青海省玉树市2026届高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

青海省玉树市2026届高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．2．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是（）A．10 B．20 C．30 D．403．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.94．甲、乙、丙、丁4名田径选手参加集训，将挑选一人参加400米比赛，他们最近10次测试成绩的平均数和方差如下表；根据表中数据，应选哪位选手参加比赛更有机会取得好成绩？（）甲乙丙丁平均数59575957方差12121010A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．已知向量，，，且，则（）A． B． C． D．6．圆的半径为()A．1 B．2 C．3 D．47．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数的部分图象如图所示，则函数在上的最大值为（）A． B． C． D．19．已知，则的值为A． B． C． D．10．对一切，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知向量，，若与共线，则实数________．12．在中，，是边上一点，且满足，若，则_________.13．在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为________.14．若，则函数的值域为________.15．中，内角，，所对的边分别是，，，且，，则的值为__________．16．已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列命题中正确的有_____．(填序号)①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）设，直接用任意角的三角比定义证明：.（2）给出两个公式：①；②.请仅以上述两个公式为已知条件证明：.18．为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）.数据的分组依次为、、、、、、.（1）求频率分布直方图中的值；（2）求该城市所有居民月平均用电量的众数和中位数的估计值；（3）在月平均用电量为的四组用户中，采用分层抽样的方法抽取户居民，则应从月用电量在居民中抽取多少户？19．如图，已知矩形中，，，M是以为直径的半圆周上的任意一点（与C，D均不重合），且平面平面.（1）求证：平面平面；（2）当四棱锥的体积最大时，求与所成的角20．如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的处观赏该壁画，设观赏视角（1）若问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若当变化时，求的取值范围.21．已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，求证：

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

利用作差法对每一个选项逐一判断分析.【详解】选项A,所以a≥b,所以该选项错误；选项B,，符合不能确定，所以该选项错误；选项C,，符合不能确定，所以该选项错误；选项D,，所以，所以该选项正确.故选D【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2、B【解析】分析：要求圆柱的轴截面的面积，需先知道圆柱的轴截面是什么图形，圆柱的轴截面是矩形，由题意知该矩形的长、宽分别为，根据矩形面积公式可得结果.详解：因为圆柱的轴截面是矩形，由题意知该矩形的长是母线长，宽为底面圆的直径，所以轴截面的面积为，故选B.点睛：本题主要考查圆柱的性质以及圆柱轴截面的面积，属于简单题.3、C【解析】

由对立事件概率关系得到B发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P(A+B).【详解】因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选C.【点睛】本题考查互斥事件的概率，能利用对立事件概率之和为1进行计算，属于基本题.4、D【解析】

由平均数及方差综合考虑得结论．【详解】解：由四位选手的平均数可知，乙与丁的平均速度快；再由方差越小发挥水平越稳定，可知丙与丁稳定，故应选丁选手参加比赛更有机会取得好成绩．故选：．【点睛】本题考查平均数与方差，熟记结论是关键，属于基础题．5、C【解析】

由可得,代入求解可得,则,进而利用诱导公式求解即可【详解】由可得,即,所以,因为,所以,则,故选:C【点睛】本题考查垂直向量的应用,考查里利用诱导公式求三角函数值6、A【解析】

将圆的一般方程化为标准方程，确定所求.【详解】因为圆，所以，所以，故选A.【点睛】本题考查圆的标准方程与一般方程互化，圆的标准方程通过展开化为一般方程，圆的一般方程通过配方化为标准方程，属于简单题.7、D【解析】

利用基本不等式求得的最小值，根据不等式存在性问题，解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】由于，而不等式有解，所以，即，解得或.故选：D【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查不等式存在性问题的求解，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.8、A【解析】

由图象求出T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，再求x∈[6，10]时函数f（x）的最大值．【详解】由图象可知，5﹣3＝2，解得T＝8，由T8，解得ω；∴函数的解析式是f（x）＝sin（x+φ）；∵（5，1）在f（x）的图象上，有1＝sin（φ）∴φ＝2kπ，k∈Z；φ＝2kπ，k∈Z；又﹣π＜φ＜0，∴φ；∴函数的解析式是f（x）＝sin（x）当x∈[6，10]时，x∈[，]，∴sin（x）∈[﹣1，]；∴函数f（x）的最大值是．故选A．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记图像与性质是关键，是基础题．9、B【解析】

