新七年级数学专项提升：线段、角、对角线的计数模型（解析版）

专题05.线段、角、对角线的计数模型

本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模

型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进

行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和

三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。

模型1.线段与角度的计数模型

1）线段的计数模型

结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；

结论拓展：若有〃个点，则线段数量为：（〃-1）+（〃-2）+...+4+3+2+1=仆二1）（条）

2

例1.（2023春•山东淄博•七年级校考期中）下面图形中共有线段（）条.

■i1a।

ABCDE

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】分别以A为线段的一个端点找出线段即可求解.

【详解】解：图中线段有：AB、AC,AD,AE,BC、RD,BE,CD,CE,DE共10条,故选D.

【点睛】本题考查了数线段条数，掌握线段的定义是解题的关键.

例2.（2023秋•山西太原•七年级校考阶段练习）往返于太原、运城两地的高铁列车，若中途停靠太谷、介

休和临汾站则有（）种不同票价.

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】由于一共有太原、太谷、介休、临汾、运城一共五个站，每两个站之间都有一种票价，其中一个

站与其他4个站之间都有4种不同的票价，而两个站之间，来回的票价相同，只能算作一次，由此求解即

可.

【详解】解：团一共有太原、太谷、介休、临汾、运城一共五个站，每两个站之间都有一种票价，

回其中一个站与其他4个站之间都有4种不同的票价，同一共有5x4=20种不同票价，

又法两个站之间，来回的票价相同，只能算作一次，田一共应该有20+2=10种不同的票价，故选D.

【点睛】本题主要考查了线段的数量问题即车站为线段的端点，票价为线段数量，解题的关键在于能够熟

练掌握求解线段数量的方法.

例3.（2023秋•湖南长沙•七年级校考期末）2022年12月26日上午10时06分,渝厦高铁常德至益阳段开

通运营。某列车从常德至长沙运行途中停靠的车站依次是：常德一常德汉寿一益阳南一宁乡西一长沙南，59

分钟即可抵达长沙，这标志着渝厦高铁常益长段实现了全线开通。每两站之间由于方向不同，车票也不同，

那么铁路运营公司要为常德至长沙南往返最多需要准备（>张军票.

A.10B.15C.20D.30

【答案】C

【分析】将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段条数的2倍即可.

【详解】解：如图，

图中线段的条数为4+3+2+1=10（条），

由于车票往返的不同，因此需要制作火车票的种类为10x2=20（种），故选：C.

【点睛】本题考查线段、直线、射线，掌握线段条数的计算方法是解决问题的关键.

例4.（2023秋•四川泸州•七年级统考期末）阅读理解题

问题：在一条直线上有A,B,C,。四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？

要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有A8,AC,AO共3条，同样以8为端点，以

。为端点，以。为端点的线段也各有3条，这样共有4个3,即4x3=12（条），但A8和船是同一条线段，

即每一条线段重更一次，所以一共有6条线段.那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有

条线段；若在一条直线上有〃个点，则这条直线上共有条线段.

知识迁移：两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有个

交点，〃条直线相交最多有个交点.

学以致用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握于一次问好，全班同学共提于次.

【答案】10,-1——L,6,」——二990

22

【分析】问题：根据线段的定义进行求解即可；

知识迁移：根据线段的性质进行求解即可；学以致用：当〃=45时，代入"（"-2）求值即可.

2

【详解】解：问题：若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有5芋x4=10条线段；

若任一条直线上有，，个点，则这条直线上共有如R条线段，故答案为；io,由二D；

22

知识迁移：四条直线相交最多有6个交点，〃条直线相交最多有位D个交点，故答案为：6,也二D

22

学以致用：当〃=45时，45x（45-1）=990（次），故答案为：990.

2

【点睛】本题考查线段的计数问题，解题的关键是找出规律.

例5.（2023秋•山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习

⑴发现规律，猜想说理.

1+2=3.次上

2

2+3=6=铝型

2

1+2+3+4=10=40"）

2

1+2+3+4+5=15="」"）

2

以此类推，我们发现1+2+3+4+......+〃的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关.

