材料力学教学课件415

材料力学明德行远交通天下主讲教师郑佳艳第一章绪论主要内容§1-1材料力学的任务§1-2变形固体和基本假设§1-3内力和应力§1-4变形和应变§1-5工程结构分类§1-6杆件的基本变形§1-1材料力学的任务材料力学：研究物体受力后的内在表现，即变形规律和破坏特征。强度(Strength)刚度(Stiffness)稳定性(Stability)一、基本概念强度——

杆件在荷载作用下，抵抗破坏或塑性变形

的能力。刚度——

杆件在荷载作用下，抵抗弹性变形的能力。

稳定性——杆件在压力荷载作用下，保持其原有平衡

状态的能力。在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。即：1）研究材料的力学性能

2）研究构件的强度、刚度和稳定性

3）合理解决安全与经济之间的矛盾二、研究任务三、工程结构中的强度、刚度和稳定性问题

翻斗货车的液压机构中的顶杆，如果承受的压力过大，或过于细长，就有可能突然由直变弯，发生稳定失效。空间站和航天器§1-2变形固体和基本假设变形：在载荷的作用下，构件的形状及尺寸发生的变化

一、基本概念

弹性变形：外力解除后能够完全消失的变形

塑性变形：外力解除后不能消失的变形二、变形固体分类块体——长、宽、高三个方向上尺寸差异不大的变形固体。板——某两个方向的尺寸远大于另一个方向的尺寸的变形固体。

通常将平分厚度的面称为中面，中面是平面的称为平板，

中面是曲面的称为壳体。杆件——某一个方向的尺寸远大于另两个方向的尺寸的变形固体。a）块体b）平板c）壳体d）杆件三、基本假设1、连续性假设

：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。（数学）

低碳钢的显微组织灰铸铁的显微组织2、均匀性假设

物体内的任何部分，其力学性能相同（力学）3、各向同性假设

在物体内各个不同方向的力学性能完全相同（这样的材料称为各向同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各向异性材料。）（物理）

材料力学研究的前提条件小变形假设：变形与本身的尺寸相比很小§1-3内力和应力一、内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。二、截面法求内力的一般方法是截面法。截面法是指用一个假想截面沿拟求杆件内力处截开，使之一分为二，然后任意取出其中一部分为隔离体，对其进行受力分析，将舍弃部分对留下部分的作用用内力代替，利用平衡条件求解内力的方法。以图a所示的AB杆为例，介绍截面法求内力的过程。mmmm

x

y

zFM

欲求AB杆中C截面处的内力，用一假想m-m截面沿C截面处截开，使杆件AB变成AC和CB两部分，如图b所示。取AC为隔离体，将截面C上的分布内力简化为主矢和主矩，用F和M表示，如图c所示Ca）

截面法求内力的一般步骤：1）

截：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。2）取：任取一部分，弃去另一部分。3）代：用相应的内力代替舍去部分对留下部分的作用。4）平：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。三、应力1.定义：内力的分布集度。①平均应力：②全应力（总应力）：2.应力的表示：应力是一个矢量

△A上的内力平均集度为:当△A趋于零时，pm的大小和方向都将趋于某一极限值。

p称为该点的应力，它反映内力系在该点的强弱程度。③全应力的分解：p

M

垂直于截面的应力分量称为“正应力”

位于截面内的应力分量称为“剪(切)应力”

应力单位:牛顿/米2帕斯卡（Pa）1KPa=103Pa1MPa=103KPa1GPa=103MPa§1-4变形和应变一、正应变和切应变变形——物体尺寸或形状的改变。dx

1、单元体

单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。

单元体的性质—a、平行面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。

dx+dudxdx

2、线应变——单位长度线元的变形量。沿x轴方向的线应变为：简称应变，用

表示。

3、切应变——微元直角的改变量，用γ表示。

弧度（rad）二、应力与应变的关系实验结果表明，对于受正应力和切应力的微元体，当应力不超过某一确定的值时，其应力与应变成正比例关系，称为胡克定律。E——弹性模量或杨氏模量（Pa）

或

G——剪切模量（Pa）

或剪切胡克定律

材料发生变形后，其横向变形量与纵向变形量绝对值之比称为泊松比，用

表示。

§1-5工程结构分类根据使用材料，可将工程构件大致分为木结构、砌体结构、钢结构、钢筋混凝土结构。木结构——用木材制成的工程结构砌体结构——用砖、石材或砌块砌筑而成的工程结构，又称为砖石结构，钢结构——用钢材制成的工程结构钢筋混凝土结构——利用在混凝土中配置增强钢筋的办法制成的结构构件及工程结构，木结构砌体结构钢结构钢筋混凝土结构§1-6杆件的基本变形组合受力（CombinedLoading）与变形本章结束第二章轴向拉伸和压缩主要内容§2-1轴向拉伸与压缩的概念§2-2轴力及轴力图§2-3应力§2-4轴向拉伸或压缩杆件的变形及节点位移§2-5材料拉伸和压缩时的力学性能§2-6轴向拉伸和压缩杆件的强度计算§2-7轴向拉（压）杆的超静定问题§2-1轴向拉伸与压缩的概念a)b)一、基本概念轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。拉、压的特点：受力——外力的合力作用线沿轴线、大小相等、方向相反。变形——沿轴线伸长或缩短.伴随横向缩扩。二、工程实例§2-2轴力及轴力图1、截面法求内力一、轴力截：代：平：mm取：m-m截面取上部分为研究对象用内力代替舍去部分的作用内力的合力的作用线与杆件的轴线重合，称为轴向内力，简称为轴力。用FN