利用诱导公式求得tanα，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【详解】∵已知tanα，∴tanα，则，故选B．【点睛】本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．10、B【解析】

先求得的取值范围，根据恒成立问题的求解策略，将原不等式转化为，再解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】解：对一切，恒成立，转化为：的最大值，又知，的最大值为；所以，解得或.故选B.【点睛】本小题主要考查恒成立问题的求解策略，考查三角函数求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出x的值．【详解】向量（3，﹣1），（x，2），若与共线，则3×2﹣（﹣1）•x＝0，解得x＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了平面向量的共线定理与坐标表示的应用问题，是基础题．12、【解析】

记,则,则可求出,设,,得,,故结合余弦定理可得,解得的值,即可求,进而求的值.【详解】根据题意,不妨设,,则,因,所以,设,由,得,又,所以,故由余弦定理可得,即,整理得:,即,所以,所以,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用以及同角三角函数的基本关系式,属于中档题.13、【解析】

先列举出总的基本事件，在找出其中有2个成语有相同的字的基本事件个数，进而可得中奖率.【详解】解：先观察成语中的相同的字，用字母来代替这些字，气—A，风—B，马—C，信—D，河—E，意—F，用ABF，B，CF，CD，AE，DE分别表示成语意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，则从盒内随机抽取2张卡片有共15个基本事件，其中有相同字的有共6个基本事件，该游戏的中奖率为，故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的概率问题，关键是要将符合条件的基本事件列出，是基础题.14、【解析】

令，结合可得，本题转化为求二次函数在的值域，求解即可.【详解】，.令，，则，由二次函数的性质可知，当时，；当时，.故所求值域为.【点睛】本题考查了函数的值域，利用换元法是解决本题的一个方法.15、4【解析】

利用余弦定理变形可得，从而求得结果.【详解】由余弦定理得：本题正确结果：【点睛】本题考查余弦定理的应用，关键是能够熟练应用的变形，属于基础题.16、②④【解析】

利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【详解】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六边形ABCDEF中，AB⊥AE，PAAE=A，∴AB⊥平面PAE，且AB面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；∵BC∥AD∥平面PAD，平面PAD平面PAE=PA，∴直线BC∥平面PAE也不成立，即③不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．故答案为②④．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质的合理运用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）直接利用任意角的三角函数的定义证得．（2）由已知条件利用诱导公式，证明．【详解】解：（1）将角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，设角终边一点（非原点），其坐标为.∵，∴，.（2）由于，将换成后，就有即，.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．18、（1）；（2）众数为度，中位数为度；（3）户.【解析】

（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值；（2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，可得出该城市所有居民月平均用电量的众数，利用中位数左边的矩形面积之和为可求得该城市所有居民月平均用电量的中位数；（3）计算出月用电量在的用户在月平均用电量为的用户中所占的比例，乘以可得出结果.【详解】（1）因为，所以；（2）月平均用电量众数的估计值为度，，故中位数，所以，，解得，故月平均用电量中位数的估计值为度；（3）月均用电量在、、、的用户分别为户、户、户、户，其中，月均用电量为的用户在月平均用电量为的用户中所占的比例为，所以在月均用电量为的用户中应抽取（户）.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数、众数，同时也考查了利用分层抽样求样本容量，考查计算能力，属于基础题.19、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）证明，得到平面，得到答案.（2）过点M作于点E，当M为半圆弧的中点时，四棱锥的体积最大，作于F，连接，与所成的角即与所成的角，计算得到答案.【详解】（1）为直径，，已知平面平面，.平面，所以，又，平面，又平面，∴平面平面.（2）过点M作于点E，∵平面平面，平面，即为四棱锥的高，又底面面积为定值.所以当M为半圆弧的中点时，四棱锥的体积最大.作于F，连接，，与所成的角即与所成的角.在直角中，，，所以.，故与所成的角为.【点睛】本题考查了面面垂直，体积的最值，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20、（1）（2）3≤x≤1．【解析】试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根据基本不等式求最值，最后根据正切函数单调性确定最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得，再根据a的范围确定范围，最后解不等式得的取值范围.试题解析：（1）当时，过作的垂线，垂足为，则，且，由已知