如果，我们设S=l+2+3+4+……+〃

则2s=1+2+3+4++〃+1+（〃-3）+（〃-2）+（〃-1）+〃

我们可以看出此等式的右边是若干个（1+〃）的和，

025=.贝IJ1+2+3+4+......4-/1=.

⑵运用规律，计算表达.

①求3+4+5+6+7+8+9……+100=.

②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛.七年级（9）班获得第一名，该班学生列

队以"单击掌”形式（每两个学生击掌•次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语如果该班

有I名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条.

⑶迁移规律，解决问题.

①如图，“北京一一广州“航线上有4、B、C、。、E、F、G、”8个城市，如果每两个城市都要互通航班,

那么这条航线上一共需要开通架航班.

北京'.......■,

ABCDEFGH

②如图，在4x5的方格中，横线和竖线上的线段共有条.

②图③图

③2022年足球世界杯在卡塔尔举行(如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物)，

共有32支国家足球队参赛.比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、二四名决赛、决赛六个价段进行.32

支球队平均分成8个进行小组循环赛(小组内每两支球队举行一场比赛);每小组前两名球队进入1/8决赛，

然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛.....请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？

【答案】⑴碎+〃)，〃0+〃)⑵①5047：②"(1),x(x-l)⑶①90；②135；③64

22

【分析】(1)根据题目中的规律即可求解；(2)①根据(1)中的规律即可求解；②根据规律即可求解；(3)

①10个城市每两个城市都要互通航班，据此即可求解；②分别计算横向和竖向的线段条数，即可求解；

③利用分类的方法可求得2022年足球世界杯共进行多少场比赛.

【详解】(1)解：2S=〃(l+〃).则1+2+3+4+……+〃=业/1.故答案为：业©：

22

(2)解:©3+4+54-6+7+8+9……+100=(1(X)-2X34-10())=5047.

②如果该班有x名同学，则共击掌当辿次，共赠送祝福语Mx-1)条.

故答案为：@50>175@100；③乂:),.v(x-l)；

(3)解：①如图，"北京一一广州”航线上有A、B、C、。、E、尸、G、“8个城市，如果每两个城市都要互

通航班，10个城市一共需要开通10(10-1)=90架航班；

②横线上的线段有空|£=75条，竖线上的线段有月3=6。条，

则横线和竖线上的线段共有75+60=135条;

③32支比赛分为8个小组，每个小组4支球队，共有刀^8=48场比赛，

16强分成8组对阵，共有8场比赛，8强分成4组对阵，共有4场比赛，

4强分成2组对阵，共有2场比赛，决赛有2场比赛，故共有48+8+4+2+2=64场比赛.

故答案为：①90；②135；（3）64.

【点睛】本题考查了探索规律，线段的计数，线段的计数时应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不

重复，利用规律解决问题.

2）角度的计数模型

结论：线段数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；

结论拓展：若有〃条射线，则角度数量为：（小1）+（〃-2）+...+4+3+2+1=乂二0（个）

例1.（2023秋•浙江•七年级专题练习）如图，总共有一个角.

【分析】根据图形分别表示出所有角即可.

【详解】解：图中的角有：/AOC,ZAOD,NAOE,NAOB,/COD,NCOE,NCOB,/DOE,/DOB,

NEQ8共有10个角.故答案为：10.

【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键.

例2.(2023•四川内江•七年级月考)在锐角(MO8内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可

得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个.

【答案】66

【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题.

【详解】解：团在锐角财内部，画1条射线，可得1+2=3个锐角；

在锐角财08内部，画2条射线，可得1+2+3=6个锐角；

在锐角MOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4=10个锐角；…

团从一个角的内部引出〃条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+...+S+l)(〃+1)x(〃+2),

团画10条不同射线，可得锐角gx(10+1)x(10+2)=66.故答案为：66.

例3.(2023秋•重庆七年级课时练习)(1)在E1A0B内部画1条射线OC,则图1中有一个不同的角;

(2)在团AOB内部面2条射线OC,OD,则图2中有一个不同的角；

(3)在(3A0B内部画3条射线OC,OD,OE,则图3中有一个不同的角；

(4)在团AOB内部画10条射线OC,OD,OE…，则图中有一个不同的角;

(5)在团AOB内部画n条射线OC,OD,OE...,则图中有一个不同的角.

