五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(福建专用)02：数与式二（代数式、因式分解、分式40题）（教师版）

专题02数与式二（代数式、因式分解、分式，40题）考点01：代数式1．（2024·福建·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则．利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误．【详解】解：，A选项错误；，B选项正确；，C选项错误；，D选项错误；故选：B．2．（2023·福建·中考真题）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可．【详解】解：A．，故A选项计算正确，符合题意；B．，故B选项计算错误，不合题意；C．，故C选项计算错误，不合题意；D．与不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．3．（2022·福建·中考真题）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了积的乘方计算，熟知积的乘方计算法则是解题的关键．【详解】解：，故选：C．4．（2021·福建·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．【详解】解：A：，故A错误；B：，故B错误；C：，故C错误；D：．故选：D【点睛】本题考查了整式的加减法法则、乘法公式、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟知上述各种不同的运算法则或公式，是解题的关键．5．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题．主题两个正数的积与商的位数探究提出问题小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数．分析探究问题1

小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例推广延伸小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a．借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，．证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数．由，得，即．（*）当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以；当且时，，所以所以，与（*）矛盾，不合题意；当且时，①；当且时，②．综上所述，命题成立．拓展迁移问题2

若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．(1)解决问题1；(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；(3)解决问题2．【答案】(1)小明的猜想不正确，反例：(2)见解析(3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是【分析】（1）举反例即可；（2）①当且时，可得，得，不合题意；②当且时，可得，可得，得，即得．（3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即．【详解】（1）解：小明的猜想不正确．反例：．（2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意；②，所以，又，所以，由（*）知，所以．（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是．证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n，设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．由小华的命题知，当时，必有，此时，，所以；当时，必有，此时，，所以．综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是，【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键．6．（2025·福建厦门·二模）若k为正整数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握同底数幂相乘的运算法则成为解题的关键．先根据乘法的意义和积的乘方的运算法则可得，再根据同底数幂乘法的运算法则求解即可．【详解】解：．故选：B．7．（2025·福建莆田·三模）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了同底数幂的运算、积的乘方与幂的乘方运算以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据同底数幂的运算法则、积的乘方与幂的乘方运算法则以及合并同类项法则计算各项即可判断出结果．【详解】解：A、，计算正确，故选项A符合题意；B、，原选项计算错误，故选项B不符合题意；C、与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意；D、，项D错误，不符合题意；故选：A8．（2025·福建泉州·三模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项不符合题意；D、，故该选项符合题意；故选：D．9．（2025·福建漳州·二模）下列计算，结果为的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了幂的乘方运算，合并同类项，同底数幂乘法，同底数幂除法，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．分别根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算以及合并同类项法则判断即可．【详解】解：A、，故不符合题意；B、，故符合题意；C、，故不符合题意；D、，故不符合题意；故选：B．10．（2025·福建福州·二模）用代数式表示“比的倍小”，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了列代数式．的倍是，而小，则在此基础上减即可．【详解】解：用代数式表示“比的倍小”是，故选：A．11．（2025·福建厦门·二模）列代数式表示“a的相反数与b的和”是．【答案】/【分析】本题主要考查了列代数式，理解代数式的语言描述是解题的关键．根据题意直接列代数式即可．【详解】解：列代数式表示“a的相反数与b的和”是．故答案为：．12．（2025·福建泉州·二模）已知，则的值是．【答案】【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负性的性质得到，据此求出x、y的值即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．13．（2025·福建莆田·三模）定义：如果一个正整数可以被4整除，且可以表示为两个正整数的平方差，我们把这个数称为“特色数”．例如，16可以被4整除，且，所以16为“特色数”．(1)8是否为“特色数”？说明理由；(2)在数学上常用表示一个十位数字为，个位数字为的两位数．若是一个“特色数”，且，求．【答案】(1)是，见解析(2)40【分析】本题考查了“特色数”的定义，平方差公式，正确理解“特色数”的定义是解此题的关键．（1）根据“特色数”的定义判断即可得解；（2）根据题意可得这个两位数是13或22或31或40，再结合“特色数”的定义判断即可得解．【详解】（1）解：8是特色数．理由如下：，可以被4整除，，是特色数；（2）解：依题意，得m，n为整数，且，．，的值为1，2，3，4，的相应值为3，2，1，0．这个两位数是13或22或31或40，，，不能被4整除，，，不是特色数，．14．（2025·福建漳州·二模）已知实数a，b，c满足．(1)求证：；(2)若，且，求的值．【答案】(1)见解析(2)1【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．（1）根据题意可得，结合已知得倒，由不等式的性质可得，即可证明；（2）根据，得到，结合（1）中，求出，再根据，求出，进而得到，结合，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，即，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．15．（2025·福建·二模）已知：（）．求证：．【答案】证明见解析【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，因式分解的应用，由条件可得，即，再进一步解答即可．【详解】证明：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．考点02：因式分解16．（2023·福建·中考真题）因式分解：x2+x=．【答案】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可．【详解】解：17．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下：设任意一个有理数为，令，等式两边都乘以，得①等式两边都减，得②等式两边分别分解因式，得③等式两边都除以，得④等式两边都减，得⑤所以任意一个有理数都等于0．以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是．【答案】④【分析】本题考查因式分解的应用，等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，得到第④步出现错误．【详解】解：∵，∴，∴的两边不能除以；故出现错误的是第④步；故答案为：④18．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．(1)求证：为非负数；(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．【答案】(1)证明见解析；(2)不可能都为整数，理由见解析．【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．（1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解；（2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可．【详解】（1）解：因为，所以．则．因为是实数，所以，所以为非负数．（2）不可能都为整数．理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．①当都为奇数时，则必为偶数．又，所以．因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．又因为，所以．因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．综上所述，不可能都为整数．19．（2025·福建泉州·二模）设是一个四位数，下列说法正确的是（

