人教版九年级数学下册《用坐标表示位似变换》教案

人教版九年级数学下册《用坐标表示位似变换》教案

一、课标要求与内容分析

1.1课程标准对接

本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域。课标明确要求：“在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。”这一要求将图形的位似变换从直观感知和尺规作图层面，提升到用代数的语言——坐标进行精确刻画和定量分析的层面，体现了数形结合的核心思想。学生需要从“形”的直观感知过渡到“数”的精确表达，并利用“数”的规律反过来指导“形”的变换，完成一次重要的数学抽象。

1.2教材地位与作用

本节内容是人教版九年级下册第二十七章“相似”中“位似”部分的第二课时。它是在学生已经学习了相似三角形的判定与性质、图形的平移、轴对称、旋转（含中心对称）等全等变换，以及第一课时位似图形的概念与基本性质的基础上进行的。教材的逻辑脉络清晰：

1.承上：位似是一种特殊的相似变换，而相似变换是初中阶段除全等变换外最重要的图形变换。坐标表示法则为这种变换提供了代数的“操作手册”。

2.启下：用坐标表示位似，是继用坐标表示平移、轴对称、旋转之后，对图形变换代数化描述的完善。它搭建了“形”（位似图形）与“数”（坐标倍数关系）之间的坚固桥梁，是数形结合思想的典范应用，也为高中进一步学习仿射变换、矩阵变换等更抽象的数学知识埋下伏笔。

1.3知识结构图

图形的相似->位似变换（特殊相似）

|

|——位似的定义与性质（第1课时：定性）

|

|——用坐标表示位似（第2课时：定量）

|

|——位似中心在原点

||——放大：坐标乘以k(k>1)

||——缩小：坐标乘以k(0<k<1)

||——反向位似：坐标乘以k(k<0)

|

|——位似中心在任意点P(a,b)

|——一般公式：(x,y)->(a+k(x-a),b+k(y-b))

二、学情分析

2.1认知基础

1.知识层面：学生已经熟练掌握平面直角坐标系的相关知识，能够根据坐标描点、连线成图；深刻理解并能够运用坐标描述平移、轴对称和旋转变换；掌握了位似图形的概念、性质，并能利用尺规作图作出已知图形的位似图形。

2.技能层面：具备基本的观察、归纳、概括能力，能够进行小组合作探究。具有一定的从特殊到一般的数学思考经验。

3.思维层面：九年级学生抽象逻辑思维正处于快速发展期，但由具体操作到抽象公式的概括能力仍有待强化。他们习惯于解决有固定步骤的问题，但对于需要自主建构数学模型的探究性任务，可能面临思维挑战。

2.2潜在困难与障碍

1.思维定势：学生容易将位似中心在原点的坐标规律，错误地迁移到位似中心不在原点的情形，简单地认为“所有坐标都加（或乘）一个数”。

2.符号理解：对于相似比k的符号（正负）所决定的图形位置关系（同侧位似与异侧位似），难以与坐标变化建立直观联系。

3.公式建构：从具体的坐标计算案例中，抽象出一般化公式(x,y)->(a+k(x-a),b+k(y-b))