【详解】试题分析：(1)根据图形，图中有F+2=3个不同的角；

(2)根据图形，图中有1+2+3=6个不同的角；(3)图中有1+2+3+4=10个不同的角，;

(4)图中有1+2+3+“.+9+10+11=66个角;(5)求出l+2+3+...+n+(n+1)的值即可

试题解析：（1）在团AOB内部画1条射线0C,则图中有3个不同的角，故答案为3.

（2）在回AOB内部画2条射线OC,OD,则图中有6个不同的角，故答案为6.

（3）在团AOB内部画3条射线OC,OD,0E,则图中有10个不同的角，故答案为10.

（4）在（3AOB内部画10条射线OC,OD,OE,则图中有1+2+3+...+10+11=66个不同的角，故答案为66.

（5）在0AOB内部画n条射线OC,OD,OE,则图中有l+2+3+...+n+（n+1）="竽出个不同的角.

考点：角的概念.

例4.（2023秋•湖北孝感•七年级统考期末）如图1,从点。分别引两条射线，则得到一个角/AO5.（图中

的角均指不大于平角的角）

⑴探究：①如图2,从点。分别引三条射线，则图中得到个角；

②如图3,从点。分别引四条射线，则图中得到个角；

③依此类推，从点。分别引〃条射线，则得到个角（用含〃的式子表示）；

⑵应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即

每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？

【答案】⑴①3；②6；③〃（丁）⑵120

【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可；

（2）将”=16代入%二D求解即可.

2

【详解】（1）①由题意可得，从点。分别引三条射线，图中的角有

1+2=3,团图中得到3个角；

②由题意可得，从点。分别引四条射线，图中的角有

1+2+3=6,回图中得到6个角：

③由①②可得，当从点。分别引〃条射线，1+2+3+...+〃-1=当心，团得到当」1个角；

（2）根据题意可得，当〃=16时，也二»也=120.团全部赛完共需120场比赛.

22

【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键.

3）平面内直线相交所得交点与平面的计数模型

直线的条数最多交点个数平面最多分成部分数

102

214

337

•••••••••

n仆+1)

22

例1.（2023春•浙江七年级期中）已知2条直线最多有也出=1个交点，3条直线最多有'd=3个

22

交点，4条直线最多有"（"I）=6个交点,…由此猜想，8条直线最多有个交点（）

2

A.16B.28C.32D.40

【答案】B

【分析】利用给出的交点个数，推导出规律，再将8代入计算即可.

【详解】解：团2条直线最多有2、（，-”二1个交点,

2

3条直线最多有上学二0=3个交点，4条直线最多有4x（4T）=6个交点,……

22

团〃条直线最多有“（〃一1）■个交点,回〃=8时，=8*87）=28（个），

222

国8条直线最多有28个交点.故选：B.

【点睛】本题考查直线的交点个数，也就是数字规律题，解题的关键是找到数字规律，把特殊值代入求值.

例2.（2023春・安徽芜湖•七年级校联考期中）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】c

【分析】根据题意画出图形即可求解.

【详解】如图所示，将•块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为7块，故选：C.

【点睛】本题考查了直线分平面问题，理解题意是解题的关键.

例3.（2023春•广东七年级期中）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为一个，最多为一个,

n条直线两两相交的直线最多有一个交点.

■小小Q〃（儿一1）

【答案】115」~L

2

【分析】根据相交直线的交点找出相应规律求解即可.

【详解】解：根据题意可得：6条宜线相交于一点时交点最少，此时交点为1个；

若平面内有相交的2条直线，则最多有1个交点；（即：1=竽=1）；

若平面内有两两相交的3条真线，则最多有3个交点；（即：1+2=3苛x2=3）；

若平面内有两两相交的4条直线，则最多有6个交点；（即：1+2+3=—4x芦3=6）；

5x4

若平面内有两两相交的5条直线，则最多有10个交点；（即：1+2+3+4===10）；

则平面内两两相交的6条直线，其交点个数最多有15个交点；（即1+2+3+4+5=容=15）；

若平面内有，条直线两两相交，则最多有心一。个交点；故答案为：1,15,也』.

22

【点睛】题目主要考查直线交点问题及规律探索，找出相应规律是解题关键.