表示2.轴力的正负规定

FN

与外法线同向,为正轴力(拉力)FN与外法线反向,为负轴力(压力)FN>0FNFNFN<0FNFN二、轴力图--表明构件不同截面轴力的变化规律①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；②确定最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。意义例题2-1图a为一端固定，一端自由的直杆，分别在A、B、C截面受沿构件轴线方向的外力FA、FB、FC

作用。FA=4kN，FB=3kN，FC=2kN，试求：OC杆各段的内力并画出杆件的轴力图。解：（1）求支反力对OC:（2）求内力1-1截面，取右侧为研究对象同理,求得AB、BC段内力分别为：（3）作轴力图轴力图如图f所示。§2-3应力一、横截面上的应力1.变形规律试验及平面假设：结论：①原为平面的横截面在变形后仍为平面。

②

纵向纤维变形相同。平面假设:变形前为平面的横截面变形后仍保持平面且垂直于轴线由上述假设，所有纵向纤维的变形相同。2.横截面上的应力适用范围：①

均匀分布；②外力与轴线重合；③等直杆(截面无突变)。截面到载荷作用点有一定的距离。横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀有得到横截面上正应力公式为:危险截面：内力最大、横截面尺寸最小的截面。3.危险截面及最大工作应力危险点：应力最大的点。4.Saint-Venant原理

力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。

当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，杆件并非所有截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。5.应力集中（StressConcentration）：

在截面尺寸突变处，应力急剧变大。Saint-Venant原理与应力集中示意图(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)变形示意图：abcPP应力分布示意图：例题2-2如图a所示，横截面为正方形的杆件由CB段和AB段构成。已知F=30kN，求杆件的最大工作应力。a)b)3.5m2m30kN400mm90kNA200mmBC解：（1）计算各截面轴力并作轴力图BC段：AB段：（2）求最大工作应力BC段：AB段：结果表明，杆件的最大工作应力在BC段，其值为0.75MPa。二、斜截面上的应力设有一等直杆受拉力F作用，横截面面积为A。求：斜截面k-k上的应力。解：截面法求内力。由平衡方程：

Fa=F则：Aa：斜截面面积；Fa：斜截面上内力。由几何关系：则斜截面上的应力：kk分解：pa=通过构件上一点不同截面上应力变化情况。规定（1）方向：绕隔离体顺时针方向为正，反之为负。（2）方向：自横截面外法线方向逆时针旋转到斜截面外法线方向为正，反之为负。讨论：当=90°时，当=0,90°时，当=0°时，(横截面上正应力最大)当=±45°时，(45°斜截面上切应力最大)(纵向面间无力作用)pa=§2-4轴向拉伸或压缩杆件的变形及节点位移一、轴向变形和横向变形

1、杆的纵向变形

简称“线应变”纵向线应变：单位长度的线变形。

伸长

缩短

拉应变

压应变2、杆的横向变形横向线应变：

拉伸

压缩

拉伸

压缩二、拉（压）杆的胡克定律泊松比引入比例常数E，则：※“EA”称为杆的拉压刚度。试验表明：当材料在弹性范围内时，E——弹性模量，表征材料抵抗弹性变形的能力

①——胡克定律由①知：

②

范围：针对杆件中的一个点1、胡克定律2、应用1）、L内，FN、A、E分段为常数2）、L内，FN

或A为函数3）、简单结构的变形和位移FN(x)3、泊松比试验发现：当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应变和横向应变存在如下的比例关系例题2-3杆件尺寸及受力如图a所示。已知，AC段横截面面积，CD段横截面面积。试求：阶梯杆AD的总变形，B、C、D截面的位移。，，解：（1）求支座反力对整体：（2）绘制轴力图如图b所示。（3）变形计算根据胡克定律AB段:

（伸长）（缩短）

（伸长）CD段:BC段:

总变形为（4）位移计算因为A为固定端，因此A截面无位移。

B截面的位移大小即为AB段的变形量。所以B截面的位移为

C截面的位移为

D截面的位移为§2-5材料拉伸和压缩时的力学性能力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。一、试验条件及试验仪器1、试验条件：常温(20℃)、静载

标准试件。l/d:1～32、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）万能材料试验机引伸仪百分表二、低碳钢试件的拉伸试验1、弹性阶段(OB段)OA

--比例段:

p--比例极限AB--曲线段:

e--弹性极限2、

屈服阶段（BC段）

s---屈服极限塑性材料的失效应力:s滑移线：3、强化阶段（CD段）卸载定律：

ｂ---强度极限冷作硬化：冷作时效：塑性应变弹性应变4、局部变形阶段（DE段）

1）、延伸率:

2）、断面收缩率：

3）、脆性、塑性及相对性颈缩现象5、塑性指标三、无明显屈服现象的塑性材料名义屈服应力:

0.2

，即此类材料的失效应力。四、铸铁拉伸时的机械性能

ｂ---铸铁拉伸强度极限（失效应力）五、材料压缩时的力学性能

ｂc---铸铁压缩强度极限；

ｂc

（4—6）

ｂt

§2-6轴向拉伸和压缩杆件的强度计算1、最大工作应力：一、极限应力、许用应力、安全因数2、许用应力n------安全系数,n﹥1——材料工作时允许达到的应力，用表示。极限应力（危险应力）：材料即将失效的应力，用表示.(塑性)(脆性)应用：①、强度校核：二、强度条件②、设计截面尺寸：③、确定许可荷载：