，理解其几何意义（“先平移中心至原点，进行变换，再平移回原中心”或向量解释），是一个认知飞跃点。

4.逆向思维：已知变换前后坐标，反求位似中心坐标和相似比，需要解二元一次方程组或比例式，对学生的代数综合能力要求较高。

三、核心素养目标

依据课标核心素养导向，制定如下三维目标：

1.知识与技能：

1.2.理解并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形对应点坐标的变化规律。

2.3.探索并掌握在平面直角坐标系中，以任意点为位似中心的位似图形对应点坐标的变化规律，能推导并应用一般公式。

3.4.能利用坐标变化规律，在坐标系中准确地作出已知图形的位似图形，或根据坐标关系判断图形是否为位似关系。

5.过程与方法：

1.6.经历“具体操作—观察猜想—验证推理—归纳概括”的完整探究过程，体会从特殊到一般、数形结合及类比迁移的数学思想方法。

2.7.通过将复杂问题（位似中心不在原点）转化为已解决问题（位似中心在原点）的过程，掌握“化归”这一重要的数学策略。

3.8.在探究一般公式的过程中，提升数学抽象和数学建模的能力。

9.情感、态度与价值观：

1.10.在探究活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心，感受数学的严谨性与简洁美。

2.11.体会用代数方法研究几何问题的强大力量，深化对数学统一性的认识。

3.12.培养敢于质疑、乐于探究、合作交流的科学精神。

四、教学重难点

1.教学重点：平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律；以任意点为位似中心的位似变换坐标规律的探究与应用。

2.教学难点：位似中心不在原点时，坐标变化一般公式的推导与几何意义的理解；相似比k的符号对图形位置影响的坐标解释。

五、教学资源与准备

1.教师：交互式电子白板（或多媒体课件）、几何画板软件、预设的探究学习单、标准坐标系网格板。

2.学生：直尺、三角板、坐标网格纸、计算器（备用）、学习单。

六、教学过程实施

（一）创设情境，温故孕新（预计时间：8分钟）

活动设计：

1.情境导入：利用多媒体展示一幅城市地图和该城市的卫星遥感图。提问：“这两幅图是相似图形吗？它们之间还存在什么更特殊的关系？”引导学生回顾位似图形的定义（对应点连线交于一点，且对应边平行）和性质（对应边成比例）。

2.问题链激疑：

1.3.问题1：在坐标系中，已知△ABC顶点坐标为A(1,2)，B(3,1)，C(2,3)。以原点O为位似中心，相似比为2，画出放大后的图形△A’B’C’。你如何确定A’,B’,C’的坐标？

2.4.问题2：（教师利用几何画板动态演示上述变换过程，并显示关键点的坐标）请同学们观察并记录变换前后对应点的坐标，寻找数量关系。

3.5.问题3：如果相似比是0.5呢？坐标又有什么规律？

4.6.问题4：如果相似比是-2呢？图形位置有何变化？坐标规律还一样吗？

设计意图：从生活实例切入，唤醒旧知。问题1让学生先尝试基于几何定义（连线、延长）进行作图思考，这是“形”的层面。问题2、3、4则引导学生将视线转向“数”的层面，通过对特例的观察，为归纳一般规律埋下伏笔。引入负相似比k，制造认知冲突，激发探究欲望。

（二）合作探究，建构新知（预计时间：25分钟）

探究一：位似中心在原点的坐标规律

学生活动：以小组为单位，完成学习单上的表格。

原有点坐标

相似比k=2

相似比k=0.5

相似比k=-2

A(1,2)

A'(,)

A''(,)

A'''(,)

B(3,1)

B'(,)

B''(,)

B'''(,)

C(2,3)

C'(,)

C''(,)

C'''(,)

猜想规律

(x,y)->(__,__)

(x,y)->(__,__)

(x,y)->(__,__)

教师引导：

1.巡视各组，指导学生准确计算和填写。

2.请小组代表分享发现的规律。引导学生用精炼的数学语言表述：在平面直角坐标系中，如果以原点O为位似中心，相似比为k（k≠0），那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。

3.追问深化：

1.4.当k>0时，对应点的坐标如何变化？图形位置关系如何？（同侧位似）

2.5.当k<0时，对应点的坐标如何变化？图形位置关系如何？（异侧位似）

3.6.能否将k>0和k<0的情况用一个统一的表达式表示？引导学生得出：变换后点的坐标为(kx,ky)

。并强调k的符号决定了图形位于位似中心的同侧还是异侧。

7.几何画板验证：动态改变k的值（正、负、大于1、小于1），让学生观察坐标的同步变化，强化规律认知。

探究二：位似中心在任意点P(a,b)的坐标规律

问题升级：如果位似中心不是原点，而是平面内的任意一点P(2,1)，相似比k=2，如何求△ABC的位似图形对应点坐标？

学生活动：

1.尝试与困惑：让学生直接猜想。部分学生可能错误猜想为(x,y)->(2x,2y)

