新七年级数学专项提升：式与方程（解析版）

衔接点02式与方程

素养目标

小学阶段主要学习了字母表示数（能用字母表示常见数量关系、运算定律、常见几何体的公式等）、

简单的一元•次方程及解法，培养的核心数学素养是学生的符号意识和运算能力。

初中阶段较小学数学在式与方程方面主要变化有：“数与式”是代数的基本语言，初中阶段重点关

注代数式的运算与规律探究，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论

具有一般性；”方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是初中

应用广泛的数学工具，初中一元一次方程的解法与小学的方法有所区别。培养的核心数学素养是学生

的运算能力、抽象能力、推理能力等。

其实小学数学与初中数学实际上是有很多关联的。只要从小六到初一的过度在老师的引导下，找出“数”

与“式”之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，也为后面的更多内容打下坚实的基础，这

样才能在初中众多的考试面前不乱阵脚，游刃有余。

1______________/

目录导航

题型探究

题型1、字母表示数.............................................................................3

题型2、探究与表达规律..........................................................................5

题型3、等量代换................................................................................8

题型4、等式与方程的概念辨析..................................................................11

题型5、等式的性质及其运用....................................................................14

题型6、方程的解及其运用......................................................................17

题型7、解方程.................................................................................19

培优精练

A组（施力提升）..........................................................................................................26

B组（培优拓展）..........................................................................................................32

r.4知识梳理

i.用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律

1）用字母表示数和数量关系

（1）班有男生。人，女生〃人，夬有（〃+。）人；（2）每袋面粉重25T-克，x袋面粉共重25人丁克;

（3）路程=速度x时间，用字母表示s=%（4）正比例：^=k（一定），反比例：xx），=k（一定）。

x

2）用字母表示计算公式及运算定理

长方形周长：C=2（a+b）；长方形面积：S=ab；长方体体积：V=abk或V=Sh.

加法交换律：。+〃=力+。加法结合律：（〃+6）+c=a+（b+c）

乘法交换律："=力。乘法结合律：（ab）c=a（be）乘法分配律：（a+b）c=ac-\-bc

注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后,

数字要写在字母的前面；②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如。X”可以写作《凡

2.等式与方程

1）等式与方程的意义及关系

意义关系

等式表不相等关系的式子叫作等式

所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程

方程含有未知数的等式叫作方程

2）等式的性质

（1）性质I：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同•个不为0的数，所得结果仍然是等式。

3）解方程

（1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫年方程的解。

（2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。

（3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。

（4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立;

③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。

r…题型探究

题型1、字母表示数

【解题技巧】1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，

甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数国关系表示出来。

2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。

使思维过程简约化，易于形成概念系统。

例1.（2024・辽宁•小升初模拟）学校买来20个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元。20a+58b

表示（）；当〃=45,b=l0,贝1]2（功+5助=（沅。

【答案】买20个足球和〃个篮球一共的价钱1480

【分析】根据单价x数量=总价，确定20*58。分别表示的意义，再根据加法的怠义，得出这个代数式表

示的含义；把〃、匕的值代入代数式，求出结果即可。

【详解】20a表示买20个足球的吩钱；

5汕表示买。个篮球的价钱；

26+5%表示买20个足球和b个篮球一共的价钱。

当”=45,）=10时，

2（匕+5劝

=20x45+58x10

=900+580

=1480

206+5助表示买20个足球和力个篮球一共的价钱。当a=45,b=10,则20«+5泌=1480元。

例2.（2024•浙江小升初模拟）已知每个人做某项工作的效率相同，川个人做"天可以完成，若增加，•人，

则完成工作所需的天数为（）。

A.d+rB.d-rC.———D.

