人教版九年级数学下册《28.1 锐角三角函数（第2课时）：余弦与正切》教案

人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数（第2课时）：余弦与正切》教案

一、教材与学情深度分析

（一）教材内容解析与定位

本节课选自人教版《数学》九年级下册第二十八章“锐角三角函数”的第一节。本章内容属于“图形与几何”领域，是三角形边角关系定量研究的深化，也是连接几何与代数的重要桥梁，在高中乃至大学的数学学习中具有奠基性作用。

1.知识结构承前启后

1.纵向衔接：本节课是学生在九年级上册学习了“相似三角形”和“勾股定理”，以及本章第1课时学习了“正弦”概念的基础上进行的。正弦的定义（对边比斜边）为余弦和正切的类比学习提供了思维模板和方法论指引。本节课的内容——余弦和正切——将与正弦共同构成完整的锐角三角函数初步概念体系，为后续解直角三角形的实际应用、高中任意角三角函数的扩展以及物理、工程等学科中的波动、周期性现象研究奠定坚实的核心概念基础。

2.横向关联：锐角三角函数本质上是揭示直角三角形中边角之间的函数关系。这标志着学生认识函数视角的一次重要拓展，从一次函数、反比例函数、二次函数等“数”与“数”的对应，延伸到“角”（角度）与“比值”（边与边的比）的对应。这种从离散到连续、从代数到几何的跨越，是培养学生数学抽象和模型观念的关键节点。

2.核心内容剖析

本节课的核心是建立余弦（cosA）和正切（tanA）的数学概念。教材通过类比正弦的探究过程，引导学生发现：在锐角A确定的情况下，∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比也都是固定值。这两个固定的比值分别被定义为∠A的余弦和正切。理解这种“角定，比值定”的函数思想是教学的灵魂。此外，教材初步引入了三个基本三角函数（sinA,cosA,tanA）之间的基本关系（如sin²A+cos²A=1，tanA=sinA/cosA），这些关系不仅是重要的恒等变换工具，也深刻揭示了三角函数的内在统一性。

（二）学情诊断与预设

九年级下学期的学生，其逻辑思维正从经验型向理论型过渡，具备一定的自主探究和合作学习能力。

1.认知基础

1.学生已经熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解“形状相同的三角形，其对应边的比相等”这一原理，这是理解锐角三角函数“确定性”的几何根基。

2.学生已初步掌握正弦（sinA）的概念和探究过程，对“在直角三角形中，当锐角固定时，某些边的比值是固定的”这一思想有了初次体验。

3.学生具备基本的勾股定理应用能力，能为探究三角函数间的关系提供代数工具。

2.潜在困难与障碍

1.概念抽象性：“余弦”、“正切”作为新的数学符号和概念，其抽象程度较高。学生可能混淆三个三角函数的定义式，尤其是“邻边”在余弦和正切中的不同角色（余弦中是邻边比斜边，正切中是对边比邻边）。

2.函数思想内化不足：虽然学习了正弦，但将“角度”视为自变量，“边的比值”视为因变量的函数观念尚未稳固建立。学生可能仍停留在“计算某个比值”的机械操作层面，未能深刻领悟其作为函数的本质。

3.符号记忆与关系复杂：三个三角函数符号（sin,cos,tan）及其定义式需要记忆，加上它们之间衍生的几个基本关系式，可能给学生带来记忆负担，导致张冠李戴。

3.学习心理与动力

学生对与生活紧密相关的数学内容（如测量高度、坡度计算）有天然的兴趣。利用此点创设真实、富有挑战性的问题情境，能有效激发其内在探究动机。同时，通过设计循序渐进的探究任务，让学生经历“模仿-发现-归纳-应用”的完整过程，能获得较强的成就感。

二、教学目标与核心素养指向

基于以上分析，依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，确立以下三维目标，并明确其核心素养培养指向：

