2026届南宁市第四十七中学高一数学第二学期期末监测模拟试题含解析

2026届南宁市第四十七中学高一数学第二学期期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知在中，内角的对边分别为，若，则等于()A． B． C． D．2．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,703．已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（）A． B． C． D．4．已知幂函数过点，令，，记数列的前项和为，则时，的值是（）A．10 B．120 C．130 D．1405．已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是A．6－2 B．8 C．4 D．106．将函数y=sin2x的图象向右平移A．在区间[-πB．在区间[5πC．在区间[-πD．在区间[π7．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①与平行②与是异面直线③与成角

④与是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．9．设是等差数列的前项和，若，则（）A． B． C． D．10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某公司调查了商品的广告投入费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据，如下表：广告费用（万元）销售利润（万元）由表中的数据得线性回归方程为，则当时，销售利润的估值为___．（其中：）12．某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是13．已知数列是等差数列，，那么使其前项和最小的是______.14．已知{}是等差数列，是它的前项和，且，则____.15．关于的方程（）的两虚根为、，且，则实数的值是________.16．数列的通项，前项和为，则____________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，函数，，（1）证明：是奇函数；（2）如果方程只有一个实数解，求a的值.18．已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和.（1）求；（2）记，求数列的前项和.19．已知，.（1）求的值；（2）求的值.20．已知函数，，数列满足，，.（1）求证；（2）求数列的通项公式；（3）若，求中的最大项.21．已知数列，，满足，，，.（1）设，求数列的通项公式；（2）设，求数列，的前n项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由题意变形，运用余弦定理，可得cosB，再由同角的平方关系，可得所求值．【详解】2b2﹣2a2＝ac+2c2，可得a2+c2﹣b2ac，则cosB，可得B＜π，即有sinB．故选A．【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查同角的平方关系，以及运算能力，属于中档题．2、B【解析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差，所以，可能为，的所有可能取值为选.考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.3、B【解析】

根据倾斜角的正切值为斜率，再根据点斜式写出直线方程，化为一般式即可.【详解】因为直线的倾斜角为，故直线斜率.又直线过点，故由点斜式方程可得整理为一般式可得：.故选：B.【点睛】本题考查直线方程的求解，涉及点斜式，属基础题.4、B【解析】

根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得的表达式，利用裂项求和法求得的表达式，解方程求得的值.【详解】设幂函数为，将代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故选B.【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.5、B【解析】

点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A经x轴反射到圆周C的路程最短，最短为|BC|﹣R．【详解】由反射定律得点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，最短距离为|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=1，故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为1．故选B．【点睛】本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用．6、A【解析】

函数y=sin2x的图象向右平移y=sin2kπ-π单调递减区间：2kπ+π2≤2x-π3【详解】本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间.7、B【解析】

把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，与异面且垂直，故①错误；与平行，故②错误；连接，则，为与所成角，连接，可知为正三角形，则，故③正确；由异面直线的定义可知，与是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．8、A【解析】

当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔m＜（x）min，利用基本不等式可求得（x）min＝6，从而可得实数m的取值范围．【详解】当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔当x＞0时，不等式m＜x恒成立⇔m＜（x）min，当x＞0时，x26（当且仅当x＝3时取“＝”），因此（x）min＝6，所以m＜6，故选A．【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．9、D【解析】

根据等差数列片断和的性质得出、、、成等差数列，并将和都用表示，可得出的值．【详解】根据等差数列的性质，若数列为等差数列，则也成等差数列；又，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故选D．【点睛】本题考查等差数列片断和的性质，再利用片断和的性质时，要注意下标之间的倍数关系，结合性质进行求解，考查运算求解能力，属于中等题．10、D【解析】

由正弦定理及余弦定理可得，，然后求解即可.【详解】解：由可得，则，①又，所以，即，所以②由①②可得：，由余弦定理可得,故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的综合应用，重点考查了两角和的正弦公式，属中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、12.2【解析】

先求出，的平均数，再由题中所给公式计算出和，进而得出线性回归方程，将代入，即可求出结果.【详解】由题中数据可得：，，所以，所以，故回归直线方程为，所以当时，【点睛】本题主要考查线性回归方程，需要考生掌握住最小二乘法求与，属于基础题型.12、3【解析】试题分析：，解得.考点：球的体积和表面积13、5【解析】

根据等差数列的前n项和公式，判断开口方向，计算出对称轴，即可得出答案。【详解】因为等差数列前项和为关于的二次函数，又因为，所以其对称轴为，而，所以开口向上，因此当时最小．【点睛】本题考查等差数列前n项和公式的性质，属于基础题。14、【解析】

根据等差数列的性质得，由此得解.【详解】解：由题意可知，；同理。故.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.15、5【解析】

关于方程两数根为与，由根与系数的关系得：，，由及与互为共轭复数可得答案．【详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：，，由与为虚数根得：，，则，解得，经验证，符合要求，故答案为：．【点睛】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意与为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．16、7【解析】

根据数列的通项公式，求得数列的周期为4，利用规律计算，即可求解．【详解】由题意，数列的通项，可得，，得到数列是以4项为周期的形式，所以=．故答案为：7.【点睛】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据数列的通项公式求得数列的周期，以及各项的变化规律是解答的关键，属于基础题，着重考查了．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（1）1【解析】

（1）运用函数的奇偶性的定义即可得证（1）由题意可得有且只有两个相等的实根，可得判别式为0，解方程可得所求值．【详解】（1）证明：由函数，，可得定义域为，且，可得为奇函数；（1）方程只有一个实数解，即为，即△，解得舍去），则的值为1．【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断和二次方程有解的条件，考查方程思想和定义法，属于基础题．18、（1）（2）【解析】

（1）先设等比数列的公比为，再求解即可；（2）由已知条件可得，再利用错位相减法求和即可.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，则，由，，则，即，则，（2）由数列的前项和，则，即当时，，即，又，所以，，①，②①-②得：，即.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法求数列前项和，属中档题.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用同角三角函数的平方关系可求出的值，然后再利用同角三角函数的商数关系可求出的值；（2）在分式分子和分母中同时除以，将所求分式转化为含的分式求解，代值计算即可.【详解】（1），，因此，；（2）原式.【点睛】本题考查同角三角函数的商数关系求值，同时也考查了弦化切思想的应用，解题时要熟悉弦化切所适用的基本情形，考查计算能力，属于基础题.20、（1）见解析；（2）；（3）【解析】

（1）将化简后可得要求证的递推关系.（2）将（1）中的递推关系化简后得到，从而可求的通项公式.（3）结合（2）的结果化简，换元后利用二次函数的性质可求最大值.【详解】（1）证明：由，，，得.又，∴.（2）∵，即，∴是公比为的等比数列.又，∴.（3）由（2）知，因为，所以，所以，令，则，又因为且，所以所以中的最大项为.【点睛】数列最大项、最小项的求法，一般是利用数列的单调性去讨论，但是也可以根据通项的特点，利用函数的单调性来讨论，要注意函数的单调性与数列的单调性的区别与联系.21、（1）（2）【解析】

（1）由数列的递推公式得到和的关系式，进而推导出满