五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(山西专用)02：代数式与整式（学生版）

专题02代数式与整式（原卷版）考点1整式的混合运算1．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．2．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（）A． B．C． D．3．（2023·山西·中考真题）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．4．（2021·山西·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B． C．D．5．（2020·山西·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．6．（2023·山西·中考真题）（1）计算：；（2）计算：．考点2规律探索问题1．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有个白色圆片（用含n的代数式表示）

2．（2020·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形按此规律摆下去，第个图案有个三角形（用含的代数式表示）．考点3列代数式/因式分解1．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了元（用含a的代数式表示）．2．（2025·山西·中考真题）因式分解：．一、单选题1．（2025·山西·模拟预测）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．2．（2025·山西·模拟预测）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．3．（2025·山西大同·三模）下列运算错误的是（

）A． B．C． D．4．（2025·山西晋中·三模）下列运算正确的是（）A．B．C．D．5．（2025·山西运城·二模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．6．（2025·山西大同·一模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．7．（2025·山西朔州·三模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．8．（2025·山西朔州·三模）如图所示的图形可以验证乘法公式，这种根据图形验证数学规律的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是（

）

A．统计思想 B．分类思想 C．函数思想 D．数形结合思想9．（2025·山西临汾·一模）在数学实践课上，“智慧小组”将边长为的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形（），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个平行四边形．如图所示，通过表示图中几何图形面积的方法进行推导和验证平方差公式，将抽象的数学知识变得直观，这种方法体现的数学思想是（

）A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．统计思想10．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（

）A．1 B． C． D．411．（2025·山西运城·模拟预测）在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题：因式分解：．解：设，原式．例题中体现的主要思想方法是（

）A．函数思想 B．整体思想C．分类讨论思想 D．数形结合思想12．（2025·山西阳泉·一模）如图，小明在学习因式分解时，从不同角度分别表示大矩形的面积，再根据面积相等将多项式因式分解成．这种方法体现的数学思想是（

）A．数形结合 B．分类讨论 C．公理化 D．由一般到特殊二、填空题13．（2025·山西太原·一模）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为（用含的代数式表示）．14．（2025·山西运城·模拟预测）（代数推理）观察下列点阵：第1个点阵对应的等式为；第2个点阵对应的等式为；第3个点阵对应的等式为；第4个点阵对应的等式为；⋯请按以上规律写出第n个点阵对应的等式：（用含n的等式表示）．15．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案中有3个“”，第2个图案中有9个“”，第3个图案中有18个“”……按此规律，第n个图案中有个“”．（用含n的代数式表示）16．（2025·山西吕梁·模拟预测）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案．第1个图案有6个正三角形，第2个图案有10个正三角形，第3个图案有14个正三角形……按此规律摆下去，则第个图案有个正三角形．（用含的代数式表示）17．（2025·山西晋中·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．其分子结构模型如图所示，其中黑球代表碳原子，灰球代表氢原子，甲烷有4个氢原子，乙烷有6个氢原子，丙烷有8个氢原子，．．．依此规律，十三烷的分子结构模型中氢原子的个数是个．18．（2025·山西长治·二模）下图是一组有规律的图案组成的“小鱼”图形，它由若干根火柴棒组成．第1个图案由8根火柴棒组成，第2个图案由14根火柴棒组成，第3个图案由20根火柴棒组成，第4个图案由26根火柴棒组成…依此规律，第n个图案由根火柴棒组成（用含n的代数式表示）．19．（2025·山西阳泉·二模）在日历上，我们会发现其中某些数满足一些规律．如图是2024年元月份的日历，我们随机选择图中所示的方框部分，设左上角的数字为，则方框内的四个数字的和用代数式可表示为．20．（2025·山西·模拟预测）分解因式：．21．（2025·山西晋城·一模）分解因式：．22．（2025运城市一模）公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加．23．（2025·山西大同·模拟预测）如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为．（结果保留）

