南阳市重点中学2026届高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

南阳市重点中学2026届高一数学第二学期期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．只有一次中靶C．两次都中靶D．两次都不中靶2．函数的最小正周期是（）A． B． C． D．3．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则制作该手工制品表面积为（）A． B． C． D．4．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；135．若直线：与直线：平行，则的值为()A．-1 B．0 C．1 D．-1或16．已知正方体的个顶点中，有个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为（）A． B． C． D．7．定义运算，设，若，，，则的值域为（）A． B． C． D．8．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度9．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000m/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1km，参考数据：）A．11.4km B．6.6km C．6.5km D．5.6km10．已知变量满足约束条件，则的最大值为（）A．8 B．7 C．6 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2＝θ(θ为钝角)．若，则x1x2＋y1y2的值为_____．12．已知，则________.13．如图,货轮在海上以的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为150°的方向航行.为了确定船位,在点B观察灯塔A的方位角是120°,航行半小时后到达C点,观察灯塔A的方位角是75°,则货轮到达C点时与灯塔A的距离为______nmile14．已知一个三角形的三边长分别为3,5,7，则该三角形的最大内角为_________15．如图，在中，已知点在边上，，，则的长为____________．16．已知等差数列的公差为，且，其前项和为，若满足，，成等比数列，且，则______，______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足3(b（1）求角B的大小；（2）若ΔABC的面积为32，B是钝角，求b18．已知正项等比数列满足，，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）若，且对所有的正整数都有成立，求的取值范围.19．已知．（I）若函数有三个零点，求实数的值；（II）若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．20．在中，角所对的边分别为，满足（1）求的值；（2）若，求b的取值范围.21．（2012年苏州17）如图，在中，已知为线段上的一点，且．（1）若，求的值；（2）若，且，求的最大值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据互斥事件的定义逐个分析即可.【详解】“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故A错误.“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故B错误.“至少有一次中靶”与“两次都中靶”均包含中靶两次的情况.故C错误.根据互斥事件的定义可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.故选：D【点睛】本题主要考查了互斥事件的辨析,属于基础题型.2、C【解析】

根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解．【详解】由角函数的周期公式，可得函数的周期，又由绝对值的周期减半，即为最小正周期为，故选C．【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题．3、D【解析】

由三视图可知，得到该几何体是由两个圆锥组成的组合体，根据几何体的表面积公式，即可求解.【详解】由三视图可知，该几何体是由两个圆锥组成的组合体，其中圆锥的底面半径为3，高为4，所以几何体的表面为.选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.4、D【解析】分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，所以中间一个矩形最该，故数据的众数为，而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，第一个矩形的面积为，第二个矩形的面积为，故将第二个矩形分成即可，所以中位数是，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.5、C【解析】

两直线平行表示两直线斜率相等，写出斜率即可算出答案．【详解】显然，，．所以，解得，又时两直线重合，所以．故选C【点睛】此题考查直线平行表示直线斜率相等，属于简单题．6、A【解析】所求的全面积之比为：，故选A.7、C【解析】

由题意，由于与都是周期函数，且最小正周期都是，故只须在一个周期上考虑函数的值域即可，分别画出与的图象，如图所示，观察图象可得：的值域为，故选C.8、D【解析】

由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.【详解】由图象可知，又，所以，又因为，所以，所以，又因为，又，所以所以又因为故选D.【点睛】本题考查由图象确定函数的解析式和正弦函数和余弦函数图象之间的平移，关键在于将异名函数化为同名函数，属于中档题.9、C【解析】

根据题意求得和的长，然后利用正弦定理求得BC，最后利用求得问题答案.【详解】在中，根据正弦定理，所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5km.故选：C【点睛】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，考查了学生数学应用，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.10、B【解析】

先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【详解】满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线把直线向上平移可得过点时最小当，时，取最大值1，故答案为1．【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、－【解析】

先利用平面向量数量积的定义和坐标运算得到，再利用两角和的正弦公式和平方关系进行求解.【详解】根据题意知，又P1，P2在单位圆上，，即x1x2＋y1y2＝cosθ；∵①又sin2θ＋cos2θ＝1②且θ为钝角，联立①②求得cosθ＝－.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义和坐标运算、两角和的正弦公式，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．12、【解析】

由可得，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系.13、【解析】

通过方位角定义，求出，，利用正弦定理即可得到答案.【详解】根据题意，可知,,，因此可得，由正弦定理得：，求得，即答案为.【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，难度不大.14、【解析】

由题意可得三角形的最大内角即边7对的角，设为θ，由余弦定理可得cosθ的值，即可求得θ的值．【详解】根据三角形中，大边对大角，故边长分别为3，5，7的三角形的最大内角即边7对的角，设为θ，则由余弦定理可得cosθ，∴θ＝，故答案为：C．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，大边对大角，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．15、【解析】

由诱导公式可知，在中用余弦定理可得BD的长。【详解】由题得，，在中，可得，又，代入得，解得.故答案为：【点睛】本题考查余弦定理和诱导公式，是基础题。16、2【解析】

由，可求出，再由，，成等比数列，可建立关系式，求出，进而求出即可.【详解】由，可知，即，又，，成等比数列，所以，则，即，解得或，因为，所以，，所以.故答案为：2；.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等差数列前项和的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）B=π3或2π【解析】

（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得3sin(A+B)=2sinBsin（2）由（1）和三角形的面积公式，可求得ac=2，再由余弦定理和基本不等式，即可求解b的最小值.【详解】（1）由题意，知3(b结合正弦定理得：3(即3sin又在△ABC中，sin(A+B)=sinC>0因为B∈(0,π)所以B=π3或（2）由三角形的面积公式，可得12又由sinB=32因为B是钝角，所以B=2π由余弦定理得b2当且仅当a=c时取等号，所以b的最小值为6.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.18、（1）,；（2）；（3）.【解析】

（1）设等比数列的公比为，则，根据条件可求出的值，利用等比数列的通项公式可求出，再由对数的运算可求出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和为；（3）利用数列单调性的定义求出数列最大项的值为，由题意得出关于的不等式对任意的恒成立，然后利用参变量分离法得出，并利用基本不等式求出在时的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，由可得，，，即，，解得，.；（2）由（1）可得，，可得，上式下式，得，因此，；（3），，，，即，则有.所以，数列是单调递减数列，则数列的最大项为.由题意可知，关于的不等式对任意的恒成立，.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，则在时的最小值为，，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查错位相减求和法以及数列不等式恒成立问题，涉及数列最大项的问题，一般利用数列单调性的定义来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19、（I）或；（II）．【解析】

（I）令，将有三个零点问题，转化为有三个不同的解的解决.画出和的图像，结合图像以及二次函数的判别式分类讨论，由此求得的值.（II）令，将恒成立不等式等价转化为恒成立，通过对分类讨论，求得的最大值，由此求得的取值范围.【详解】（I）由题意等价于有三个不同的解由，可得其函数图象如图所示：联立方程：，由可得结合图象可知．同理，由可得，因为，结合图象可知，综上可得：或．（Ⅱ）设，原不就价于，两边同乘得：，设，原题等价于的最大值．（1）当时，，易得，（2），，易得，所以的最大值为16，即，故．【点睛】本小题主要考查根据函数零点个数求参数，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查不等式恒成立