五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(吉林专用)06：三角形及四边形（教师版）

专题06三角形及四边形题型01简单的角度计算1．（2022·吉林·中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（

）A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行【答案】D【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得．【详解】解：因为与是一对相等的同位角，得出结论是，所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．2．（2021·吉林长春·中考真题）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为度．【答案】【分析】根据两直线平行，得同位角相等，根据三角形外角性质求得，利用平角为即可求解．【详解】设交于点G故答案为．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，平角的概念，解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系．3．（2025·吉林·中考真题）如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为度．【答案】【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：五边形是正五边形，∴，∴，故答案为：．4．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论．【详解】解：，故选：D．5．（2025·吉林长春·中考真题）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为度．【答案】【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：，再进一步求解即可.【详解】解：∵正五边形的每一个内角为：，∴，故答案为：题型02三角形及四边形相关证明计算6．（2022·吉林·中考真题）如图，，．求证：．【答案】证明见解析【分析】先利用三角形全等的判定定理（定理）证出，再根据全等三角形的性质即可得．【详解】证明：在和中，，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形．【答案】证明见解析．【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形．【详解】证明：∵是边的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．8．（2023·吉林·中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．求证：．

【答案】证明见解析【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在和中，∴∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．9．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由线段中点的定义得到，据此可证明，进而可证明．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵点O是的中点，∴，∴，∴．10．（2021·吉林·中考真题）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE【答案】证明见详解．【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.【详解】证明：在△ABE和△ACD中，∵,△ABE≌△ACD(ASA)，∴AE=AD，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．11．（2025·吉林长春·中考真题）如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形．【答案】见解析【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键．先由勾股定理逆定理得到，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明．【详解】证明：∵，∴，，∴，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．12．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，则的值为_______．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；（2）设，则，根据菱形的性质可得，，勾股定理求得，根据，，即可求解．【详解】（1）证明：，，∴四边形是平行四边形，∵，四边形是菱形；（2）解：，设，则，四边形是菱形；，，，在中，，，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．13．（2025·吉林·中考真题）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，．(1)求证：．(2)当，时，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．（1）根据矩形得到，再结合已知条件由即可证明全等；（2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴．14．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，点E在边AD上，，连结BE交AC于点M．（1）求AM的长．（2）的值为．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据菱形的性质，结合，可求得的长．（2）根据，，在中即可求出的值．【详解】（1）是菱形，，即，（2）是菱形，，，在中，【点睛】本题考查了菱形的基本性质，相似三角形的判定和性质，以及解直角三角形，熟练掌握菱形的性质是解题关键．15．（2023·吉林长春·中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）由题意可知易得，即，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；（2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；由菱形得对角线平分对角得，再由三角形外角和易证即可得，最后由求解即可．【详解】（1）证明：由题意可知，，，，四边形地平行四边形；（2）如图，在中，，，，，，四边形是菱形，平分，，，，，，，故答案为：．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．16．（2025·吉林松原·模拟预测）两面镜子按如图所示的位置摆放，入射光线经过镜子两次反射后的反射光线平行于，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查平行线的性质，根据已知条件，得到，，由平行线的性质得到，推出，再根据，进行求解即可．【详解】解：根据题意得到，，∵，，∴，∴，∵，∴，故选：C．17．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在正六边形和正方形中，点G、H在正六边形的内部，连结并延长交于点N，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了多边形的内角和问题、正方形的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据正六边形的内角和为，得到，根据正方形的性质得到，再利用四边形的内角和为，即可求解．【详解】解：∵正六边形的内角和为，∴，∵正方形，∴，∵四边形的内角和为，∴．故选：D．18．（2025·吉林松原·模拟预测）小明按下列步骤作图：①如图，任取两点B、D；②分别以点B和点D为圆心，任意长为半径，分别在线段BD的两侧画弧；③再分别以点B和点D为圆心，适当的长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点C；④顺次连结各点，得到四边形．下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了尺规作图、平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由作图可得，，推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可得出答案．【详解】解：由作图可得，，，∴四边形是平行四边形，∴，，由题意无法说明，结合选项可知，A、B、D选项结论正确，不符合题意；C选项结论错误，符合题意；故选：C．19．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（）A．50° B．55° C．63° D．65°【答案】C【分析】本题考查了光线的反射角等于入射角的性质、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．由光线的反射角等于入射角得出，，由平角的定义和三角形内角和定理求出，即可得出结果．【详解】解：根据题意，得，，∴．故选：C．20．（2025·吉林·二模）划船是一项涉及全身的协调运动，正确的划船动作需要保持正确的姿势和体态．如图，，若，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查平行线的判定与性质、邻补角，先根据邻补角定义求得，再根据平行线的性质可求得．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故选：A．21．（2025·吉林长春·二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的大小为（

