五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(福建专用)10：锐角三角函数的计算与应用（30题）（学生版）

专题10锐角三角函数的计算与应用（30题）1．（2022·福建·中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A'B'CA．96 B．963 C．192 D．2．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC=27°，BC＝44cm，则高AD约为（

）（参考数据：sin27°≈0.45，cosA．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm3．（2021·福建·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB=6,A．35 B．25 C．344．（2021·福建·中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC

A．2km B．3km C．23km D5．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2仪可以分解为两个力f1与f2,f16．（2023·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC=am（ⅱ）分别在AC，BC，上测得CM=a3m，由测量知，AC=a，BC=b，∴CMCA=CN∴△CMN∽△CAB，又∵MN=c，∴AB=故小水池的最大宽度为___________m．(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得AB用到的几何知识是___________；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c⋯表示，角度用α，β，γ⋯表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．7．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线．(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠一、单选题8．（2025·福建莆田·二模）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率n=sinisinr（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出，若i=30°，AB=20A．2 B．1.6 C．1.5 D．1.4二、填空题9．（2025·福建南平·三模）具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2，则该置物架所占用墙面的长度d的值为．10．（2025·福建厦门·二模）计算：sin45°-cos11．（2025·福建泉州·一模）如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知∠ABC=120°，∠CBR=15°．AB∥CD，BD=3DK，AB=2BC=12dm，CD=6.6dm，自行车的坐垫FG∥BR，BR平行地面，三、解答题12．（2025·福建南平·三模）实践课上，同学们利用量角器、三角尺ABC进行实践操作，其中∠ACB=90°，小明：做法：如图，小明将三角尺ABC放置在量角器上，点C与圆心O重合，已知这把三角尺的直角边BO和量角器外弧所在圆的半径相等，点D是斜边AB与量角器外弧所在圆的交点，点B的对应刻度为142°．问题1：求点D对应的刻度．问题2：将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，能否使得AB与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由．小华：做法：如图，小华把斜边AB=63的三角尺ABC叠放在量角器上，且AB∥MN，点A，B恰好落在量角器的外弧所在圆上，点A的对应刻度为30°，问题3：求BE的长．请你根据上述内容，回答小明和小华的问题．13．（2025·福建厦门·二模）太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为α，夏至这天正午时刻太阳高度角为β．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线QM为遮阳棚，PQ为遮阳棚安装在窗户上方的支架，PQ⊥QM，线段QM的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚QM所在的抛物线与抛物线如图2，AB为小明家的朝南窗户，测得tanα=14，∠β=45°，窗户(1)求小明家所需的遮阳棚的跨度；(2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼CD与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若0.6≤m≤1.5，0.1≤n14．（2025·福建漳州·模拟预测）五一假期，晶晶一家要自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航系统屏幕显示车辆应沿北偏西45°方向行驶20千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向，求B，C两地的距离．（运算结果请保留根号）15．（2025·福建福州·三模）如图，在△ABC中，∠C=90°，O为边AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AC切于点E，与AB交于另一点(1)求证：BE平分∠ABC(2)若BO=6，BE=9，求16．（2025·福建福州·三模）计算：-17．（2025·福建莆田·模拟预测）计算：3-18．（2025·福建莆田·三模）计算：-319．（2025·福建厦门·三模）计算：-20．（2025·福建福州·一模）计算：-21．（2025·福建厦门·二模）计算：2025-122．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于0.5m．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离OA=12m，抛物线柱的最高点B离地面OA的距离为9m，平屋面CD离地面的距离为5m，其一端D恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚O到过屋檐C的铅垂线的距离OP=0.6m，斜屋面CE与平屋面CD的夹角∠(1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式；(2)求平屋面CD的长；（结果精确到0.1m(3)判断柱脚A到过屋檐E的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到0.1m（参考数值：sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.21323．（2025·福建福州·二模）“裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线DE）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行n次裁剪，则记载剪次数为n．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为acm，宽为bcm的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，(1)为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）；(2)当a=26，b=22时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图(3)该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长acm和宽b24．（2025·福建漳州·二模）某校九年级数学兴趣小组开展测量物体高度的综合实践活动．课题测量“中国女排三连冠”纪念碑的高度成员组长：小李，成员：小红，小明工具皮尺，量角器，细绳，小石头任务一制作简易测角仪小李在量角器的中心点O处悬挂一条绑有小石头的细绳OC，制作一个简易测角仪（如图1）、测量时，视线沿着量角器的直径AB瞄准目标D，通过读取量角器的刻度得到∠AOC的度数，就可求得仰角∠任务二测量纪念碑EF的高度如图2，小红站在点G处，眼睛与地面的距离HG为1.6米，用简易测角仪测得纪念碑顶端E的仰角为45°；小明站在离小红7.8米的点M处，眼睛与地面的距离NM为1.8米，用简易测角仪测得纪念碑顶端E的仰角为37°．（点M，问题解决1．如图1，若∠AOC=α，求∠2．如图2，求纪念碑EF的高度．参考数据sin25．（2025·福建福州·二模）计算：2-26．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，小明从点A出发，沿着坡度i（即tanA）为1:2.4的坡道AB向上走了130m到达点B，再沿着水平平台BC向前走了80m到达点C，最后沿着坡角为36.8°的坡道CD向上走了150(1)当小明到达点B时，求他沿垂直方向上升的高度；(2)求点A，D间的水平距离AE的长．（参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，27．（2025·福建厦门·模拟预测）计算：cos6028．（2025·福建厦门·一模）计算：π29．（2025·福建三明·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=74°，D为BC的中点，将线段DA绕点D逆时针旋转74°(1)求∠BAE(2)若△ABC的面积为25，求△ADE的面积．参考数据：sin37°=0.60，cos30．（2025·福建泉州·一模）阅读下列材料，解答问题．【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（DB-BA-AC-