m+rm+r

【答案】D

【分析】假设每个人做某项工作的效率为1,则这项工作总量为〃W,若增加「人，现在总人数是（加+「）人，

用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数。

【详解】设每个人做某项工作的效率为L则这项工作总量为〃若增加"人，则完成工作所需的天数为

md

o故答案为：D

m+r

例3.（2022・湖南怀化小升初真题）小刚在测试中，语文、数学和英语三科的平均分是a分，语文和英语

一共得b分，数学得（）分“

A.3a-bB.a+3-bC.a+3-2b

【答案】A

【分析】根据“平均分*科数=总分”，用3a表示出语文、数学和英语二科的总分，用b表示出语文和英

语的总分，然后用语文、数学和英语三科的总分减去语文和英语的总分，即可得出数学的分数。

【详解】根据分析得，语文、数学和英语三科的总分是3a,则数学得分是（3a-b）分。

故答案为：A

【点睛】此题主要考查用字母表示数，根据平均数的含义进行解答。

变式1.（2023・四川成都・小升初真勘夏明今年"岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（）

岁。

A.a+6B.21C.a+7D.6

【答案】B

【分析】根据夏明今年〃岁了，爸爸比夏明大21岁，分别用含有字母的式子表示出爸爸今年的岁数、夏明

6年后的岁数、爸爸6年后的岁数，用戒法即可计算出爸爸6年后比夏明大的岁数。

【详解】爸爸今年：（a+21）岁；

6年后，夏明（a+6）岁；

爸爸：a+21+6=（a+27）岁；

爸爸比夏明大：（a+27）-（a+6）

=a+27-a-6

=21（岁）

故答案为：B

【点睛】本题还可以根据“年龄差不变”直接得出答案。

变式2.（2023・江苏•小升初模拟：如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增

加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（）平方厘米。

A.3abB.3（a+□）C.6（a+b）D.6ab

【答案】C

【分析】由题意知：增加的表面积实际上就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积，

利用侧面积二底面周长X高，代入数据计算即可。

【详解】（a+b）X2X3

=（a+b）x6

=6（a+b）平方厘米

表面积增加6（a+b）平方厘米。

故答案为：Co

【点睛】理解增加的表面积就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积是解答本题关键。

题型2、探究与表达规律

【解题技巧】观察前〃项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想•般性结论。

例1.（2024・六年级・山西,期中）根据下面图形的规律，第11个图中有（）个O。

【答案】B

【分析】

根据题意，图形L有6个可以写成：3x1+3；

图形2,有9个O,可以写成：3x2+3；

图形3,有12个可以写成：3x3+3；…

图形n,有（3n+3）个由此可知，当n=11时，即可求出。的个数。

【详解】根据分析可知，图形n,有（3n+3）个

当n=11时：3x11+3=33+3=36（个）

所以第11个图中有36个故答案为：B

例2.（2022•浙江温州小升初真题）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为"三角形

数；而把1、4、9、16•这样的数称为“正方形数”。

4=1+39=3Y16=6-10

从上图中可以发现：