保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。例题2-4

某一起吊结构简图如图所示，A点受一竖直向下的力F作用，AB杆为钢杆，横截面面积，许用应力;AC杆为木杆，横截面面积，许用应力（1）若F=10kN，试校核两杆的强度；（2）求结构的许可荷载[F]；（3）根据许可荷载[F]，重新选择杆件的截面。。试求：解：（1）校核两杆强度取A点为研究对象，受力如图所示。

解得（拉力）（压力）所以，AB杆和AC杆均满足强度要求。（2）求许可荷载两杆所能承受的许可轴力分别为结构的许可荷载为所以（3）重新选择杆件的截面由计算结果可知，当作用的荷载为时，AC杆已充分发挥作用，所以。但AB杆强度有余，需要重新设计其截面。因故§2-7轴向拉（压）杆的超静定问题一、基本概念静定问题——仅需静力平衡方程即可求出结构的全部内力或支座反力。超静定问题——仅通过平衡方程不能求解或不能完全求解结构的内力

或支座反力。超静定次数——未知力数目与独立平衡方程数目的差。多余约束——在静定结构上附加的约束。二、超静定问题的求解

在求解超静定问题时，除利用静力平衡条件建立平衡方程外，还需考虑结构变形关系，建立补充方程，使补充方程的数目等于超静定次数，这种变形之间的关系称为变形协调关系或变形协调条件。求解拉（压）杆超静定问题的一般步骤如下：1）画受力图；2）列平衡方程；3）画节点位移图（小变形放大图）；4）由变形协调条件建立几何方程；5）将物理关系代入几何方程，得补充方程；6）联立静力平衡方程和补充方程，解出所有未知力。例题2-6如图a所示结构由三根相同材料制成的杆件构成。AB杆的横截面面积为

，AC杆横截面面积为，AD杆横截面面积为。结点A处作用一竖直方向的力F=40kN。试求各杆的内力。解：（1）取节点A为研究对象（2）列平衡方程

（a）

（b）即：（3）画节点A的位移图（4）建立变形几何方程整理得：（5）建立补充方程几何关系知：物理关系代入变形几何方程得

（6）求内力联立（a）、（b）、（c）求解，可得

（拉力）

（拉力）

（压力）

（c）本章结束第三章剪切主要内容§3-1剪切的概念和工程实例§3-2剪切的实用计算§3-3挤压的实用计算§3-1剪切的概念和工程实例一、基本概念剪切：垂直于杆轴线、大小相等、方向相反且作用线相距很近的一对力作用剪切面：构件将发生相互的错动面，如m–m

。单面剪切双面剪切

复杂双面剪切二、剪切的工程实例

铆钉或高强螺栓连接销轴连接

铆钉连接榫连接§3-2剪切的实用计算一、连接处破坏三种形式①剪切破坏沿铆钉的剪切面剪断，如沿m–m面剪断

。②挤压破坏铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃压连接松动，发生破坏。

③拉伸破坏以铆钉为例：钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。二、实用计算方法

根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，进行强度计算。适用：构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。实用计算假设：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪切面上的平均应力。1、剪切面--AS：错动面。

剪力--FS：剪切面上的内力。2、名义切应力--

3、剪切强度条件（准则）mm（合力）（合力）FFFmmFS剪切面工作应力不得超过材料的许用切应力。极限切应力§3-3挤压的实用计算一、基本概念挤压：构件局部面积的承压现象。挤压力：在挤压面上的合力，记Fbs。hFbsFbs挤压面积：接触面在垂直Fbs方向上的

投影面的面积,记Abs。挤压面积h二、挤压强度条件（准则）：

工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。挤压应力：

bs。——许用挤压应力设计尺寸设计荷载校核强度三方面应用：例题3-1如图所示，构件尺寸分别为D=42mm，d=30mm，h=18mm，t=14mm。，螺栓抗剪强度为140MPa，螺栓抗压强度为170MPa，螺栓抗拉强度为275MPa，试校核该构件的螺栓是否满足强度要求。解：先分析螺栓的剪切面积和挤压面积剪切面积为

挤压面积为

根据平衡条件可得挤压力为螺栓截面切应力为螺栓侧面挤压应力为最后校核钢板的拉伸强度，由于板在通过铆钉孔圆心处的横截面面积最小，故该截面为危险截面。危险截面面积为根据平衡条件可得钢板危险截面拉伸应力为故螺栓满足强度条件例题3-2某接头部分销钉如图所示，F=110kN，试求销钉的切应力和挤压应力。解：先分析销钉的剪切面积和挤压面积销钉的剪切面积为销钉的挤压面积为根据平衡条件，可得切应力挤压应力整体应力云图局部应力云图τ=F/A=81MPaF=110kN固定12mm36mm数值模拟本章结束第四章扭转主要内容§4-1扭转的概念§4-2扭矩及扭矩图§4-3材料扭转时的力学性能§4-4圆轴扭转时的应力及强度计算§4-5圆轴扭转时的变形及刚度计算§4-1扭转的概念2.轴以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。1.扭转外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。BA汽车的转向（轴）操纵杆3、扭转角（

）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。4、切应变（

）：直角的改变量。mm

OBA

工程实例§4-2扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩假设一传动轴的转速为n（r/min），功率为P（kW）。外力偶每秒所做的功为外力偶每秒所做的功即为输入的功率3扭矩的符号规定

“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图

1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩MeMeTxMenn扭矩T的符号规定：4扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。例题4-1已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDM2