（一）教学目标

1.知识与技能

1.理解余弦（cosA）和正切（tanA）的概念，能准确说出其定义，并正确书写。

2.能根据直角三角形的边长，准确、熟练地求出锐角的余弦值和正切值。

3.初步了解锐角A的正弦、余弦、正切之间的关系，并能进行简单运用。

4.能利用计算器由已知锐角求它的三角函数值，或由已知三角函数值求对应的锐角。

2.过程与方法

1.经历余弦、正切概念的形成过程，通过类比正弦的探究方法，体会从特殊到一般、类比迁移的数学思想方法。

2.在探索三角函数关系的过程中，发展观察、猜想、验证、归纳的逻辑推理能力。

3.通过解决实际问题，体验建立数学模型（直角三角形模型）并运用三角函数工具解决问题的完整过程。

3.情感、态度与价值观

1.在探究活动中感受数学知识之间的内在联系（几何与代数、形与数）和统一美，增强学习数学的信心。

2.通过三角函数在测量、工程等领域的应用实例，认识数学的科学价值和应用价值，培养理论联系实际的科学态度。

（二）核心素养培育指向

1.数学抽象：从具体的直角三角形边角关系中，抽象出余弦、正切这两个函数概念，并用符号予以精确表达。

2.逻辑推理：在探究“角定，比值定”以及三角函数关系式的过程中，进行合情推理和演绎推理。

3.数学建模：识别实际问题中的几何关系，构建直角三角形模型，并选择恰当的三角函数解决问题。

4.直观想象：能够在复杂的图形中识别或构造出包含目标锐角的直角三角形，并能正确标识对边、邻边。

5.数学运算：进行三角比值的计算，以及利用关系式进行简单的恒等变形和求值。

三、教学重难点

1.教学重点：余弦（cosA）和正切（tanA）概念的理解与建构。

2.教学难点：

1.3.理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的函数本质，即“对于每一个确定的锐角，都有唯一确定的比值与之对应”。

2.4.正确、灵活地区分并运用三个三角函数的定义式，尤其在非标准位置的直角三角形中识别“对边”与“邻边”。

3.5.对三角函数之间关系的探索与理解。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含几何画板动态演示、生活实例图片、阶梯问题组）、三角板、教学设计详案。

2.学生准备：复习正弦概念及相似三角形性质，直尺，科学计算器。

3.环境准备：学生按4-6人异质小组就座，便于开展合作探究。

五、教学过程设计与实施（核心环节）

第一环节：创设情境，温故孕新——从“正弦”的再认识出发（预计时间：8分钟）

1.情境再现，激活旧知

1.【教师活动】课件展示上节课引入正弦时使用的“绿化山坡需知坡度”问题变式：“如图，为铺设灌溉水管，需测量一段山坡的倾斜角α。我们在坡脚B点测得BC（水平距离）为5米，在坡顶A点测得AC（垂直高度）为1.5米。我们可以用哪个比值来描述这个山坡的陡峭程度？”

2.【学生活动】观察图形，回忆并回答：坡度=垂直高度/水平距离=AC/BC=1.5/5=0.3。

3.【教师追问】这个比值（AC/BC）与我们上节课学的正弦（sinα）一样吗？正弦是哪两条边的比？

4.【学生回答】不一样。正弦（sinα）是∠α的对边（AC）与斜边（AB）的比。这里是∠α的对边（AC）与邻边（BC）的比。

设计意图：通过一个与正弦引入情境相似但比值不同的实际问题，制造认知冲突。既复习了正弦的定义（对边/斜边），又自然引出了一个新的比值（对边/邻边），为“正切”概念的出场埋下伏笔。同时，明确“对边”“邻边”是相对于目标锐角而言的，为后续学习扫清术语障碍。

2.类比设问，明确方向

1.【教师引导】上节课，我们发现了“在直角三角形中，锐角A确定，它的对边与斜边的比（sinA）也确定”。那么，除了这个比值，在这个确定的锐角A的直角三角形中，还有没有其他边的比值也是确定的呢？比如，邻边与斜边的比？对边与邻边的比？今天，我们就沿着研究正弦的思路，开启新的探索之旅。

第二环节：合作探究，建构概念——发现“余弦”与“正切”（预计时间：18分钟）

活动一：探究“邻边与斜边的比”是否确定？

1.【任务发布】请各小组利用几何画板（或教师统一演示），完成以下探究：

1.2.画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A为一个固定值（如35°）。

2.3.度量并计算∠A的邻边（AC）与斜边（AB）的比值，即AC/AB。

3.4.拖动点B（保持∠C=90°不变），观察Rt△ABC的大小发生变化时，比值AC/AB是否变化？

5.【学生活动】小组合作操作、观察、记录。他们很快会发现，无论直角三角形大小如何变化，只要∠A的大小固定（如35°），比值AC/AB始终是一个固定的数值。

6.【教师归纳】正如大家发现的：在直角三角形中，当锐角A的大小固定时，它的邻边与斜边的比也是一个固定值。这是一个重要的数学规律。

7.【概念定义】我们把这个固定比值，叫做锐角A的余弦（cosine），记作cosA。

即：cosA=∠A的邻边/斜边=b/c（假设∠A邻边为b，斜边为c）。

8.【板书】cosA=\frac{∠A的邻边}{斜边}

活动二：探究“对边与邻边的比”是否确定？

1.【教师引导】回到我们课堂开始时的山坡问题，那个描述坡度的比值（对边/邻边），它是否也具有这种“角定，比值定”的特性呢？请大家自行设计探究方案进行验证。

2.【学生活动】借鉴活动一的经验，小组讨论并实施探究（改变Rt△ABC的大小，观察∠A的对边（BC）与邻边（AC）的比值BC/AC是否变化）。得出结论：该比值同样只与∠A的大小有关，与三角形大小无关。