任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的"三角形数”之和，例如4=1+3。把"正方形

数”36写成两个相邻的“二角形数”之和，正确的是（）。

A.36=10+26B.36=12+24C.36=15+21D.36=16+20

【答案】C

【分析】观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方数；

三角形数是1、3、6、10、15、21、28…；相邻两个数的差依次增加1；

从“三角形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是"正方形数"36即可。

【详解】图I：正方形数是4,4=1+3

图2：正方形数是9,9=3+6

图3：正方形数是16,16=6+10

图4：正方形数是25,25=10+15

图5：正方形数是36,36=15+21故答案为：C

【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。

变式1.（2023・江苏・小升初模拟）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

第乙个图案中有白色地砖块。

第一个第二个第三个

【答案】30

【分析】第一个图案有白色地面砖6块，第二个有10块，第三个有14块……即第n个图案中白色地砖数有

（2+4n）块，利用这个规律即可求解。

【详解】因为第一个图案有白色地面砖6块，第二个有10块，第三个有14块……据此总结出规律，第n个

图案中白色地砖数有（2+4n）块

所以第7个图案中有白色地面砖数为：2+4x7=2+28=30（块）

即第七个图案中有白色地砖30块。

【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规

律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。通过分析找到各部分的变化规律后直

接利用规律求解。

变式2.（23-24六年级•陕西咸阳期末）把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第1个图中

有4个黑色三角形，第2个图中有7个黑色三角形，第3个图中有10个黑色三角形，……,按此规律排列

下去，则第6个图中有（）个黑色三角形，第（）个图中有100个黑色三角形。

▲▲▲▲▲▲

▲▲▲▲▲▲▲▲▲

▲▲▲▲▲▲

第1个图第2个图第3个图

【答案】1933

【分析】看图，第一个图有4个黑色三角形,之后每幅图都在上一幅图的基础上增加3个黑色三角形。第

二个图有4+3=7（个）黑色三角形，第三个图有4+3x2=10（个）黑色三角形，那么可以推测第n个图

黑色三角形的个数为（4+3x（n-1））个。将n=6代入式子中，求出第一空。n未知，将整个式子等于

100,列出方程解出n,求出第二空。

【详解】4+3x（6-1）

=4+3x5

=4+15

=19(个)

解：设第n个图中有100个黑色三角形。

4+3x(n-1)=100

3n+1=100

3n4-1-1=100-1

3n=99

3n-3=99+3

n=33

所以，第6个图中有19个黑色三角形，第33个图中有100个黑色三角形。

【点睛】本题考查了数与形、简易方程的应用，能从图形排列变化中找出规律是解题的关键。

变式3.（23-24六年级•河南期大）为庆祝亚运会的成功召开，学校举行了’展少年英姿为亚运喝彩”的

队列队形展示活动，淘气发现队列中也藏着数学秘密。

队形1234

ooeoo«o..

图示OOooooe

•••oooo•••••

(1)观察点子图，补充下面等式。

2=1x2

2+4=2x3

2+4+6=3x4

2+4+6+8=()x()

