高中数学总结归纳点击面面垂直的判定与性质

高中数学总结归纳点击面面垂直的判定与性质一、面面垂直的定义与基本概念（一）二面角1.二面角的定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。若棱为l，两个面分别为α，β，则该二面角可记为αl2.二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。3.二面角平面角的求法定义法：根据二面角平面角的定义，在棱上找一点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，得到二面角的平面角，再通过解三角形求出该角的大小。垂面法：作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。三垂线法：过二面角一个面内一点作另一个面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足在棱上的垂足，由三垂线定理可知，斜线与棱所成的角就是二面角的平面角。（二）面面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。平面α与平面β垂直，记作α⊥二、面面垂直的判定定理（一）判定定理内容如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。符号表示：若l⊥β，l⊂（二）证明思路与原理设平面α经过平面β的垂线l，l∩β=A，在平面β内过点A作直线m垂直于l与β的交线。因为l⊥β，所以l⊥m，又m在平面β内，且（三）判定定理的应用题型1.线面垂直证明面面垂直例1：已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC证明：因为PA⊥平面ABC，BC又因为AB⊥BC，PA∩AB=A，而BC⊂平面PBC，由面面垂直的判定定理可知，平面2.通过计算证明面面垂直例2：在长方体ABCD中，AB=3，AD=4，A证明：连接AC交BD于点O，连接在长方体ABCD中，底面ABC因为E为C中点，所以OE又因为A⊥平面ABCD，所以而OE⊂平面BDE，根据面面垂直的判定定理，可得平面三、面面垂直的性质定理（一）性质定理内容如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：若α⊥β，α∩β=l，（二）证明思路与原理设二面角αl−β是直二面角，在平面β内过交线l上一点A作b⊥l。因为二面角αl−β是直二面角，所以a⊥b，又（三）性质定理的应用题型1.证明线面垂直例3：已知平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，b证明：因为平面α⊥平面β，α∩β=l，a又因为b⊂β，所以2.求解线面角和点到平面的距离例4：在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB解：取AB中点D，连接P因为△PAB又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面AB在等边△PAB中，AB=2，则PD四、面面垂直判定与性质的综合应用（一）与平行关系的综合1.线面平行与面面垂直例5：已知平面α⊥平面β，α∩β=l，直线a证明：过直线a作平面γ与平面α相交于直线b。因为a∥α，a⊂γ，又因为a⊥l，所以因为平面α⊥平面β，α∩β=l由于a∥b，所以2.面面平行与面面垂直例6：已知平面α∥平面β，平面γ⊥平面α，求证：平面γ⊥证明：设平面γ∩平面α=，在平面γ内作直线因为平面γ⊥平面α，γ∩α又因为平面α∥平面β，所以a而a⊂γ，根据面面垂直的判定定理，可得平面γ⊥（二）在立体几何综合问题中的应用1.求二面角的大小例7：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥解：连接AC交BD于点O，连接因为PA⊥底面ABCD，B又因为底面ABCDPA∩AC=A，PA，A则BD⊥PO，BD⊥A在Rt△PAO中，PA=2，AO=，则2.求几何体的体积例8：在三棱柱ABC中，平面ABC⊥平面AC，∠B解：因为平面ABC⊥平面AC，∠BAC=，即BA⊥AC，平面=×三棱柱ABC的体积五、面面垂直判定与性质的易错点与注意事项（一）判定定理使用的易错点1.在使用面面垂直的判定定理时，容易忽略“一个平面经过另一个平面的一条垂线”这个条件。例如，只知道一条直线与一个平面内的一条直线垂直，就错误地认为这条直线所在平面与该平面垂直，实际上必须是这条直线垂直于另一个平面才行。2.在证明线面垂直时，可能会出现逻辑不严谨的情况。比如，在证明直线垂直于平面内两条相交直线时，没有明确指出两条直线相交这一关键条件。（二）性质定理使用的易错点1.运用面面垂直的性质定理时，常常会遗漏“在一个平面内垂直于它们交线”这个前提。如果只知道两个平面垂直，而没有在其中一个平面内找到垂直于交线的直线，就不能得出直线垂直于另一个平面的结论。2.在利用面面垂直性质定理证明线面垂直后，后续推理中可能会错误地使用线面垂直的结论。例如，错误地认为垂直于一个平面的直线与该平面内的所有直线都平行等。（三）综合应用时的注意事项1.在解决面面垂直与平行关系综合的问题时，要准确区分不同的判定定理和性质定理，避免混淆。例如，在证明面面平行与面面垂直的关系时，要清楚是先利用面面平行的性质得到线面关系，再利用面面垂直的判定定理，还是反之。2.在立体几何综合问题中，如求二面角大小和几何体体积时，要准确找出二面角的平面角和合适的高。在求二面角平面角时，要严格按照二面角平面角的定义来寻找，不能主观臆断；在求体积时，要确保高的选取符合线面垂直的条件。六、总结面面垂直的判定与性质是立体几何中的重要内容，它们相互关联，在解决立体几何问题中起着关键作用。判定定理为我们提供了证明两个平面垂直的方法，主要是通过证明线面垂直来实现；而性质定理则是在已知两个平面垂直的前提下，得