例4.（2023春•广东七年级期中）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：

（1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最

多有个交点，……，像这样.8条直线相交最多有个交点，〃条直线相交最多有个交点:

（2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面

分成部分，4条直线最多把平面分成部分，......，像这样，8条直线最多把平面分成部分,

〃条直线最多把平面分成部分.

【答案】（1）3,6,28,也（2）7,11,37,"“丁）+1

【分析】（1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即

可得出〃条直线相交最多有交点的个数；

（2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即

可«条直线最多把平面分成几部分.

【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1+2=3个交点；

4条直线相交最多有1+2+3=6个交点；5条直线相交最多有1+2+3+4=10个交点；

6条直线相交最多有1+2+3+4+5=15个交点；7条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点，

8条直线相交,最多有1+2+3+4+5+6+7=28个交点，…

n条直线相交最多有1+2+3+...+（“—）=若义个交点；

（2）1条直线最多把平面分成1+1=2部分；2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分；

3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分：4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分：

5条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分；6条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分；

7条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分；

8条直线最多把平面分成1+1+2+34-4+5+6+7+8=37部分；...

n条直线最多把平面分成=1+1+...+5-1）+〃=*电+1

【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，

弄清题中的规律是解本题的关键.

例5.（2023春•江苏•七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多

有1个交点：三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有个交点：〃条直线相交,

最多有个交点（用含〃的代数式表示）；

【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮

球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？

【答案】［观察发现J6,［实践应用］120场

【分析】［观察发现］根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个

交点，5条直线相交最多有10个交点.而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,故可猜想，〃条直线相交，最多

有1+2+3+...+（〃-1）1）个交点；［实践应用］把每个班作为一个点，进行一场比赛就是用线把两个点连

接用此方法即可.

【详解】［观察发现］解：①两条直线相交最多有1个交点：l=2x（j-%

②三条直线相交最多有3个交点：3=3X（；F：③四条直线相交最多有6个交点：6=4X（7）：…

〃条直线相交最多有殁1个交点.故答案为：6,殁山.

［实践应用］该类问题符合上述规律，所以可将〃=16代入”=120.（3这一轮共要进行120场比赛.

【点睛】本题主要考查图形的变亿规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么

规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.

4）多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型

结论：从〃边形一个顶点出发可引出（止3）条对角线：这些对角线把多边形分割成（止2）个三角形:

〃边形共有〃（〃一3）对角线。

2

例1.（2023秋•湖北武汉•八年级校考阶段练习）六边形共有多少条对角线（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】根据对角线公式求解即可.

【详解】解：六边形共有多少条对角线有：gx6x（6-3）=9条.故选B.

【点睛】本题考查了多边形的对角线，牢记〃边形从一个顶点出发可引出5-3）条对角线，把〃边形分成

5-2）个三角形，〃边形对角线的总条数为：（〃-3）是解题的关键.

例2.（2023秋•甘肃兰州•七年级校考期末）如果一个多边形从一个顶点出发最多能画五条对角线，则这个

多边形的边数为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】根据从〃边形的一个顶点可以作出（〃-3）条对角线，求出边数即可.

【详解】解：多边形的边数为〃，由题意可得：〃-3=5,解得〃=8,故选：D.

【点睛】本题考查一个顶点出发的对角线条数，解题关键是掌握〃边形从•个顶点可以作出（〃-3）条对角线.

例3.（2023秋•辽宁沈阳•七年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个

三角形，则这个多边形是（）

A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形

【答案】B

【分析】根据〃边形从一个顶点出发可引出（〃-3）条对角线，可组成2个三角形，依此可得〃的值.

【详解】解：设这个多边形是〃边形，由题意得，〃-2=6解得：〃=8,即这个多边形是八边形，故选朋.

【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握〃边形从•个顶点出发可引出（〃-3）条对角线，可

组成〃-2个三角形.

例4.（2023秋•广东梅州•七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形

对角线的总数是（）

A.88B.44C.45D.50

【答案】C

【分析】根据一个〃边形从一个顶点出发有（〃-3）条对角线，即可求出该多边形的边数.再根据〃边形对角

线的总数为生3即可求解.