或(x,y)->(x+2,y+1)

。教师不立即否定，鼓励其用定义验证（连线、延长）。

2.化归策略引导：

1.3.提问：我们已经有了一把“利器”——原点位似的坐标规律。能否将这个“新问题”转化为我们已解决的“老问题”？

2.4.提示：在坐标系中，移动整个图形（平移），不影响图形自身的形状和大小，也不影响其位似关系（只是位似中心随之移动）。我们能否通过平移，让位似中心P与原点O重合？

5.分步探究：

1.6.步骤一（平移）：将△ABC连同位似中心P(2,1)一起向左平移2个单位，向下平移1个单位。此时，P移到何处？△ABC各顶点的新坐标A₁,B₁,C₁是多少？（引导学生计算：A₁(-1,1),B₁(1,0),C₁(0,2)

，位似中心变为O(0,0)）。

2.7.步骤二（原点位似）：以新的位似中心O(0,0)，按k=2对△A₁B₁C₁进行位似变换。得到△A₂B₂C₂的坐标是多少？（应用规律：A₂(-2,2),B₂(2,0),C₂(0,4)

）。

3.8.步骤三（反向平移）：将△A₂B₂C₂向右平移2个单位，向上平移1个单位，回到原来的位置。得到最终的△A’B’C’的坐标是多少？（计算：A’(0,3),B’(4,1),C’(2,5)

）。

9.抽象与建模：

1.10.请学生用字母a,b,k,x,y表示上述三个步骤。

1.2.11.平移：(x,y)->(x-a,y-b)

（使中心P移至原点）

2.3.12.原点位似：(x-a,y-b)->(k(x-a),k(y-b))

3.4.13.反向平移：(k(x-a),k(y-b))->(k(x-a)+a,k(y-b)+b)

5.14.引导学生合并步骤，得出一般公式：

一般地，在平面直角坐标系中，如果以点P(a,b)为位似中心，相似比为k（k≠0），那么点M(x,y)的对应点N的坐标为(a+k(x-a),b+k(y-b))

。

6.15.几何意义再阐释：公式可以理解为，将点M相对于中心P的“向量”(x-a,y-b)

放大（或缩小）k倍，再加上中心P的坐标，即得到对应点N的坐标。这体现了向量的思想（为高中学习铺垫）。

16.公式应用验证：让学生直接用推导出的公式计算P(2,1),k=2时，A(1,2)的对应点A’坐标，检验是否与分步计算的结果一致。

设计意图：这是本节课的思维高峰。通过制造认知冲突，引导学生主动寻求解决方案。清晰的“平移—变换—平移”三步走策略，将难点分解，渗透了化归思想。引导学生用字母进行符号运算，抽象出一般公式，完成数学建模的关键一步。对公式的几何解释，深化了学生对变换本质的理解。

（三）辨析深化，巩固内化（预计时间：10分钟）

例题与辨析：

1.基础应用：已知线段AB两端点坐标为A(-2,4),B(4,-2)。以点P(1,1)为位似中心，相似比为3，求位似图形对应点A’,B’的坐标，并判断是放大还是缩小？是同侧还是异侧？

2.逆向思维：在坐标系中，四边形ABCD与四边形A’B’C’D’的顶点坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4)和A’(-3,3),B’(-4,1),C’(-2,0),D’(-1,2)。它们是否位似？若是，求出位似中心坐标和相似比。

1.3.引导分析：假设位似中心为P(a,b)，相似比为k。任选一对对应点，如A和A’，代入一般公式建立方程组：-3=a+k(-6-a)

，3=b+k(6-b)

。再选B和B’建立另一组方程联立求解。或通过观察坐标倍数关系（先判断是否为以原点为中心的位似），再利用中点坐标公式求中心。

4.易错辨析：判断下列说法是否正确，并说明理由。

1.5.在坐标系中，将各点横纵坐标都乘以2，得到的图形与原图形是位似图形，位似中心是原点。（√）

2.6.在坐标系中，将各点横纵坐标分别加2和减3，得到的图形与原图形是位似图形。（×，是平移）

3.7.位似图形对应点坐标的比值都相等。（√，强调比值为k或-k）

4.8.两个图形的对应点坐标满足(x’,y’)=(2x+1,2y-1)