M3

M1

M4解：①计算外力偶矩nABCDm2m3m1m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）同理③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDm2m3m1m44.789.566.37

–§4-3材料扭转时的力学性能圆轴扭转时的应力-应变曲线

低碳钢铸铁屈服强度强度极限试验测定：低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45

的螺旋线断开。

塑性：抗拉=抗压﹥抗剪

脆性：抗压﹥抗剪﹥抗拉§4-4圆轴扭转时的应力及强度计算1.横截面变形后仍为平面；

2.轴向无伸缩；

3.纵向线变形后仍平行。一、等直圆杆扭转实验二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.几何关系：距圆心为

任一点处的

与到圆心的距离

成正比。——扭转角沿长度方向变化率。Ttmaxtmax2.物理关系虎克定律：代入上式得：3.静力学关系TOdA

令代入物理关系式得：—横截面上距圆心为

处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。单位：mm4，m4。对实心圆截面：D

dO对于空心圆截面：dDO

dTtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。④应力分布⑤确定最大剪应力：由知：当Wp—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对实心圆截面：对空心圆截面：例题4-2一个空心圆直杆和一个实心圆直杆，两端受相同的外力偶作用。若两轴的最大切应力相等，实心圆杆的直径d1，空心杆的外径为D，内径为d2，且试求两杆的外径之比

以及两杆的面积之比。解：因两杆的扭矩和最大切应力相等，则实心杆和空心杆的抗扭截面系数相同。则实心圆杆与空心圆杆的面积之比为三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45

的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。1、切应力互等定理上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb

dy´´tz

1）.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)tt´tt´(c)2）.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)

t´t

tasax2、斜截面上的应力(d)

t´t

tasaxnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“–”由平衡方程：解得：分析：当

=0°时，当

=45°时，当

=–45°时，当

=90°时，tt´smaxsmin45°

由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角

=

45

的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。

塑性：抗拉=抗压﹥抗剪

脆性：抗压﹥抗剪﹥抗拉因此，铸铁扭转断口特征：45°螺旋面。低碳钢扭转断口特征：横截面剪断。四、圆轴扭转时的强度条件强度条件：对于等截面圆轴：([

]称为许用剪应力。)强度计算三方面应用：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：例题4-3一等直圆轴，其直径为100mm，两端作用大小相等、方向相反的一对外力偶，且，若材料的许用切应力

，试校核该圆轴的强度。解：由截面法可知，圆轴的内力扭矩为圆轴最大工作应力为所以，此圆轴满足强度要求§4-5圆轴扭转时的变形及刚度计算一、扭转时的变形由公式知：长为l的杆两截面间相对扭转角

为相对扭转角（）

：两个横截面绕杆轴转动的相对角位移。二、单位扭转角

′

：或三、刚度条件或GIp——截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[

]——许用单位扭转角。刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。例题4-4一实心等直圆轴AC受力如图4-11所示，其直径为150mm，外力偶矩分别为,,,材料剪切模量G=80GPa，许用单位长度扭转角,试校核该轴的刚度。解：截面法求圆轴的内力为所以，AB段为危险截面。所以，该轴满足刚度条件。本章结束第五章弯曲内力主要内容§5-1弯曲的概念和工程实例§5-2静定梁的分类§5-3剪力和弯矩§5-4剪力、弯矩与荷载集度的关系§5-5叠加法作弯矩图§5-6平面刚架的内力图§5-1弯曲的概念和工程实例一、基本概念1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁：以弯曲为主要变形的杆件。变形特点：杆件的轴线由直线变为曲线。受力特点：外力垂直于杆件轴线或外力偶作用面在杆件轴线所在平面内。3.平面弯曲：杆件弯曲时，其变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合。4.对称弯曲：杆件变形后的轴线为该纵向对称面内的平面曲线。5.非对称弯曲：若杆件不具有纵向对称面，或者杆件虽具有纵向对称面但横向力或力偶不作用在其纵向对称面内，这种变形称为非对称弯曲。纵向对称面MP1P2q二、

工程实例

桥梁悬臂托架吊车梁火车车轴§5-2静定梁的分类一、梁的简化1.构件的简化用梁的轴线代替梁本身2.荷载的简化集中荷载集中力偶分布荷载均布荷载非均布荷载3.支座的简化连接结构和基础的装置，称为支座。（1）固定支座3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座、电线杆下端的支座等。XAYAMA（2）固定铰支座（3）可动铰支座2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。FN二、梁的三种基本形式①简支梁M—集中力偶q(x)—分布力②悬臂梁③外伸梁—集中力Pq—均布力静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。超静定梁：仅由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。超静定梁静定梁§5-3剪力和弯矩一、弯曲内力已知：如图，P，a，l。求：距A端x处截面上内力。PaPlYAXARBAABB解：①求外力ABPYAXARBmmx②求内力——截面法AYAFSMRBPMFS∴弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩：M

构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。CC2.剪力：FS

构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3.内力的正负规定①剪力FS:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。FS(+)FS(–)FS(–)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)②弯矩M：下拉为正弯矩；上拉为负弯矩。例题5-1简支梁AB尺寸及受力如图所示，求1-1截面和2-2截面的剪力和弯矩。二、例题解：（1）求支座反力解得（↑）（↑）（2）计算1-1截面的内力取1-1截面左侧为隔离体（3）计算2-2截面的内力取2-2截面右侧为隔离体解得解得剪力和弯矩的简易计算方法：剪力在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）梁段上所有外力在垂直于梁轴线方向上投影的代数和。弯矩在数值上等于该截面的任意一侧（左侧或右侧）梁段上的所有外力对该截面形心之矩的代数和。其正负号按前述规定:剪力以绕隔离体顺时针转向为正，逆时针转向为负；