）A．若，则这个数是11的倍数B．若，则这个数是11的倍数C．若，则这个数是11的倍数D．若，则这个数是11的倍数【答案】A【分析】本题考查了因式分解的应用，根据四位数的意义用含字母的式子表示，然后拆解成11的倍数，再将不合适的代换成11的倍数，即可得解．把整式拆解成11的倍数表示是解题的关键．【详解】解：由题意可知：，当这个数是11的倍数时，可得是11的倍数，当时，是11的倍数，故A符合题意；当时，不是11的倍数，故B不符合题意；当时，不是11的倍数，故C不符合题意；当时，不是11的倍数，故D不符合题意；故选：A．20．（2025·福建福州·一模）若，则的值为.【答案】1【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案．【详解】解：，∵，∴原式．故答案为：1．21．（2025·福建福州·三模）已知，则．【答案】1【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．将原式提取公因式，再将各自的值代入计算即可求出值．【详解】∵，，故答案为1．22．（2025·福建泉州·二模）分解因式：．【答案】【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，先确定公因式，然后提取即可．【详解】解：，故答案为：．23．（2025·福建·一模）分解因式：．【答案】【分析】本题考查提公因式法分解因式，找到公因式是解答本题的关键．直接提公因式，进行因式分解即可．【详解】解：故答案为：．24．（2025·福建·一模）已知为两位正整数，其十位上的数字为，个位上的数字为，且满足．(1)写出符合条件的所有数；(2)当时，若可以写成两个整数的平方差，求这两个整数的积．【答案】(1)为或或(2)【分析】本题主要考查了因式分解的应用，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．（1）由，对，进行取值即可解决问题．（2）由，得出，，进而得出的值，设（、为整数），则，分类讨论即可解决问题．【详解】（1）解：，，或，或，，或或，为或或；（2），，，．设（、为整数），，或或或或或，解得：(舍去)或(舍去)或或或(舍去)或(舍去)，．25．（2025·福建泉州·一模）【观察发现】有些三位数，十位上的数字的两倍恰好等于百位上的数字与个位数字的和．如：345，147等，我们称这样的三位数为“和倍数”．【猜想验证】猜想“和倍数”是哪个正整数（1除外）的倍数，并验证你的猜想．【答案】“和倍数”是3的倍数，证明见解析【分析】本题考查了新定义、整式加减的应用，正确理解“和倍数”的定义是解题的关键．设“和倍数”为，根据“和倍数”的定义可得，整理可得，即可得出结论．【详解】解：“和倍数”是3的倍数，证明如下：设“和倍数”为，由题意得，，，，是整数，是整数，是3的倍数，“和倍数”是3的倍数．考点03：分式26．（2023·福建·中考真题）已知，且，则的值为．【答案】1【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可．【详解】解：∵∴，∴，即．∴．【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键．27．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于．【答案】4【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy∴故答案为：4【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入．28．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可．【详解】解：．当时，原式．29．（2023·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．【详解】解：．当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．30．（2022·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题主要考查了分式的化简求值，因式分解−运用公式法，以及二次根式的性质与化简，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．【详解】，当时，原式．31．（2025·福建厦门·三模）已知，则的值为．【答案】8【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据，可以得到，然后两式做差，即可得到所求式子的值．【详解】解：，，，，故答案为：8．32．（2025·福建漳州·二模）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值.先通分，再去括号，约分，最后将代入即可.【详解】，当时，原式33．（2025·福建厦门·二模）计算：．【答案】【分析】先分别根据负整数指数幂、绝对值、二次根式的相关规则，对式子中的各项进行化简，再按照实数的运算顺序计算出结果．本题主要考查负整数指数幂、绝对值、二次根式的运算及实数的混合运算，熟练掌握各运算的规则和实数运算顺序是解题的关键．【详解】解：原式．34．（2025·福建福州·三模）已知，求代数式的值．【答案】【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的性质和运算法则对代数式进行化