）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得，利用对顶角相等求得，再利用三角形的外角性质求解即可．【详解】解：∵一束光线平行于主光轴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：B．22．（2025·吉林长春·二模）如图，一束平行于主光轴OF的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点.若，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得，利用对顶角相等求得，再利用三角形的外角性质求解即可．【详解】解：∵一束光线平行于主光轴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：B．23．（2025·吉林长春·二模）如图，一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了正多边形内角与外角问题；根据多边形的外角和定理求得正九边形的9个相同外角的度数和，即可求得1个外角的度数，再根据1个外角与其相邻的内角互为邻补角，即可求得每个内角的度数．【详解】解：∵正九边形的外角和为，∴正九边形每个外角的度数是，∴正九边形每个内角的度数是．故选：C．24．（2025·吉林长春·二模）静止在斜面上的立方体受到的重力和摩擦力如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则重力与摩擦力的夹角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质，由已知得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：如图，∵重力的方向竖直向下，∴，∴，∵摩擦力的方向与斜面平行，∴，故选：B．25．（2025·吉林·模拟预测）如图，在中，，点D在线段上，以为边在其右侧作，使得、，连接．求证：．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据证明即可．【详解】证明：，，，在和中，．26．（2025·吉林·一模）如图，，，，垂足分别为D，E．(1)求证：；(2)若，，直接写出的长．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（1）利用“”可证明；（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．【详解】（1）证明∶，，．在和中，（2）解∶，．在中，．．．27．（2025·吉林·一模）如图，在四边形中，连接，，，求证：．

【答案】见详解【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，即可得证．【详解】证明：∵，，，∴，∴．28．（2025·吉林松原·一模）如图，点E、F在上，且，求证：【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据，得，利用证，再利用全等三角形性质得，，继续利用全等三角形的判定得出，即可得出结论．【详解】证明：，，即，在和中，，，，，，∵，，∴．29．（2025·吉林长春·模拟预测）四边形中，为对角线，．(1)如图1，求证：四边形为矩形．(2)如图2，点、分别为、边的中点，连接、分别交于点、，连接，在不添加辅助线的情况下，若则四边形面积为________．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形面积性质，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．（1）先证明四边形是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定．（2）利用矩形的性质，三角形相似的判定和性质，结合三角形面积性质计算即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形；（2）解：∵是矩形，，∴，，∵点E和点F分别是边、的中点，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，，∴，，∵，，∴，，∴．30．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了菱形的判定，角平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．先证得平分，由角平分线的性质可得，再由平行四边形的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，进而证得结论．【详解】证明：，，垂足分别为点E、F，且，点在的角平分线上，平分，，四边形是平行四边形，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．31．（2025·吉林长春·三模）如图，在中，D，E分别是的中点，，交的延长线于点A，，连接．求证：四边形为菱形．【答案】见解析【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，可得到四边形为平行四边形，再由，可得，然后证明四边形为平行四边形，即可求证．【详解】证明：如图，连接，∵，∴，∵点E是的中点，∴，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∵点D是的中点，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为菱形．32．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，点D是延长线上一点，，过点A和点D分别作，和相交于点E，连结．求证：四边形是矩形．【答案】见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识；先证明四边形是平行四边形，得；再证明四边形是平行四边形，最后由即可证明四边形是矩形．【详解】解：，，四边形是平行四边形．．，．，四边形是平行四边形．，是矩形．33．（2025·吉林长春·二模）如图①，小颖为新房买了一盏简单而精致的吊灯．其正面的平面图如图②所示，四边形是一个菱形的内部框架，对角线相交于点，四边形是其外部框架，且点在上，．(1)求证：四边形外部框架为菱形．(2)若外部框架的周长为，，，则内部框架的边长为_____cm．【答案】(1)见解析(2)30【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是关键．（1）先证明四边形是平行四边形．再根据即可证明平行四边形是菱形；（2）连接，交于点O，，求出证明，再求出，根据勾股定理即可求出答案．【详解】（1）四边形是菱形，．，．四边形是平行四边形．四边形是菱形，．平行四边形是菱形．（2）如图，交于点