⑵照这样，第8个队形需要()人；第n个队形需要()人；第()个队形有56人。

【答案】Q)45(2)72n(n+1)7

【分析】通过观察发现，第1个点子图是用lx(1+1),第2个点子图是用2、(2+1),第3个点子图

是用3x(3+1),则第4个点子图是用4x(4+1),第8个点子图是用8x(8+1),第n个点子图是用

nx(n+1)o也就是两个连续的自然数相乘，小的那个数就是第几个图形，56=7x8,则56人是在第7个

队以

【详解】⑴2+4+6+8=4x5

(2)8x9=72(人)56=7x8

则第8个队形需要72人；第n个队形需要n(n+1)人；第7个队形有56人。

题型3、等量代换

【解题技巧】等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思

想方法的基础。.如果能应用等星代换思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于

锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。

例I.(2022•山西临汾•六年级统考期末)根据如图，⑥=()克。

/2工克

।ccp।Icq1gl11•f•।।qc1।।i।

1△A1A1

A.50B.48C.64

【答案】C

【分析】先由图1可以得到•个较大圆=24克，再由图2可知，•个小圆为24x2+3=16（克），由图3可

知，最大圆为16x4=64（克），据此解答即可。

【详解】图1可以得到一个较大圆是24克

由图2可知,一个小圆是24x2+3=48+3=16（克）

由图3可知，最大圆是16x4=64（克）故答案为：C

【点睛】由图1可以得到一个较大圆=24克，再求出小圆的值，是解答此题的关键。

例2.（2022,重庆沙坪坝•小升初真题）某款手机充电5分钟，能够通话2小时，或者玩游戏L5小时，某

人将一部完全没电的手机充电4分钟，之后打了20分钟的电话,这部手机还能玩（）分钟的游戏。

【答案】57

【分析】已知手机充电5分钟，能够通话2小时，也就是120分钟，如果只充4分钟，则只能通话120分

钟的］,根据分数乘法的意义，用120x］即可求出充电4分钟后能通话的时间，减去20分钟通话时间后，

即可求出剩下通话的时间；1.5小时=90分钟，则能够通话120分钟相当于玩游戏90分钟，则通话1分钟

相当于玩游戏9言0分钟，用剩下通话的时间X言90即可求出剩下通话的时间相当于玩游戏多少时间。

【详解】2小时=120分钟

4

120x-=96（分钟）

96-20=76（分钟）

1.5小时=90分钟

9（）

76x—=57（分钟）

这部手机还能玩57分钟的游戏。

【点睛】本题主要考查了等量代换以及分数乘法的应用，注意统一单位。

例3.（2023・四川成都小升初真题）已知三工=：=479749,求‘二的值。

345c-b+2a

【答案】3

【分析】479749这个数比较大，我们可以用暂时一个字母表示这个数。三=3=：=k、根据分数和除法的

345

关系，卜力3=k,则。=3k,同理)=4k,c=50通过计算发现最后的结果和这个复杂的数字没有关

系。

【详解】根据分析

5a4-4/7-2c

c-h+2a

5x34+4x4*-2x5A

5火一4火+2x3k

15八16102

5k—4k+6k

(15+16-10)2

-(5-4+6)k

2\k

~~lk

=3

变式1.(2022・湖南长沙小升初真题)如果△+△+△+△+□=270,□+△+△+△+□=290,那么，

□+△=()o

【答案】120

【分析】首先利用第二个式子减去第一个式子得出口和△的关系，用其中一个表示另一个，再代入任何一

个式子求出一个，进一步求出另一个解决问题。

【详解】△+△+△+△+□=27(X5

□+△+△+△+□=290②

②-①得：

□-△=290-270=20

□=20+△,③

把③代入①得：

△+△+△+△+△+20=270

△=50

所以口=20+4=70

所以口+a=120

【点睛】注意利用代换的方式把其中一个数用另一个数表示，两个未知数就成了一个未知数，进一步解决

问地即可。

变式2.（2022•江苏南京小升初真题）1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大

杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满（）个大杯和（）个小杯后，没有剩余。

【答案】103

【分析】把第二次倒的方法乘3,也就是说看成3瓶水，3瓶可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克，减

去第一次倒的除以2后可得：2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯，所以1瓶可以倒10个大杯和3个小

杯。

【详解】倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，所以当为3瓶水时，可以倒27个大杯和12个小杯

还剩30克，

减去第一次倒的除以2后可得：2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯，

所以1瓶水可以倒10个大杯和3个小杯。

【点睛】此题的关键是根据第二次倒完后剩的10克，乘3,也就是看成是3瓶，然后和第一次倒的进行整

体相减，从而求解。

31

变式3.（2024.山东•小升初模拟）若3a+2〃=24,则丁+”的值是（）。

【答案】1

31

【分析】将^。-5+耳6先乘4,可转化出3〃+%,带入24,求出结果再除以4即可。

【详解】

f—a-5+—）x4

（42J

=3a+2b-2（）

=24-20

=4

44-4=1

【点睛】本题考查了等量代换和含有字母的式子求值，关键是将所求的式子转化出已知的算式。

题型4、等式与方程的概念辨析

【解题技巧】

1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。2）方程：含有未知数的等式。

3）方程一定是等式，等式不一定是方程。

注意：如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数.