3.【概念定义】在直角三角形中，当锐角A的大小固定时，它的对边与邻边的比也是一个固定值。我们把这个固定比值，叫做锐角A的正切（tangent），记作tanA。

即：tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b（假设∠A对边为a，邻边为b）。

4.【板书】tanA=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}

5.【关联生活】这个比值tanA，在实际生活中就常常用来描述坡度（或坡比）。坡度i=tanα。

活动三：归纳对比，形成体系

1.【教师组织】请同学们将正弦、余弦、正切的定义填入下表，并进行对比。

函数名称

符号

定义（文字）

定义（表达式，在Rt△ABC中，∠C=90°）

正弦

sinA

∠A的对边与斜边的比

sinA=a/c

余弦

cosA

∠A的邻边与斜边的比

cosA=b/c

正切

tanA

∠A的对边与邻边的比

tanA=a/b

1.【学生活动】完成表格，小组内互相检查定义记忆的准确性。齐读定义，强化记忆。

2.【深度追问】观察这三个定义，它们有什么共同点？（都与锐角A有关；都是两条边的比值；比值大小只与∠A的大小有关，与直角三角形的大小无关。）这说明了什么？

3.【师生共识】对于每一个确定的锐角A，都有一组唯一确定的比值sinA,cosA,tanA与之对应。这就建立起了一个“角”与“比值”之间的函数关系。我们把sinA,cosA,tanA统称为锐角A的三角函数。

设计意图：本环节是概念建构的核心。采用“教师引导探究（余弦）→学生自主探究（正切）”的递进方式，充分尊重学生的主体地位，培养其类比迁移和科学探究的能力。通过表格对比，将三个概念系统化、结构化，利于学生辨析和记忆。最后的深度追问直指函数本质，实现概念的升华。

第三环节：变式辨析，深化理解——从“定义”到“熟练识别”（预计时间：12分钟）

练习1：基础识别（“找对家”）

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b。

1.写出∠A的六个三角函数值（sin,cos,tan）。

（答案：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b）

2.写出∠B的六个三角函数值。

（答案：sinB=b/c,cosB=a/c,tanB=b/a）

【教师点拨】：求一个锐角的三角函数，必须首先明确它所在的直角三角形，然后准确找到它的“对边”和“邻边”。对于不同的锐角，同一

条边的“身份”（是对边还是邻边）是不同的。

练习2：图形变式（“火眼金睛”）

课件展示一系列图形：

1.图形1：标准Rt△ABC，∠C=90°。（直接应用）

2.图形2：将Rt△ABC斜放，∠A位于左下角。（本质不变）

3.图形3：一个更大的图形中包含Rt△ABC。（需从复杂图形中剥离出目标直角三角形）

4.图形4：只给出一个锐角α，以及它的一条边，需要学生自己构造直角三角形。

【学生活动】针对每个图形，教师指定一个锐角（如∠A或α），学生快速说出或写出它的正弦、余弦、正切表达式。

【设计意图】：通过图形的位置变换、嵌套和构造，训练学生在各种情境下迅速识别或构造直角三角形，并正确判定对边和邻边，突破教学难点。

练习3：数值计算（“初试锋芒”）

在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件，求∠A和∠B的三角函数值：

1.AC=3，BC=4。（先由勾股定理求AB=5，再计算）

2.AB=10，BC=6。

【学生活动】独立计算，小组互查。重点关

注计算过程的规范性和结果的准确性。

第四环节：关系探寻，体系初建——发现三角函数间的“纽带”（预计时间：10分钟）

探究活动：三角函数间存在哪些关系？

1.【教师启发】在同一个Rt△ABC中（∠C=90°），∠A的正弦、余弦、正切都依赖于这个三角形的三条边a,b,c。那么，它们彼此之间会不会存在某种固有的数量关系呢？请大家观察它们的表达式：

sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b。

2.【学生活动】小组观察、讨论、尝试推导。

3.【发现与验证】

1.4.商数关系：tanA=(a/c)/(b/c)=sinA/cosA。

即：tanA=\frac{sinA}{cosA}。

2.5.平方关系：(sinA)²+(cosA)²=(a/c)²+(b/c)²=(a²+b²)/c²。

根据勾股定理a²+b²=c²，所以(a²+b²)/c²=1。

即：sin²A+cos²A=1。（强调书写规范：sin²A表示(sinA)²）

3.6.互余关系：sinA=cosB,cosA=sinB。因为∠A+∠B=90°，即∠B=90°-∠A。

即：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)。

7.【教师总结】这些关系是锐角三角函数的重要性质。商数关系和平方关系揭示了同角三角函数之间的内在联系，互余关系则沟通了两个互余角三角函数之间的联系。它们在未来进行三角计算、化简和证明时非常有用。

设计意图：本环节将学习引向深入。引导学生从定义式出发，运用代数运算和勾股定理，自主发现三角函数之间的基本关系。这不仅巩固了概念，加深了理解，更让学生体验了数学知识的内在和谐与统一，发展了逻辑推理能力。

第五环节：迁移应用，感悟价值——从“数学”回到“生活”（预计时间：10分钟）

应用问题：“测量古塔的高度”

1.【情境】某数学兴趣小组无法直接测量一座古塔AB的高度。他们在与塔底B同一水平面的地面上选取一点C，测得BC=35米，从点C处观测塔顶A，测得仰角∠ACB为41°。已知测角仪高度忽略不计，求古塔AB的高度。（参考数据：sin41°≈0.66，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87）

2.【学生活动】阅读问题，建立模型。

1.3.建模：实际问题→数学问题。画出几何图形，这是一个Rt△ABC，∠B=90°（水平面与垂直塔身），已知∠C=41°，邻边BC=35米，求对边AB。

2.4.选择工具：哪个三角函数关联了∠C的对边（AB）和邻边（BC）？——正切。

3.5.求解：在Rt△ABC中，tanC=AB/BC，即tan41°=AB/35。∴AB=35×tan41°≈35×0.87=30.45（米）。

4.6.作答：古塔AB的高度约为30.45米。

7.【交流反思】如果改变条件，已知AB和∠C，求BC，该用哪个函数？（用正切，但需变形）。如果已知斜边AC和∠C，求AB，用哪个？（用正弦）。选择三角函数的关键，是看已知条件和待求量涉及的是哪两条边的比。

设计意图：设计一个典型的解直角三角形应用问题，让学生完整经历“审题-建模-选工具-求解-检验-作答”的数学建模过程。通过解决问题，深刻体会三角函数的应用价值，巩固正弦、余弦、正切的选用原则，提升数学应用意识。

第六环节：课堂小结，拓展延伸（预计时间：7分钟）

1.知识树梳理

1.引导学生以思维导图形式，总结本节课所学：

1.2.中心：锐角A的三角函数。

2.3.主干：余弦（cosA）、正切（tanA）的定义与理解。

3.4.分支：三个三角函数的对比、基本关系（同角、互余）、简单应用。

4.5.根系：函数思想、相似三角形原理、勾股定理。

2.总结与提升

1.【教师总结】今天，我们通过类比和探究，结识了锐角三角函数家族的另外两个重要成员——余弦和正切。我们不仅要知道“它们是什么”（定义），更要理解“为什么”（函数本质），还要初步知道“它们有何联系”（基本关系），以及“它们有何用”（解决实际问题）。三角函数是沟通角与边、几何与代数的精美桥梁，在今后的学习中，我们会不断领略它的力量与魅力。

3.布置分层作业

1.基础巩固（必做）：

1.2.教材课后练习中关于余弦、正切定义计算和简单应用的题目。

2.3.整理本节课的笔记，默写正弦、余弦、正切的定义表。

4.能力提升（选做）：

1.5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=5/13，求cosA和tanA的值。（利用sin²A+cos²A=1及tanA=sinA/cosA）

2.6.查阅资料，了解“正弦”“余弦”“正切”这些中文名称的由来，以及历史上数学家是如何发现这些三角比关系的，写一篇200字的小简介。

六、板书设计

主板书（左侧）：

28.1锐角三角函数（第2课时）

一、余弦(cosine)

定义：cosA=∠A的邻边/斜边

在Rt△ABC(∠C=90°)中：cosA=b/c

二、正切(tangent)

定义：tanA=∠A的对边/邻边

在Rt△ABC中：tanA=a/b

三、锐角三角函数的函数本质

对于每一个确定的锐角A，都有唯一确定的sinA,cosA,tanA与之对