24．（2025·山西大同·一模）计算：．25．（2025·山西·模拟预测）若，，则．26．（2025·山西长治·模拟预测）计算的结果为．27．（2025·山西晋中·一模）如图是某校为“五四”晚会搭建的“凹”字型舞台（图中阴影部分），相关数据如图所示，则这个舞台的面积为（用含a，b的代数式表示）．28．（2025·山西吕梁·二模）将多项式因式分解可得．29．（2025·山西·模拟预测）因式分解：．30．（2025·山西忻州·二模）分解因式：．31．（2025·山西·模拟预测）给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为．32．（2025·山西大同·二模）若，则的值为．33．（2025·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码．三、解答题34．（2025运城市模拟）计算：(1)计算：；(2)先化简，再求值．，其中．35．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．议一议：求代数式的值，其中．把代入后求值．把看成一个字母a，这个代数式可以简化为(1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程；(2)【简单应用】已知，则的值为__________．36．（2025·山西长治·模拟预测）（1）计算：；（2）化简：．37．（2025·山西运城·模拟预测）（1）计算：．（2）化简：．38．（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解下面是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．2024年×月×日

星期日多项式除以多项式我们曾经学习过单项式除以单项式，多项式除以单项式．类比数字的除法运算，我们可以将多项式除以单项式使用竖式除法，如用如图1所示的竖式表示：

如果是多项式除以多项式，可以类比图1的过程用竖式除法吗？经过查阅资料，我写出了如图2所示的竖式，它的计算步骤如下：（1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列；（2）将被除式的第一项除以除式的第一项2x，即，得出商式的第一项3x；（3）用商的第一项3x与除式相乘得，写在的下面；（4）用减去得差，写在下面；（5）再用的第一项4x除以除式的第一项2x．即，写在商式的第一项3x的后面，写成代数和的形式；（6）以商式的第二项2与除式相乘，得，写在（4）中差的下面；（7）两式相减得0，表示刚好能除尽；（8）写出结果：．任务：(1)材料中，由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法体现的数学思想是______；A．数形结合思想

B．类比思想

C．分类讨论思想

D．公理化思想(2)请你用竖式除法计算：；(3)若是的一个因式，则．39．（2025·运城市·三模）（1）计算：（2）先化简，再求值：，其中．40．（2025·山西吕梁·一模）（1）计算：（2）化简：41．（2025·山西太原·三模）计算：(1)(2)已知多项式，化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出的①②③中，出现错误的是．请写出正确的解答过程，当时．求出此时多项式A的值．42．（2025·山西吕梁·一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务．妙用平方差公式解决问题学完平方差公式后，王老师展示了以下例题：例计算：．观察算式发现：如果将乘，这时可以连续运用平方差公式进行计算，为使等式恒成立，需将式子整体再乘2．解：原式．以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，任务：(1)请仿照上述方法计算：；(2)请认真观察，计算：．43．（2025·山西晋城·一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔斯所说：“数学是数学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可以通过物理的见识而受益．”以下是数学中常见的一个问题：若，则的最大值是多少？设，，则．……以下是物理中的一个问题：物理学中的电路分为串联电路和并联电路，已知电路中有大小分别为和的两个电阻，串联电路的电阻公式为，并联电路的电阻公式为．在某一段电路上测得两个电阻的和为．若根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联后总电阻的最大值是多少？任务：(1)按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分．(2)若，两数的和为定值，则，满足______时，的值最大．(3)解决这个物理问题主要体现的数学思想是______．（填序号即可）A．统计思想

B．分类思想

C．模型思想(4)物理问题中并联后总电阻的最大值是______．44．（2025·山西晋城·三模）计算：(1)；(2)分解因式：．45．（2025·山西大同·三模）阅读与思考生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”．例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是．根据上述材料，解答下列问题：(1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________；②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________．(2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）．46．（2025·山西太原·二模）阅读与思考下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．年月日

星期六关于完全平方公式的思考完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛，今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现：，．我的探索发现：观察