例1.（2024六年级下江苏,专题练习）等式和方程的关系可以用如图表示，下面（）的关系也可以用这

样的图来表示。

A.质数和合数B.奇数和偶数C.四边形和三角形D.长方形和正方形

【答案】D

【分析】含有未知数的等式叫方程，等式包含方程；

除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫

合数，质数和合数是并列关系；

整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，奇数和偶数是并列关系；

三角形和四边形都是多边形；

正方形是特殊的长方形，长方形包含正方形，据此分析。

【详解】等式和方程的关系是包含与被包含的关系：

A.质数和合数是并列关系，不是包含与被包含的关系；

B.奇数和偶数是并列关系，不是包含与被包含的关系；

C.三角形和四边形都是多边形，是并列关系，不是包含与被包含的关系；

D.正方形是特殊的长方形，长方形包含正方形，是包含与被包含的关系。

故答案为.D

例2.（2024六年级下辽宁•专题练习）下面的式子中，是方程的是（）。

A.3x+5B.3y-7<8C-"4.5=1.2D.81-9=9

3

【答案】C

【分析】含有未知数的等式叫做方程；据此解答。

【详解】A.3x+5,含有未知数，但不是等式，不是方程；

B.3y-7<8,含有未知数，但不是等式，不是方程；

C.；。+4.5=1.2,含有未知数，是等式，是方程；

D.81-9=9,是等式，但不含有未知数，不是方程；故答案为：C

变式I.（2023春・浙江•六年级专题练习）下列各式中，不属于方程的是（）。

A.21=y+5B.8+x=12C.13+6-9=10

【答案】C

【分析】含有未知数的等式就是方程。据此判断即可。

【详解】A.21=y+5含有未知数且是等式，所以是方程；

B.8+x=12含有未知数且是等式，所以是方程；

C.13+6—9=10是等式，但不含未知数，所以不是方程。故答案为：C

【点睛】本题考查方程，明确方程的定义是解题的关键。

变式2.（2024・河南•六年级统考期中）小学阶段学的很多数学知识之间有着密切联系。下面不能正确表示

【分析】平行四边形两组对边分别平行，梯形只有一组对■边平行，所以梯形不属于平行四边形；三角形按

角分为锐角三角形、直角三角形及钝角三角形；方程是含有未知数的等式，所以方程是等式；一个非0的

自然数最大的因数和最小的倍数都是它本身。

【详解】A.图一表示错误，梯形不是平行四边形：

B.图二表示的是三角形的按角分类，表示方法正确：

C.方程是等式，图示表示正确；

D.a的最大因数和最小倍数相等，图四表示正确。故答案为：A

【点睛】本题考查了四边形的分类、三角形的分类、方程的意义及因数倍数的意义。

变式3.（2022♦湖南湘西统考小升初真题）小学阶段我们学习了很多知识，知识之间有着密切的联系。下

图中：

如果A表示长方形，那么B可以表示正方形；

如果A表示等腰三角形，那么B表示（）；

如果B表示方程，那么A可以表示()。

【答案】等边三角形等式

【分析】长方形和正方形的关系是长方形包括正方形，止方形是特殊的长方形；等边三角形是特殊的等腰

三角形，等腰三角形包含等边三角形；方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。据此解答。

【详解】根据分析得，如果A表示等腰三角形，那么B表示等边三角形；如果B表示方程，那么A可以表

示等式。

【点睛】此题主要考查长方形与正方形、等边三角形与等腰三角形、方程与等式之间的关系，应熟练理解

并掌握它们的意义与联系。

题型5、等式的性质及其运用

【解题技巧】等式的性质

(1)性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

(2)性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式;。

例I.(2023春•湖南长沙•六年级统考期末)如果〃=〃，根据等式的性质填空。

a+5=b+()〃_()=b-m

ax-=bx())=〃+0.5

5

【答案】5m10.5

【分析】等式的性质：(1)等式两边同时加上或减去同一个数：所得结果还是等式：

(2)等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。

【详解】a+5=b+5ci-\x\=b-m=-。+0.5=/?+0.5

55

【点睛】关键是掌握等式的性质。

例2.(2023春・北京•六年级统考学业考试)根据下图天平平衡的状态，求出一杯水的质最。

【答案】1.5kg

33

【分析】1杯水为单位“1”，由图可知1杯水的重量=三杯水的重量十二kg,我们可以根据等式的基本性质,

JJ

两边同时减去13杯水的重量，即口一3/杯水的重量=3，g。据此•杯水的重3量（1-3^）杯水。

JJJJJ

【详解】3d-3|）32=35=（kg）

JJJJJ4

答：这杯水的质量为1.5kg.