2

【详解】解：设这个多边形的边数为〃，

团一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，0/1-3=8,解得：/7=11,

田总的对角线的条数为：=44条.故选C.

2

【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题.掌握〃边形从•个顶点出发有5-3）条对角线和其对

角线总数为32勺是解题关键.

2

例5.（2023•山东•八年级专题练习）多边形的对角线：

多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从〃边形的一个顶点出发有条对角线，将〃边

形分成个三角形，一个〃边形共有条对角线.

【答案】任意不相邻（”3）（72-2）巴展1

【分析】根据多边形的对角线的定义作答即可.

【详解】解：多边形的对角线是指连接多边形任意不相邻的两个顶点的线段，从〃边形的一个顶点出发有

（〃-3）条对角线，将“边形分成（〃-2）个三角形，•个〃边形共有小合1条对边线.

故答案为：任意不相邻，（〃-3）,（〃-2）,当刍.

【点睛】本题考查多边形的对角线.解题的关键在于熟练掌握多边形对角线的定义，对角线的条数等知识.

例6.（2023春・重庆七年级月考）乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入

其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：

多边形的顶点数45678…n

从一个顶点出发

12345•••—

的对角线的条数

多边形对角线

2591420•••—

的总条数

⑴观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整；

⑵实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学.同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之

间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？

⑶类比归纳：乐乐认为(1),(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的

发现.

【答案】(l)n—3,；n(n—3)；(2)135个；(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点.

【分析】(1)依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论；

(2)依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量；

(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点，进而得到每人要给不同组的同学打一个电话,

则每人要打(n-3)个电话，据此进行判断.

【详解】解•：(1)由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3,多边形对

角线的总条数为3n(n-3)；故答案为n-3,n(n-3)；

(2)03x6=18,13数学社团的同学们一共将拨打电话为Jxl8x(18-3)=135(个)；

⑶每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；

每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n—3)个电话；

两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为gn(n-3)；

数学社团有18名同学，当n=18时，yxl8x(18-3)=135.

【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线.从n个顶点出

发引出(n-3)条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：(n-3)(n>3,且n为整数).

课后专项训练

1.（2023•湖北•七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（）

A.46个B.55个C.56个D.67个

【答案】C

【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题.

【详解】设直线条数有〃条，分成的平面最多有机个.

有以下规律：

nm

11+1

21+1+2

31+1+2+3

〃（〃+1）

nm=l+l+2+3+...+/?=----------+1,

2

团根据表中规律，当直线为10条时,把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+...+10=56；故选C.

【点睛】本题考查了过平面上两点有且只有一条直线，体现了数形结合的思想.

2.（2023秋•四川成都•七年级校考阶段练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有

A,B,C,D四点•点P沿直线I从右向左移动，当出现点P与A,B,C,D四点中的至少两个点距离相等时，

就会发出警报，则直线I上会发出警报的点P最多有（）

/一P

ABCD

A.4个B.5个C.6个D.7个

【答案】C

【分析】点P与A,B,C,D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点•而图

中共有线段六条，所以出现报警次数最多六次.

【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，

,・,图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA•••发出警报的可能最多有6个故选C.

【点睛】本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办

法，可以减去不必要的讨论与分类.

3.（2023秋•山东青岛•七年级校考期末）如图，AB是一段高铁行驶路线图图中字母表示的5个点表示5个

车站在这段路线上往返行车，需臼制（）种车票.

ABCDE

A.10B.11C.20D.22

【答案】C

【分析】分析观察可以发现，每个乍站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制（5-1）

种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式.

【详解】解：5x（5-1）=20,故选：C.

【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作

为起始站，可以到达除本站外的任何一个站.

4.（2023•河北邯郸•七年级校考期末）由邯郸到北京的某•次列车，运行途中停靠的车站依次是：邯郸一邢

台一石家庄一保定一北京，那么要为这次列车制作的火车票有（）

A.9种B.20种C.10种D.72种

【答案】A

【详解】共需制作的车票数为：4f3+2+l,=2x10,=10（种）.故选A.

5.（2023・湖北荆门•七年级统考期中）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（）

A.1B.2C.3或2D.1或2或3

【答案】D

【分析】本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交

或交于同一点.