，则它们是以点(1,-1)为位似中心，相似比为2的位似图形。（×，变形公式与标准形式对比，应为以(-1,1)为中心）

设计意图：通过阶梯式练习，巩固新知。基础题强化公式应用；逆向思维题提升分析能力和代数运算能力，是教学难点的二次突破；辨析题针对常见错误进行精准打击，深化对概念和公式本质的理解。

（四）拓展延伸，联通整体（预计时间：5分钟）

课堂讨论：回顾一下，在平面直角坐标系中，我们已学习了哪些图形变换？它们的坐标表示有何异同？请完成下表。

变换类型

变换示意（点(x,y)->点(x’,y’)）

核心不变性

关键参数

平移

(x+h,y+k)

形状、大小、方向

平移向量(h,k)

轴对称

关于x轴：(x,-y)

关于y轴：(-x,y)

关于原点：(-x,-y)

关于直线y=x：(y,x)

形状、大小

对称轴

旋转

绕原点逆时针旋转θ：

(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ)

（初中主要特例：旋转90°，180°）

形状、大小

旋转中心、角度、方向

位似

中心在原点：(kx,ky)

中心在(a,b)：(a+k(x-a),b+k(y-b))

形状、对应角

位似中心、相似比k

教师总结：平移、轴对称、旋转是保距变换（全等变换），图形在运动前后全等。位似是保形变换（相似变换），图形在运动前后相似。坐标系为我们研究这些几何变换提供了统一的、量化的工具，这就是解析几何思想的魅力所在。我们可以用统一的代数语言来描述千变万化的几何图形关系。

（五）归纳小结，反思升华（预计时间：2分钟）

学生自主小结：邀请学生从知识、方法、思想三个层面分享本节课的收获。

1.知识：学习了以原点及任意点为位似中心的坐标变换规律（公式）。

2.方法：经历了“特殊→一般”的探究过程，学会了“化归”（将未知转化为已知）的策略。

3.思想：深刻体会了数形结合、类比、建模等数学思想。

教师提炼升华：今天我们为“位似”这把尺子刻上了精确的坐标刻度。从今以后，描述一个图形的位似变换，我们既可以用几何的语言（连线、平行），也可以用代数的语言（坐标公式）。数学正是在这种“数”与“形”的相互翻译、相互印证中不断发展，变得愈发强大和优美。希望同学们掌握这把钥匙，去开启更多数学世界的大门。

七、分层作业设计

1.基础巩固层（必做）：

1.2.教材课后习题：完成人教版九年级下册相关练习题。

2.3.在坐标纸上，已知△ABC顶点为A(0,0),B(4,0),C(2,4)。分别以原点O为位似中心，相似比为1/2和-2，画出位似图形，并写出各顶点坐标。

3.4.已知点E(2,-1)，以点F(1,2)为位似中心，相似比为-3，求点E的对应点E’的坐标。

5.能力提升层（选做）：

1.6.探究：在坐标系中，一个图形先以点M为位似中心放大2倍，再以点N为位似中心缩小到1/2，能否通过一次位似变换完成？若能，位似中心和相似比是多少？

2.7.如图，在12×12的网格中，△ABC的顶点坐标已知。请以格点P为位似中心，设计一个相似比，画出一个与△ABC位似且面积为其4倍的△A’B’C’。（开放题，培养创新思维）

3.8.查阅资料，了解“相似变换”与“仿射变换”的联系，写一份200字左右的小报告。

八、板书设计

主板书（左侧）：

课题：用坐标表示位似变换

一、位似中心在原点O(0,0)

1.相似比为k(k≠0)

2.对应点变换：(x,y)—(k倍)→(kx,ky)

3.k>0：同侧位似