弯矩以使隔离体下侧纤维受拉为正，上侧纤维受拉为负。三、剪力图和弯矩图1.内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。2.剪力图和弯矩图：)(xFSFS=剪力方程)(xMM=弯矩方程)(xFSFS=剪力图的图线表示)(xMM=弯矩图的图线表示例题5-2如图a所示的简支梁，在C点处受集中荷载

F作用，试写出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制其剪力图和弯矩图。FAxFAy

FB

解：（1）求支座反力解得（↑）（↑）(a)（2）列剪力方程和弯矩方程分段写AC和CB段剪力方程和弯矩方程AC段:BC段:（3）绘剪力图和弯矩图(b)FS图(c)M图AqBlFBFA例题5-3简支梁AB受均布荷载q的作用，如图a所示。试写出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出其剪力图和弯矩图。解：（1）求支座反力根据对称性及平衡方程

（↑）（2）列剪力方程和弯矩方程

(a)（3）作剪力图和弯矩图(b)FS图(c)M图BM例题5-4如图a所示的简支梁在C点处受矩为M的集中力偶作用，试写出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出其剪力图和弯矩图。FBFA解：（1）求支座反力由平衡方程（↑）（↓）（2）列剪力方程和弯矩方程(a)

AC段和BC段的弯矩方程不同，需分段列弯矩方程

（3）绘制剪力图和弯矩图(b)FS图(c)M图M/lMa/lMb/l结论：1）集中力或集中力偶作用处，应分段列梁的弯矩方程。推而广之，在梁上外力不连续处（即在集中力、集中力偶作用处和分布荷载的起点和终点处），应分区段列梁的弯矩方程。对剪力方程，除集中力偶作用处以外，也应分段列其方程。2）集中力作用处，剪力图有突变，其左右两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力的大小，而弯矩图上对应截面处形成一个尖角。集中力偶作用处，弯矩图有突变，其左右两侧横截面上的弯矩的代数差等于集中力偶的大小，但剪力图无变化。3）全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在全梁或各梁段的边界截面，或极值点截面处。§5-4剪力、弯矩与荷载集度的关系对dx

段进行平衡分析，有：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩与荷载集度的关系是：二、剪力图、弯矩图的形状特征外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0FS图特征M图特征CFCM水平直线xFSFS>0FSFS<0x斜直线增函数xFSxFS减函数xFSCFS1FS2FS1–FS2=F自左向右突变xFSC无变化斜直线xM增函数xM减函数曲线xMxM自左向右折角

自左向右突变与M反xM折向与F反向MxM1M2简易作图法:利用内力与外力的关系及特殊点的内力值作图的方法。例题5-5简支梁AB受集中力和集中力偶作用，如图a所示，试用微分关系作该简的剪力图和弯矩图。（a）FDFA解：（1）求支座反力解得（↓）（↓）（2）确定控制面选取A、B、C、D为控制截面，则梁被分为AB段、BC段、CD段。（3）绘剪力图和弯矩图例题5-6已知一悬臂梁AC受均布荷载和一个集中力偶作用，如图a所示。均布载荷集度为q，集中力偶矩Me=qa2。试利用微分关系绘制该梁的剪力图和弯矩图。解：（1）求支座反力取整体为研究对象

解得（↑）（

）（2）确定控制截面选取点A、B、C所在截面为控制截面，将悬臂梁分为均布荷载作用区段（AB）和无荷载作用区段（BC）。（3）绘剪力图和弯矩图§5-5叠加法作弯矩图一、叠加原理

多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。二、叠加原理作弯矩图的一般步骤1）分别作各荷载单独作用时梁的弯矩图。2）将各单一荷载作用下的弯矩图中相应截面的纵坐标叠加即可。

（注意：不是图形的简单拼凑）qqFF=+ABBBxM2xM1xM

+++=+例题5-8试按叠加原理作图a所示梁的弯矩图(AB=2a，F作用在梁AB的中点处）。AA§5-6平面刚架的内力图一、平面刚架1.平面刚架：同一平面内，由若干根杆件通过杆端刚性连接而组成的结构。2.内力图规定弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。刚架各杆的内力有：FN、FS、M。例题5-9刚架ABC如图a所示，其下端固定，在其轴线平面内受集中荷载

F1和F2作用，试作此刚架的内力图。二、举例分析：此刚架为悬臂刚架，故不求支座反力，直接求各杆的内力。（a）CB段：解：方程式法（b）（c）BA段：

（d）轴力图（e）剪力图（f）弯矩图绘制刚架的轴力图、剪力图和弯矩图分别如图d、e、f所示。ABC本章结束第六章弯曲应力主要内容§6-1纯弯曲时梁横截面上的正应力§6-2梁的正应力强度条件§6-3弯曲切应力及强度条件§6-4提高梁强度的措施§6-5梁的弹塑性弯曲§6-6残余应力的概念§6-1纯弯曲时梁横截面上的正应力一、平面弯曲与纯弯曲平面弯曲——所有外力（包括力、力偶）都作用在梁的同一主轴平面内只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。aaABFSMxx纯弯曲(PureBending)横力弯曲——梁横截面上既有弯矩，又有剪力。二、纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲前弯曲后1.梁的纯弯曲实验1)横向线变形后仍为直线，但有转动；2)纵向线变为曲线，且上缩下伸；3)横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律MMbdacabcd中性层纵向对称面中性轴