【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为L

当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2；

当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3；故选D.

【点睛】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题

6.（2023春•江苏•七年级专题练工）如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交

点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，......，〃（〃22,且〃是整数）条直

线相交最多能有（）

A.（2〃-3）个交点B.（3屋-6）个交点C.（4〃-10）个交点D.1）个交点

【答案】D

【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：〃-1）

【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3个交点；

4条直线相交有1+2+3=6个交点；5条直线相交有1+2+3+4=10个交点；

6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点；…

n条直线相交有1+2+3+4+...+（n-1）故选：D

【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有

（〃一1）个交点.

7.（2023春•山东淄博•七年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出加条对角线，它们将五边形分

成,个三角形，则川的值为（）

A.9B.8C.6D.5

【答案】B

【分析】〃边形从一个顶点出发可引出（〃-3）条对角线，它们把〃边形分成（〃-2）个三角形，由此即可计算.

【详解】解：•••从五边形的一个顶点出发，可以画出5-3=2条对角线，它们将五边形分成5-2=3个三角

形，.•."?=2,〃=3,，/的值为23=8.故选：B.

【点睛】本题考查多边形的对角线，关键是掌握：〃边形从•个顶点出发可引出（〃-3）条对角线，把〃边形

分成（〃-2）个三角形.

8.（2023春・浙江•八年级专题练习）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则

此多边形的边数为（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【分析】根据多边形对角线定义可知，一个〃边形某个顶点除了不能和自身以及左右两个相邻的顶点连成对

角线外，其余的(〃-3)个顶点都能与其连成对角线，这(〃-3)个对角线将多边形分成(〃-2)个三角形，结合

此多边形被对角线分成4个三角形，得到〃-2=4,解方程求出多边形边数即可得到答案.

【详解】解：根据题意，一个〃边形过某个顶点所有对角线条数为(〃-3),这(〃-3)个对角线将多边形分成

(“2)个三角形，•.•此多边形被对角线分成4个三角形，2=4,解得〃=6,故选：B.

【点睛】本题考查多边形对角线的定义及实际应用，分析出多边形对角线条数以及将多边形分成的二:角形

个数，由题意列出方程是解决问题的关键.

9.(2023秋•广东七年级月考)平面内有7条直线，这7条直线两两相交，最多可以得到。个交点，最少可

以得到〃个交点，则〃的值是()

A.16B.22C.20D.18

【答案】B

【分析】分别求出2条直线、3条直线、4条直线...的交点个数，找出规律即可解答.

【详解】解：如图：2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有1+2个交点，

4条直线相交最多有1+2+3个交力，…〃直线相交最多有1+2+3+4+5+...+(〃-1)=也二D个交点.

2

6x7

07直线相交最多有1+2+3+4+5+...+6=—=21个交点.

酊条直线两两相交最多可以得到21个交点，最少可以得到1个交点，

【点睛】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是〃条直线相交时最少有

一个交点.

10.(2023春•山东泰安•七年级校考阶段练习)如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交

点，4条直线相交最多有6个交点…按这样的规律若〃条直线相交交点最多有36个，则此时〃的值为()

A.10B.9C.8D.7

【答案】B

【分析】2条直线相交有1个交点，3条直线相文最多有1+2=3个交点，4条直线相交最多有1+2+3=6个交

点……按这样的规律，〃条目线相交的交点最多是I+2+3+4+…+〃-l=g〃(〃-1)个交点，再把各选项的〃的

值代入计算即可解答问题.

【详解】解：2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有1+2=3个交点，

4条直线相交最多有1+2+3=6个交点...，

按照i文样的规律,〃条直线相交的交点最多是1+2+3+4心・・+〃-1=[〃(〃-1)个交点，

当”=10时，则:〃(〃-1)=；X10X9=45,当〃=9时，则;〃(〃-1)=Jx9x8=36,

当八=8时，则(〃-I)=gx8x7=28,当〃=7时，则(〃-1)=gx7x6=2],

答:若〃条直线相交交点最多有36个，则此时〃的值为9.故选B.

【点睛】此题考查的是相交线及规律性题目，解答此题关键是根据直线的条数变化得到的交点个数的变化，

得出规律，再利用规律进行计算即可解答问题.

