五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(重庆专用)05：圆（教师版）

专题05圆（解析版）考点1圆基础求解1．（2021·重庆·中考A）如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（

）A．80° B．100° C．110° D．120°【答案】B【来源】重庆市2021年中考数学真题（A卷）【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C=180°-∠A=100°，故选：B．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．2．（2021·重庆·中考B）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（

）A．70° B．90° C．40° D．60°【答案】A【来源】重庆市2021年中考数学真题（B卷）【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，故选：A．【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．3．（2022·重庆·中考A）如图，是的切线，B为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【来源】2022年重庆市中考数学真题（A卷）【分析】连接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用＝tan30°，即可求出AB的长度．【详解】解：连接OB，∵OB＝OD，∴△OBD是等腰三角形，∴∠OBD＝∠D，∵∠AOB是△OBD的一个外角，∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，∵是的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵，∴∠A＋∠ABO＝∠A＋2∠D＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OB＝AC＋OC，∵OB＝OC，∴OB＝AC＝3，∵＝tan30°，∴AB＝．故选：C【点睛】此题考查了切线的性质定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，求出∠A＝30°是解决此题的关键．4．（2022·重庆·中考B）如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点P，若，则的长为（

）A． B． C． D．3【答案】D【来源】2022年重庆市中考数学真题（B卷）【分析】连接，根据，，证出，求出，在中，,，解得、的长度即可求出的长度．【详解】解：连接，如图所示，∵，∴，∵，∴，∴，∵是的切线，∴，∵，∴，在中，，，∴，，∵，，∴，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键．5．（2023·重庆·中考A）如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【来源】2023年重庆市中考数学真题（A卷）【分析】根据切线的性质及正切的定义得到，再根据勾股定理得到．【详解】解：连接，∵是的切线，为切点，∴，∵，，∴在中，，∵，∴在，，故选．

【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．6．（2023·重庆·中考B）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【来源】2023年重庆市中考数学真题（B卷）【分析】连接，先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：如图，连接，

直线与相切，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．7．（2024·重庆·中考B）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【来源】2024年重庆市中考数学试题B卷【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，根据等腰三角形的三线合一性质求出，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，，∴，故选：B．8．（2025·重庆·中考）如图，点A，B，C在上，，的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【来源】2025年重庆市中考数学试题【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，．故选：B．考点2求阴影部分面积9．（2024·重庆·中考A）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B．C． D．【答案】D【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论．【详解】解：连接，根据题意可得，∵矩形，∴，，在中，，∴图中阴影部分的面积．故选：D．10．（2021·重庆·中考A）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）．【答案】【来源】重庆市2021年中考数学真题（A卷）【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键．11．（2021·重庆·中考B）如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）【答案】【来源】重庆市2021年中考数学真题（B卷）【分析】先根据菱形的性质得出AB的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可得出答案【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，，∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；∴；∴菱形ABCD的面积=∵四个扇形的半径相等，都为，且四边形的内角和为360°，∴四个扇形的面积=，∴阴影部分的面积=；故答案为：．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．12．（2022·重庆·中考A）如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）【答案】【来源】2022年重庆市中考数学真题（A卷）【分析】连接BD交AC于点G，证明△ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC，再由S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案．【详解】解：连接BD交AC于点G，∵四边形是菱形，∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，∵，∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，∴BD＝2，∴BG＝，∴，∴AC＝，∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键．13．（2022·重庆·中考B）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．则图中阴影部分的面积为．（结果保留）【答案】【来源】2022年重庆市中考数学真题（B卷）【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出，进而求出，再根据扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形，，以B为圆心，的长为半轻画弧，交于点E，，，在中，，，，，S阴影．故答案为：．【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．14．（2023·重庆·中考A）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）

【答案】【来源】2023年重庆市中考数学真题（A卷）【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接，∵四边形是矩形，∴是的直径，∵，∴，∴的半径为，∴的面积为，矩形的面积为，∴阴影部分的面积为；故答案为；

【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．15．（2023·重庆·中考B）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）