【点睛】此题需掌握等式的基本性质，通过数形结合的思想进行转化。

例3.（22-23六年级上陕西西安期末）（《[）亮-（D-j）求□内应填的数。

【答案】

【分析】WT得-（口-：）=1-把口看作是未知数，先计算出小括号里的w的差，g

再计算白除以白的商；卜2=9原式化为：!-（□-1）=*根据减法性质，原式化为：

41Z121ZJ1Z33JD

:-口+：=：,再根据等式的性质1,算式两边同时加上口，再减去!，即可解答。

【详解】（一）$一（□一»[

W)*(□-|)]_

5

412

-x—(□-：)

1255

4-2

—-□+-=

535

D=+2

?i5

12103

□=

151515

□=差」

1515

□吟

变式1.（2023春・江苏南通•六年级专题练习）数学知识之间都有着有密切的联系，下面（）与众不同。

A.等式的性质B.分数的基本性质C.比的基本性质D.商不变的规律

【答案】A

【分析】分数的分子可以看作比的前项，也可以看作除法算式的被除数；分数的分母可以看作比的后项，

也可以看作除法算式的除数，所以分数的基本性质、比的基本性质、商不变的规律实质是一样的。等式的

性质指等式的两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，据此解题。

【详解】分数的基本性质、比的基本性质、商不变的规律实质是i样的，等式的性质与它们不同。

故答案为：A

【点睛】熟练掌握等式的性质、分数的基本性质、比的基本性质、商不变的规律，是解答此题的关键。

变式2.（2023春・天津红桥•六年级统考期末）若。=〃，则下列选项中错误的是（）。

2211

A.a+3=〃+3B.5a+4=5b—4C.——a=——bD.—a—5=—b—5

3322

【答案】B

【分析】根据等式的性质：1.在等式两边同时加或减去一个相同的数，等式仍然成立。

2.在等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立。据此判断即可。

【详解】A.因为〃=人，根据等式的性质I,在等式两边同时加上3,等式仍然成立，所以a+3=b+3,原

题干说法正确；

B.因为根据等式的性质2,在等式两边同时乘5,所以5a=5b,再根据等式的性质1,在等式的两

边同时加上4,贝ij5a+4=5b十4,原题干说法错误；

C.因为d根据等式的性质2,在等式两边同时乘g,所以ga=：b,原题干说法正确；

D.因为〃=仇根据等式的性质2,在等式两边同时乘所以ga=gb,再根据等式的性质1,在等式的

两边同时减去5,则—5=gb-5,原题干说法正确。故答案为：B

【点睛】本题考查等式的性质，熟记等式的性质是解题的关键。

变式3.（22-23六年级下•河南郑州期末）如图，两条直线相交形成四个角。为了说明图中的42二乙4,

晓晓的理由是：因为：41+42=180°,41+44=180°（平角等于180°）,所以：41+乙2=41+44,

也就得出：乙2二乙4。这里运用了（）。

A.加法交换律B.等式的性质C.减法的性质

【答案】B

【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式。

【详解】乙1+乙2=180°,乙1+44=180°（平角等于180°）,所以：乙1+乙2二乙1+乙4,两边同时减

去匕L乙1+乙2-41=乙1+乙4-乙1（运用了等式的性质1）,得乙2二乙4。这里运用了等式的性质。

故答案为：B

【点睛】关键是掌握并灵活运用等式的性质。

题型6、方程的解及其运用

【解题技巧］1）方程的解：使方程两边相等的未知数的值；2）解方程：求方程的解的过程：3;会利用方程

的解，求字母的数值。

例1.（22-23六年级下•山东•期末）x=6是下面方程（）的解。

A.24+6B.5x=35C.4x+5=29D.4x+8=6

【答案】C

【分析】把x=6代入到各个方程中，若方程的左边等于方程的右边，则x=6是该方程的解，反之则不是。

【详解】人.方程的左边二24”

