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13.(25-26八年级上•全国•随堂练习)先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题.

1+r+Y(Y+1)+r(r+1)2

=(l+x)[l+x+x(x+l)]