【答案】【来源】2023年重庆市中考数学真题（B卷）【分析】利用矩形的性质求得，进而可得，然后根据解答即可．【详解】解：∵四边形是矩形，，，E为的中点，∴，，∴，∴；故答案为：．考点3圆填空压轴题16．（2024·重庆·中考A）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则．．【答案】8/【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题【分析】连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，根据四边形为平行四边形，得出，，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，求出；证明，得出，求出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出．【详解】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示：∵以为直径的与相切于点A，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵为直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：．故答案为：8；．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．17．（2024·重庆·中考B）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是；的长度是．【答案】//【来源】2024年重庆市中考数学试题B卷【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则．【详解】解：∵是的直径，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵是的切线，∴，∴，∴，在中，；如图所示，连接，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案为：；．【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键．18．（2025·重庆·中考）如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，，则的长度为，的长度为．【答案】3/【来源】2025年重庆市中考数学试题【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键．由垂径定理以及勾股定理可得，即、，由菱形的性质可得，进而得到、、；如图：连接，由圆周角定理可得、，再解直角三角形可得、；由菱形的性质以及平行线的性质可得，如图：过H作于M，解直角三角形可得、，易得，最后根据垂直平分线的性质求解即可．【详解】解：∵，，，∴，即，∴，∵菱形，∴，∴，；∴如图：连接，∵是的直径，∴，∴，即，解得：；，即，解得：；∵菱形，∴，∴，如图：过H作于M，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴垂直平分，∴．故答案为：3；．考点1圆基础求解1．（2025·重庆育才中学教育集团·三诊）如图，点A，B，C均在圆O上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【来源】重庆育才中学教育集团初2025年九年级第三次自主作业数学试卷【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，则可由圆内接四边形对角互补求出的度数．【详解】解；如图所示，在优弧上取一点D，连接，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．2．（2025·重庆实外·三模）如图，若为圆O的直径，过点C的切线交的延长线于点D，E为的中点，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【来源】2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题【分析】本题考查了圆的切线的性质，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出，进而求得，再由切线性质得出，最后由三角形内角和求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵E为的中点，∴，∴，∴，∵过点C的切线交的延长线于点D，∴，∴，故选：D．3．（2025·重庆巴蜀中学·三模）如图，的顶点在上，是直径，点D在上，，则的度数是（

）A．52° B．48° C．42° D．38°【答案】C【来源】2025年重庆巴蜀中学校中考三模数学试题【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，与圆有关的计算.根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可得到【详解】∵的顶点在上，是直径，∴∵∴∴故选：C.4．（2025·重庆西大附中·三模）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【来源】2025年重庆市西南大学附属中学中考三模数学【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．【详解】解：连接、，∵是圆内接五边形，∴，∴，故选B．5．（2025·重庆南开中学·二模）如图，在中，，经过点C且与相切于点B，交于点D，连接．若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角．利用切线的性质求得，求得，利用等边对等角求得，利用三角形内角和定理求得，利用圆周角定理求得，再利用等边对等角和圆周角定理即可求解．【详解】解：连接，∵是的切线，∴即，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选：C．6．（24-25九下·重庆九十五中·三模）如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（

）A．28° B．82° C．72° D．62°【答案】D【来源】重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年九年级下学期第三次模拟诊断数学试题【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据直径所对的圆周角是，可得，由，可得，进而可得．【详解】解：连接，∵是的直径，∴，，，．故选D．7．（24-25九下·重庆一中·二模）如图，四边形为的内接四边形，连接、、，若，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．首先证明为等边三角形，易得，利用圆周角定理确定，进而可得的值，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴为等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴．故选：A．8．（2025·重庆西大附中·二诊）如图，在中，直径交于点F，过点O且与互相垂直，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题【分析】连接，根据垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，列式计算解答即可．【详解】解：连接，则，∴，∵过点O且与互相垂直，，∴，，∴，∴故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．9．（2025·重庆育才中学·二模）如图，在中，，点O是边上一点，以点O为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点D，连接．若平分，，则线段的长是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题【分析】本题考查的是切线的性质、平行线的性质和判定、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得出，在中由可得出答案．【详解】解：连接，与相切于点D，，，，，，，，，，，，故答案为：C．考点2求阴影部分面积10．（2025·重庆巴南·二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则阴影部分的面积是（