横截面上只有正应力。

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

（可由对称性及无限分割法证明）3.推论2.两个概念

中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线。MMA1B1O2O14.几何方程

mnmnABdqrxy)))O1O2)dx（二）物理关系假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应力状态。ss（三）静力学关系（对称面）……(c)EIz杆的抗弯刚度。（四）最大正应力Dbh圆截面：矩形圆截面：DdDd=abBhH应力分布如何？例题6-1承受均布荷载的简支梁如图所示。已知矩形梁的长

，宽，高，均布荷载集度试求：梁最大弯矩截面上1、2两点处的正应力。FAFB解：(1)确定最大弯矩截面及最大弯矩

（↑）最大弯矩在梁的中点处，其值为(2)计算横截面对中性轴的惯性矩(3)求弯矩最大截面上1、2两点的正应力（拉）（压）§6-2梁的正应力强度条件一、危险面与危险点分析一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘sssM二、正应力强度条件三、强度条件应用、校核强度：

校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：对用铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的许用拉应力和许用压应力不同，而梁横截面的中性轴往往也不是对称轴。注意：许用拉应力许用压应力

例题6-2如图a所示，一跨度为l=2m的木梁，其横截面为矩形，宽b=50mm，高h=100mm。梁承受竖向均布荷载，试求：（1）若截面竖直放置时，如图b所示，梁上最大正应力。（2）若截面横向放置时，如图c所示，梁上最大正应力。（3）比较上述两种放置方式哪种更合理。（a）（b）（c）解：（1）

求内力无论截面如何放置，梁的最大弯矩均在跨中截面处（2）当截面竖直放置时，其形心主惯性矩为最大应力为（3）当截面横向放置时，其形心主惯性矩为最大应力为（4）截面横向放置和竖直放置时的最大正应力之比为因此，在相同条件下，矩形截面梁竖直放置更安全，更合理。例题6-3T字形等截面铸铁托架受力及AB梁的横截面尺寸如图a所示。已知F=10kN，铸铁的许用应力，，AB梁长l=300mm，试校核AB梁的强度。（a）解：（1）AB梁的弯矩图和B端截面的应力分布情况分别如图b、c所示（b）（c）（2）

确定T字形截面的形心位置所以

（平行移轴定理）

（4）

校核强度因此该托架的AB梁满足强度条件。§6-3弯曲切应力及强度条件一、矩形截面梁横截面上的切应力1、两点假设：

切应力与剪力平行；

距中性轴等距离处，切应力相等。2、研究方法：分离体平衡。

在梁上取微段如图b；

在微段上取一块如图c，平衡条件dxxFS(x)+dFS

(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dxsxyzs1t

tb(a)(b)(c)dxxFS(x)+dFS

(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dxsxyzs1t

tb(a)(b)(c)横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩切应力互等定理——横截面上的剪力（N）；——横截面对中性轴的惯性矩（m4）；b——矩形截面的宽度（m）；——所求切应力点以外部分的面积对中性轴的静矩（m2）矩形截面梁弯曲切应力的计算公式FSt方向：与横截面上剪力同向；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h呈二次抛物线分布。最大切应力为平均切应力的1.5倍。矩形截面：二、工字形截面梁的切应力研究方法与矩形截面同。切应力的计算公式为：FS——剪力；

——y点以下的面积对中性轴的静矩；t——腹板厚度

;»maxth0

FSt结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂切应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大切应力h0

—腹板高度。三、圆截面梁的切应力假设：1）距中性轴为y的AB弦上各点的切应力方向均汇交于A、B处的切线的交点上。2）沿宽度方向上，各点的切应力沿y轴方向的分量相等。四、切应力强度条件需要校核切应力的几种特殊情况：

铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时;

梁的跨度较短，M

较小，而FS较大时;

各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差时。例题6-4悬臂梁AB受力如图所示。已知q=2kN/m，F=1.6kN，材料的许用拉应力为，许用压应力为

。试求：

(1)绘制固定端截面上的正应力和切应力沿截面高度的分布图。(2)校核AB梁的正应力强度。（a）解：（1）绘制悬臂梁的FS和M图，如图b、c所示。（2）

确定中性轴位置（3）

计算截面的形心主惯性矩可能危险截面

（b）（c）（4）正应力强度校核A截面C截面该梁满足正应力强度要求。（d）（e）（5）绘制固定端A截面上的切应力中性轴处切应力为：横截面A上切应力分布情况如图

f所示。（f）§6-4提高梁强度的措施一、

选择合理的截面形状使W/A尽可能大W/A0.167h0.167b0.125d0.205D二、采用等强度梁即Px各截面的最大正应力都相等，这种梁称为等强度梁则确定等强度梁的抗弯截面模量沿长度的变化规律。若梁为矩形截面，则该截面的抗弯截面模量为宽度高度若梁的宽度不变，即(常数)，则