=24-6

二4

工方程的右边

则x:6不是方程24+x=6的解；

B.方程的左边二5x

=5x6

=30

。方程的右边

则x:6不是方程5x=35的解；

C.方程的左边=4x+5

=4x6+5

=24+5

=29

二方程的右边

贝IJx=6是方程4x+5=29的解;

D.方程的左边二4x,8

=4x6+8

=24-8

=3

工方程的右边

贝ljx=6不是方程4x+8=6的解。

故答案为：C

【点睛】本题考查方程的检验，明确检验的方法是解题的关键。

例2.（2023春・江苏•六年级小升初模拟）已知方程2x+攵=10的解是x=4,则女的值是（）。

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】把x=4代入到方程2x+L=10中，然后根据等式的性质解方程即可。

【详解】当x=4时

2x4+4=10

解：8+4=10

k=2

故答案为：A

【点睛】本题考查解方程，熟练运用等式的性质是解题的关键。

变式1.（2022.四川乐山.五年级期末）*=6是下列（）方程的解.

A.12-x=0B.x+3=9C.0.2x=6D.x4-10=1.5

【答案】B

【分析】根据方程的解的定义，把x=6代入方程进行检验即可。

【详解】A.把x=6代入方程，左边=6,右边=0,左边,右边，故选项错误；

B.把x=6代入方程，左边=9,右边=9,左边=右边，故选项正确：

C.把x=6代入方程，左边=1.2,右边=3,左边#右边，故选项错误；

D.把x=6代入方程，左边=0.6,右边=1.5,左边,右边，故选项错误。故答案为：B

【点睛】本题主要考查了方程解的定义，解答此题应注意采取代入法。

变式2.（2022•江苏徐州•五年级期中）若x=2是方程3x+4a=22的解，则a的值为（）。

A.4B.7C.10

【答案】A

【分析】将方程的解带入方程3x+4a=22,求出含a的式子，进而得出a的值。

【详解】将x=2带入方程3x+4a=22得：6+4a=22

所以a=（22-6）:4=16：4=4故答案为：A

【点睛】本题主要考查学生依据等式的性质解方程的能力。

题型7、解方程

【解题技巧】1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程,

2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立;

③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。

例1.（2024•江苏小升初模拟）解方程。

7.59八一c7313

816x8424

【答案】x=~；x=7.2；x=-

167

【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上3x,再同时减盘，最后同时除以3求解；

16

（2）解比例，根据比例的性质先把比例式转化成两外项积等于两内项积的形式：2x2=65x5,然后再根据

X

等式的性质，方程两边同时乘X,再同时除以2.5求解“

(3)先计算方程左边的式子:=然后再根据等式的性质方程两边同时减去［再同时乘5求解。

【详解】⑴J-3A=A

o10

解：—3x+3x=—I-3x

816

5c575

1616816

c令9c

3x+3=—3

16

91

x=­x—

163

3

x=一

16

o

(2)-:0.5=5:2

x

o

解：-x2=o.5x5

18

2.5

x

X

25-2.5=18+2.5

7313

⑶—x+-X—=—

8424

733

解：-x+-=—

884

73333

—x+

8

73

—x=—

88

7838

—xx—=—x—

8787

3

7

例2.(2024・重庆・小升初模拟)解方程。

、，

91.5-|2(/9x-18)=73.53(x-l)-^1(x+l)=2(x+l)-^1(x-l)

【答案】x=5；x=5

【分析】先应用乘法分配律把弛-18）计算出来，方程两边再同时加回-12）减73.5,化简后得到方程

6x-12=18,对化简后的方程两边再同时加12后除以6,可以解出未知数；

把（戈+1）和1）分别看作整体，方程两边同时加!（X+1）和：（戈-1）,化简后含（X+1）和（X-1）的项分别在

等号两边，再逆用分配律，分别提出（x+1）和（1-1）进行化简后，方程两边同时乘6去掉分母后，运用等式

的性质解方程。

2

【详解】9l.5--（9x-l8）=73.5

解:91.5-(6.1-12)=73.5

91.5-(6x-12)+(6x-12)-73.5=73.5+(6x-12)-73.5

6x-l2=18

6x72+12=18+12

6.r=3O

6AH-6=304-6

x=5

3(iT)Y(x+l)=2(x+l)-：(x-l)