）．A． B． C． D．【答案】A【来源】2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题【分析】本题考查扇形的面积公式、圆周角定理等知识，解题的关键正确的识别图形，根据圆周角定理和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：，，阴影部分的面积，故选：A．11．（2025·重庆十一中·中考模拟）在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【来源】2025年重庆市第十一中学校九年级中考模拟数学测试题【分析】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．设交于点，连接、、，由切线的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则是等边三角形，可证明是等边三角形，求得，则，所以，则，由求得，于是得到问题的答案．【详解】解：设交于点，连接、、，则，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，，，，且，，，，，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，，，，故答案为：B．12．（2025·重庆八中·一模）如图，在中，，，，为中点．分别以为半径作弧，与分别交于、两点，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积，先算出，再结合图中阴影部分的面积，分别代入数值计算，即可作答．【详解】解：∵，，，∴，，∵为中点，∴，∵分别以为半径作弧，与、分别交于、两点，∴图中阴影部分的面积．故选：B．13．（2025·重庆渝北·一模）如图，，，分别与相切于，，三点，若，，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【来源】2025年重庆市渝北区中考一模考试数学试题【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握切线长定理，解直角三角形的方法和步骤，以及扇形面积公式．连接，易得，，进而得出，则，最后根据阴影部分的面积即可解答．【详解】解：连接，∵，，∴，∵，，分别与相切于，，三点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴阴影部分的面积，故选A．考点3圆填空压轴题14．（2025·重庆育才中学教育集团·三诊）如图，在中，，以为直径的圆交边于点D，点E为的中点，连接．过点C作圆O的切线，切点为F．连接．点H为圆O上一点，且弧等于弧，连接，交于点G．若，则圆的半径为，．【答案】2【来源】重庆育才中学教育集团初2025年九年级第三次自主作业数学试卷【分析】连接，连接，连接交于，由互余关系得到，则，则，由直角三角形斜边中线得到，则，，故的半径2，可证明，则，，由互余关系得到，而，则，设，则，则，在中，有勾股定理得，则，由垂径定理得到，，而，可求，则．【详解】解：连接，连接，连接交于，∵是直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵∴，∵点为中点，∴，∵，∴，∴，∴的半径2，∵与相切于点，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，，∵，∴，∵是直径，∴，∴，∴，∴，∴设，则，∴，∴在中，，∴，∵弧等于弧，是直径，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案为：2，．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆周角定理，圆的切线的性质，解直角三角形，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．15．（2025·重庆实外·三模）如图，为圆O的直径，E为圆O上一点，连接并延长至C点，使得，连接交圆O于点D，过点B在下方作，使得，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M，若且，则直径【答案】【来源】2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题【分析】连接、，由为圆O的直径，得，由，易得是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质，可得是等腰的角平分线，由圆周角定理得，再由已知条件，易得，在，由且，可得，，得，在，由，可得，根据勾股定理即可求出的长；连接交于点，根据，可得，由垂径定理易得，根据内错角相等、两直线平行，易得，可得，可得，据此可求出的长．【详解】解：如图所示，连接、，为圆O的直径，，，，，，，，，，，，，，，在，，，，，，，在，，，，如图所示，连接交于点，，，，，，，，，，，，，，故答案为：，．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、圆周角的性质、垂径定理、平行线分线段成比例定理、三角函数等知识点，熟练掌握以上知识点、添加适当的辅助线是解题的关键．16．（2025·重庆巴蜀中学·三模）如图，为的直径，弦于点H，点E为上一点，弧等于弧，过点C作交于点G，交于点F．若，，则，．

【答案】/【来源】2025年重庆巴蜀中学校中考三模数学试题【分析】本题主要考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，勾股定理，由垂径定理可得，，则可证明，进而可证明得到，则；进一步证明，再由平行线的性质可推出，则，即可得到，；过点F作于Q，则，证明，得到，证明，求出，则。【详解】解：∵为的直径，弦，∴，，∵弧等于弧，∴，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；如图所示，过点F作于Q，则，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，即，∴，∴；故答案为：；17．（2025·重庆西大附中·三模）是以等腰的腰为直径的圆，交底于点，过点作于点，交过点的切线于点，交的延长线于点，连接，交于点，若，，则的半径为；连接，交于点，则．【答案】1【来源】2025年重庆市西南大学附属中学中考三模数学【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形的相关计算等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．由圆的切线得到，对运用勾股定理求解；连接，柑橘圆周角定理以及互余证明，则，证明，可得，则，那么，可得，则，证明，可设，则，那么，解得：，由勾股定理可求，由平行得到，求出，最后再由即可求解．【详解】解：∵是的切线，∴，∴；连接，