梁的形状如图若梁的高度不变，即(常数)，则梁的形状如图圆形截面的等强度梁F三、

调整梁的受力1、改变荷载作用方式（b）（a）图（a）图（b）2、调整梁的约束（b）（a）图（a）图（b）合理支座位置:使梁的中间截面上的最大弯矩正好等于支座处截面上的弯矩。§6-5梁的弹塑性弯曲ssss全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。sessss理想弹塑性材料的s-e图ssss弹性极限分布图塑性极限分布图纯弯曲矩形截面梁屈服弯矩:极限弯矩:形状系数考虑材料的塑性后，矩形截面梁的承载能力提高了50%。§6-6残余应力的概念一、残余应力的定义与分类残余应力——结构在没有外力作用时，内部存在自身平衡的内应力。宏观结构应力微观结构应力晶内亚结构应力二、残余应力消除工艺技术消除残余应力的典型工艺技术有热处理法、机械加载消除法、锤击消除法、喷丸消除法、振动消除法、超声冲击消除法等。1.热处理法耗能多、成本较高、加热和冷却不均导致新的残余应力或材料组织的改变。2.机械加载消除法机械加载方法使焊后结构的焊接接头塑性变形区得到拉伸，减少因焊接引起的压缩塑性变形量，使内应力降低。加载应力越高，内应力消除得越彻底。3.锤击消除法利用钢锤锤击工件残余应力聚集部位，减小残余应力峰值，改善和均衡结构残余应力分布。4.喷丸消除法用一种小的球形弹丸轰击工件表面，使表面材料纤维处于受拉状态。交错重叠的压痕在金属表面形成均匀的残余压应力层。适当控制，疲劳裂纹敏感区的工作表面被一个大而均匀的压缩层包围，从而有效防止疲劳裂纹的萌生与扩展，提高工件寿命。5.振动消除法6.超声冲击消除法超声冲击装置具有体积小、频率高、使用方便等特点。使用简单、费用低本章结束第七章弯曲变形主要内容§7-1工程中的弯曲变形问题§7-2梁的挠曲线近似微分方程§7-3积分法求梁的挠度和转角§7-4梁的刚度校核§7-5梁挠曲线的初参数方程§7-6叠加法求梁的挠度和转角§7-7提高梁的刚度的措施§7-8简单超静定梁§7-1工程中的弯曲变形问题桥式起重机横梁叠板弹簧研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。§7-2梁的挠曲线近似微分方程一、基本概念度量梁变形的两个基本位移量1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。向下为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。

用

表示，

顺时针转动为正，反之为负。PxwCqC1w3.挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：w=f(x)4.转角与挠曲线的关系小变形二、挠曲线近似微分方程——挠曲线近似微分方程。小变形wxM>0wxM<0EIxMxw)()(-=¢¢

\

§7-3积分法求梁的挠度和转角一、积分法1.微分方程的积分积分常数？积分一次，转角方程为再积分一次，挠曲线方程为EIxMxw)()(-=¢¢

2.位移边界条件和光滑连续性条件PABCPA

位移边界条件

连续条件

光滑条件（a）（b）图（a）：图（b）：讨论：①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可求解各种载荷作用下等截面或变截面梁上任意位置处的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、光滑连续条件）确定。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。θCyCBAxEIwBθA例题7-1如图所示，受集中荷载的简支梁AC。已知EI、l、FP。试写出梁的挠度方程和转角方程，并求截面A和C处的转角及B截面处的挠度。解：（1）求支座反力，(↑)

(↑)

（2）分段列梁的弯矩方程AB段：BC段：（3）积分法求梁的挠曲线挠曲线近似微分方程积分两次得（4）确定积分常数边界条件：光滑连续条件：解得（5）确定转角方程和挠度方程及指定截面处的挠度与转角§7-4梁的刚度校核一、梁的刚度条件[]——许用转角；[w]——许用挠度。

、校核刚度：

、设计截面尺寸；

、设计载荷。(对土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）三方面应用：二、应用举例例题7-2如图所示，一钢制实心圆轴受F作用。已知，轴承B处许可转角试按刚度条件确定该轴的直径d。解：将A处的荷载平移至支座B处，等效为作用于支座B处的集中力和力偶。查附录C，可得支座B处的转角为刚度条件§7-5梁挠曲线的初参数方程梁的挠曲线近似方程弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系等截面梁挠曲线的四阶微分方程为依次一次、二次、三次、四次积分得（1）（2）（3）（4）将初始截面处x=0带入式(1)~(4)式中，分别为初始截面上的剪力、弯矩、转角和挠度，同时是初参数方程中的四个初参数。转角和挠度的初参数方程的基本形式为四个初始参数可以由梁边界条件确定。当全梁上为均布荷载时，有q(x)=-q，则

例题7-3如图所示，一等截面简支梁AB上作用均布荷载q，EI为常数，试利用初参数方程求跨中挠度wc和支座B处截面的转角θB。解：（1）根据边界条件确定初参数在x=0，在x=l，即所以（2）将4个初参数带入初参数方程得转角方程挠曲线方程即即§7-6叠加法求梁的挠度和转角一、载荷叠加多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构

而引起的变形的代数和。二、结构形式叠加（逐段刚化法）例7-4按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、

载荷分解如图

查简单载荷引起的变形。qqPP=+BBB

Caa

叠加qqPP=+BBBCaa例题7-4如图所示简支梁AB，已知q、EI、l，试用叠加法求A、B的转角和截面C的挠度。（a）（a）（b）（c）解：（1）将梁上荷载分解成可查表的简单荷载形式，如图b、c所示。=+（2）查表求各挠度和转角图b中的挠度和转角分别为(向下)

(顺时针)

(逆时针)

(顺时针)

(逆时针)图c中的挠度和转角分别为=+（a）（b）（c）（3）叠加挠度和转角分别为（向下）(顺时针)(逆时针)例题7-5如图所示外伸梁，已知q、EI、a。试用叠加法求截面C的转角和挠度。（a）（a）（b）（c）解：（1）将梁分解为图b、c、d所示结构的叠加。等效荷载为（2）查表，可得