11.(2023•四川成都•七年级校考期末)成都与重庆之间往返的动车，除起始站和终点站外中途都有3个停

靠站，则铁路部门针对此动车需要发售_________种不同行程的动车票.

【答案】20

【分析】根据题意画出示意图，数出线段的条数，再根据往返是两种不同的车票，可得答案.

【详解】解：由图知：成都与重庆之间往返的动车，中途还需停靠3个站，共有10条线段，

ABCDE

团往返是两种不同的车票，回铁路部门对此运行区间应准备20种不同的火车票.故答案为20.

【点睛】此题主要考查了数学知识解决生活中的问题：需要掌握正确数线段的方法.

12.(2023秋•辽宁沈阳•七年级统考期末)过五边形的一个顶点有条对角线.

【答案】2

【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出〃

边形从一个顶点出发可引出（”-3）条对角线.

【详解】从五边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的2个顶点引对角线，即能引出2条对角线，

故答案为：2.

【点睛】本题考查多边形的性质，从〃边形的•个顶点出发，能引出（〃-3）条对角线.

13.（2023秋•河南郑州•七年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出，"条对角线，并把这个正

八边形分成〃个三角形，则，〃+〃=.

【答案】11

【分析】过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个

八边形分成6个三角形，据此求得以〃的值，继而即可求解.

【详解】解：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将

这个八边形分成6个三角形，即〃+〃=5+6=11,故答案为：11.

【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过多边形的一个顶点的对角线条数为（〃-3）是解题的关键.

14.（2023秋•重庆•七年级期中）如图所示，过六边形的顶点A的所有对角线可将六边形分成个三角

形.

【答案】4

【分析】从〃边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（〃-2）个三角形,

依此作答.

【详解】解：过六边形的顶点A的所有对角线可将六边形分成6-2=4个一角形.故答案为4.

【点睛】本题主要考查多边形的对角线，从〃边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的

三角形个数为〃-2.

15.（2023秋•山东德州•八年级校考期中）从多边形的一个顶点所引的对角线，把这个多边形分成7个三角

形，则这个多边形共条对用线.

【答案】27

【分析】经过〃边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成5-2）个三角形，根据此关系式求边数，再求

出对角线.

【详解】解：设这个多边形有〃条边，〃-2=7,解得：〃=9,

团这个多边形的对角线条数：业一，=9x（9.3）=27.故答案为：27.

22

【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成

的三角形的个数的关系列方程求解.多边形过一个顶点引的对角线将多边形分为（〃-2）个三角形，一共有

"二"条对角线.

2

16.（2023秋•黑龙江绥化•八年级校考期中）从十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成三角形

的个数是，十二边形的对角线的条数是

【答案】1054

【分析】根据多边形有的性质一个顶点引（〃-3）条对角线，分成（〃-2）个三角形，总共有党工条对角

乙

线可得答案.

【详解】解：由多边形公式可得，卜二边形的一个顶点作对角线，把这个卜二边形分成12-2=10个三角

形，总共有12X（；2-3）=54条对角线，故答案为：10,54.

【点睛】本题考查多边形的性质，解题关键是熟知几个性质.

17.（2023秋•河南许昌•七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁

路开始空载试运行，未来“双城生活模式''指日可待.图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘

客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备种不同的车票.

【答案】20

【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可.

【详解】解：5个点中线段的总条数是4x5+2=10（种），

13任何两站之间,往返两种车票,回应印制10x2=20（种）,故答案为:20.

【点睛】此题考查了数线段'解决本题的关键是掌握“直线上有〃个点'则线段的数量有曲总条

18.（2023•北京•七年级校考阶段练习）表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：

4

图形X•••

直线条数234

最多交点个数13=1+26=1+2+3・・・

按此规律，6条直线相交，最多有个交点；n条直线相交，最多有个交点.（n为正整数）

【分析】根据观察，可发现规律：n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）.

【详解】6条直线相交，最多有个交点1+2+3+4+5=15；

n条直线相交，最多有1+2+3+（n-1）=故答案是：15,也」1.

22

【点睛】考查了直线，每两条直线有一个交点得出n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）是解题关键.

19.（2023•浙江嘉兴•七年级统考期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，