∵是直径，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵,∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，设，则，∴，解得：，∵，∴设，在中，由勾股定理得，解得：（舍负），∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：1；．18．（2025·重庆南开中学·二模）如图，在中，，，点O为中点，以点O为圆心，为半径的交延长线于点E，的中垂线交于点F，交于点G，H，连接，．若，则的长度为，的面积为．【答案】2/【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题【分析】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，利用三角函数的定义求得，再利用勾股定理求得的半径，解，求得，据此可求得的长；作于点，记与交于点，连接，利用垂径定理求得，证明，求得，，再证明，求得，利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：作于点，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵点O为中点，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，则，∴；作于点，记与交于点，连接，∵，∵是的中垂线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∴的面积为，故答案为：．19．（2025·重庆巴南·二模）如图，四边形内接于，连结，为的直径，E是的中点．过点E作的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为，的半径为．【答案】5【来源】2025年重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，弧与弦的关系，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则，由勾股定理得：，即；由圆周角定理得到，继而，则，可求直径，继而可求半径．【详解】解：连接，∵E是的中点，∴，∴，∵，，，∴由勾股定理得：，∴；∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴半径为，故答案为：5；．20．（2025·重庆十一中·中考模拟）如图，是△的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接，作平分，交于点，则的值为；若，，则的半径为．【答案】【来源】2025年重庆市第十一中学校九年级中考模拟数学测试题【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理和等腰三角形的判定定理得到，设，则，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用角平分线的性质定理解答即可得出结论；②连接，，与交于点，利用相似三角形的判定与性质得到，；再利用相似三角形的判定与性质求得，，则，利用垂径定理和勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理解答即可得出结论，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．【详解】解：如图，连接，是的切线，，，，，，，，，．平分，，，，，；，设，则，，．，，，，平分，点到的距离等于点到的距离为，根据三角形面积公式可得；②如图，连接，与交于点，，，，，，，即为的角平分线，同上述三角形面积公式可得，，，，．，，，，，．，，，，，（负值舍去）．，，，，，．．．．设的半径为，则，，，．故答案为：，．21．（24-25九下·重庆九十五中·三模）如图，内接于，是的直径，点D为圆上的一点，且，连接交于点E，过点D作交延长线于点F，连接．若，，则；．【答案】【来源】重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年九年级下学期第三次模拟诊断数学试题【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质与判定、圆周角定理，结合图形构造直角三角形是解题的关键．作于点，连接，作于点，由是的直径，得出，在中利用正切的定义求出的长，再通过解和得到、的长，求出的长，利用正切的定义得到，设，则，，通过证明得到，解出的值，再证明得到，求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．【详解】解：作于点，连接，作于点，，，，，是的直径，，，在中，，，，，，，，，，即，，设，则，，，，，，即，解得：，，，，，，，，，，又，，，，．综上所述，，．故答案为：；．22．（24-25九下·重庆一中·二模）如图，⊙是锐角的外接圆，为⊙的切线，连接交于点，交圆于点，点恰好为的中点，连接并延长交于点，连接、．若，，，则，的周长为．【答案】/【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题【分析】连接，连接交于点，过点作于点，由点恰好为的中点，得，由等腰三角形三线合一的性质，得出也是等腰的中线和高，根据垂径定理，可得，由已知条件和等面积法，在中，得，即可求得长；连接，连接，由易得，由，，可得，由为⊙的切线，可得，可得，由点恰好为的中点及角的关系，推出，可得，进而得，得，再通过角的关系，易得，得，可得，即可求出的周长．【详解】解：如图所示，连接，连接交于点，过点作于点，点恰好为的中点，，，，，又，，，，，，，，，，；如图所示，连接，连接，，，，，，，，，，，，，，又为⊙的切线，，，，点恰好为的中点，，，，，，，，，，，，在中，，，设，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，的周长为．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、圆周角的性质、切线的性质、垂径定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点、添加适当的辅助线是解题的关键．23．（2025·重庆西大附中·二诊）如图，平行四边形的顶点A、B、D在上，交于点F，连接并延长交AB于点E，将线段沿翻折，点A恰好能落在点B处，连接交于点N，若，，则，．【答案】【来源】2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题【分析】如图：，由同弧所对的圆周角相等可得，再根据折叠的性质可得，，，进而得到、，再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，由勾股定理可得；如图：连接，设该圆的半径为r，则，由勾股定理可得，再求得；如图：过F作，则，证明可得、；再证明，可得，即；然后再证明可得，进而完成解答．【详解】解：如图：，∵，∴，∵平行四边形ABCD，∴，∴，∵将线段AD沿DE翻折，点A恰好能落在点B处，∴，∴∴∴，，∴，即，解的：，∴如图：连接，设该圆的半径为r，则，由勾股定理可得：，即，解得，∵，