=+（3）叠加，求梁的挠度和转角§7-7提高梁的刚度的措施强度：正应力：剪应力：刚度：挠度和转角与梁上荷载、跨度、截面惯性矩、材料弹性模量、支撑条件等因素有关。1.增加抗弯刚度EIEIzD1zaa当时，截面面积恒定时，选用面积分布距中性轴较远的截面形状。zD0.8Da12a1z0.8a2a21.6a22a2z工字形截面与框形截面类似。学生练习。2.减小梁的跨度和改变结构减小梁的跨度，可显著减小挠度和转角。若跨度不能减小，则可增加支座超静定梁3.改变加载方式（b）（a）图（a）图（b）降低梁内最大弯矩Fl/2l/2Mx+Fl/4Fl/43l/4Mx3Fl/16F=qll/54l/5对称Mxql2/10§7-8简单超静定梁超静定结构——其反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定的结构。

ql图（a）AB图（b）qAB一、基本概念多余约束多余约束力（多余未知力）超静定次数－－结构中多余约束的个数或多余未知力的个数。必要约束二、超静定结构求解方法平衡方程物理方程变形协调方程求全部未知力力法：以多余未知力作为基本未知量，根据原超静定结构的

变形条件求出多余未知力。四个支座反力，用静力平衡方程无法全部求得一次超静定梁解（1）确定超静定次数（2）静定基本体系(b)基本体系qFBql(a)原结构基本体系qFBql原结构FBqwBqwBFABABABAB(3)变形协调方程查表（↑）其余所有反力和内力可由静力平衡方程求出。固定端A处的支反力为（上拉）（↑）基本体系qMA基本体系不唯一！试选取另一基本体系求解：Aql原结构EIB例题7-6如图所示，悬臂梁AB的长为l=0.8m，抗弯刚度EI=30kN·m2，弹簧CD的刚度（产生单位位移所需施加的力）k=175kN/m。若梁与弹簧的空隙当集中力F=0.5kN作用在梁的自由端时，试求点B的挠度。DCFBAl解：（1）当B端的挠度时，弹簧对悬臂梁无影响，则B端的挠度为查附录D，得（2）由于

因此，梁的B端与弹簧C端接触并压缩弹簧。此时，该梁实为一次超静定梁。设梁与弹簧接触后的相互作用力为FR。等于空隙量△与弹簧CD处的C端位移之和，即

变形协调条件：AB梁在B端的挠度因为即所以本章结束第八章应力和应变分析强度理论主要内容§8-1应力状态的概念§8-2二向应力状态分析——解析法§8-3二向应力状态分析——图解法§8-4三向应力状态§8-5广义胡克定律§8-6复杂应力状态下的变形比能§8-7强度理论§8-8莫尔强度理论§8-9构件含裂纹时的断裂准则铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩组合变形杆将怎样破坏？MP§8-1应力状态的概念三、一般状态下的应力表示

二、单元体单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。一、一点的应力状态一点处不同方位截面上的应力集合，称为这点的应力状态。xyzs

xsz

s

ytxy四、主单元体、主面、主应力3、主单元体(Principalbidy)各侧面上剪应力均为零的单元体。1、主平面(PrincipalPlane)切应力为零的截面。2、主应力(PrincipalStress

）主面上的正应力。4、主应力排列规定：按代数值大小，1、单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）一个主应力不为零的应力状态。

2、二向应力状态（PlaneStateofStress）一个主应力为零的应力状态。3、三向应力状态（Three—DimensionalStateof

Stress）三个主应力都不为零的应力状态。五、应力状态的分类例题8-1简支梁受力如图所示。试定性绘制梁内C、D、E、F、G、H点处的应力单元体。（a）解：（1）绘FS图和M图，如图b和c所示。（b）（2）定性绘各点的应力单元体（c）§8-2二向应力状态分析——解析法规定：

截面外法线同向为正；

ta绕研究对象顺时针转为正；

a逆时针为正。设：斜截面面积为dA，由平衡条件得：一、任意斜截面上的应力(a)xysxtxsyOsytysxsataaxyOn(b)ttytx考虑切应力互等定理及三角变换，得：(a)xysxtxsyOsytysxsataaxyOn(b)任意斜截面上应力计算公式ttytx二、主应力与主平面xysxtxsyO令时成立，则三、极值切应力及方位令则：令时，使成立和

两个互相垂直的平面极值切应力所在的平面与主平面成夹角或故有例题8-2已知平面应力状态的单元体如图所示。试求：（1）ab面上的应力；（2）主应力及其所在的平面；（3）最大切应力及其所在平面。解：（1）求ab面上的应力根据任意斜截面上应力计算公式可得：（2）主应力及主应力单元体主应力的大小为三个主应力分别为

主应力方位（3）极值切应力及其作用面大小:方向：解得§8-3二向应力状态分析——图解法消去参数（2

），得：一、应力圆方程此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）xysxtxsyOsytxsxsataaxyOn(b)(a)

建立应力坐标系，如图所示，（注意选取合适的比例尺）二、应力圆的画法

在应力坐标系内画出点A(

x，

x)和B(

y，

y)

AB与sa

轴的交点C便是圆心。

以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆.sxtxsyxyOnsataaOsataCA(sx,tx)B(sy,ty)x2anD(sa,

ta)tysxtxsyxyOnsataaOsataCA