解：3(x—l)—!(x+l)+：(x—l)+；(x+l)=2(x+l)—；(x—l)+l)+；(x+l)

◊乙J乙乙◊

3(1-1)+箝-1)=2(工+1)+*+1)

4J

(3+j(x—l)=(2+；)(%+l)

7、7,

-(zx-l)x6=-(x+l)x6

21(x-l)=14(x+l)

21J-21=14A+14

21J-2I-14x+21=14x+14-14x+2l

7x=35

7x+7=35+7

x=5

例3.(2023・浙江•小升初模拟)解方程或比例。

_/3,.O.7.X+O.O5O.2.V-0.17,

5:(,v-l)=—:1o8rt%---------+---------=1

')200,020.03

【答案】工=7；x=0.1

【分析】

5:(x-l)=.^:18%,依据比例的基本性质，先写成总(x-1)=5x0.18的形式，根据等式的性质1和2,两边同

2()

时＞：5，再同时+1即可。

与泮+端产=1,等式左边的部分，依据分数的基本性质，将小数化成整数，然后根据等式的形式

1和2,两边同时x6,去分母，再将能合并的合并起来，解方程即可；

【详解】

3

5:(x-l)=—:18%

1)20

解：枭1)=5'。18

3jn9

五Wf=而

920

一x—

2073103

x-l+l=6+l

x=7

O.7.V+O.O50.2.V-0.17,

----------+----------=I

0.020.03

(0.7x+0.05)xlOO(0.2x-0.17)xl00_

解：-----------------+------------------1

0.02x10()0.03x100

7O.t+520x-l7,

------+--------=1

23

x6=1x6

23

210x+15+40x-34=6

25Cx-19=6

25Qr-19+19=6+19

25Gx=25

25(k+250=25+250

x=0.1

变式1.(2024・辽宁•小升初模拟：解方程。

454

12-4x=2.42x:-=-:22:(x-l)=-

585

【答案】x=2.4；x=|；x=-|

【分析】1根据等式的性质解答即可；先在方程两边同时加4x,再在方程两边同时减24最后在方程两边

同时除以4即可解答；

②根据比例的基本性质，内项积等于外项积，再在方程两边同时除以4即可解答；

③在比例里，两个内项之积等于两个外项之积，再在方程两边同时除以最后在方程两边同时加1即可

解答。

【详解】12-4x=2.4

解：12-4A+4A=2.4+4A-

2.4+4X=12

2.4+4x-2.4=i2-2.4

4x=9.6

4X+4=9.6+4

x=2.4

2x:-=":2

4%+4=—+4

2

11

X=­x—

24

1

A'=-

8

4

2：(x-l)=-

解：|x(x-l)=2

x-l+l=-+l

2

7

x=—

2

变式2.(2023,四川成都小升初真题)解方程。

r+1r4-1

(1)3.6x+0.4-0.2=1.6(2)3x-—^—=3+—^—

【答案】⑴x=0.2；⑵x=2

【分析】⑴先根据带符号搬家，将36—0.4-0.2=1.6变为3.6+0.4、＞0.2=1.6,计算出3.6+04然后

根据根据等式的性质1和2,将方程左右两边同时加上02再同时除以9即可；

(2)先将方程左右两边分别化为分母是2的分数相加减，也就是号=2+芋，然后将左右两边分

别合并，也就是6:"7="二,据此根据等式的性质2,左右两边同时乘2,可得6x-x-l=6+x+l,

然后将左右两边分别合并，也就是5%-1=7+乩根据等式的性质1,将5x-l=7+x左右两边同时减去x,

方程变为4x-l=7,再根据根据等式的性质1和2,将方程左右两边同时加上L再同时除以4即可。

【详解】⑴3.6X4-0.4-0