勾股定理及其应用课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理勾股定理及其应用勾股定理Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c两锐角互余：∠A+∠B=90°两条直角边的平方和等于斜边的平方：a2+b2=c2这是勾股定理勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，其中有最经典的统计：E.S.Loomis《ThePythagoreanProposition》收录367种，1896—1899《美国数学月刊》载104种.主流的证明思路有几何拼接法，欧几里得式法，代数解析法等500+种证明方法.教材P32阅读与思考介绍了若干种证明方法.这里介绍其中的三种方法勾股定理的证明取四个如图全等的直角三角形，按如下要求摆放：(一)斜边向外拼正方形大正方形边长c，小正方形边长b-a大正方形面积=小正方形面积+4个直角三角形面积c2=(b-a)2+4×1/2ab⇒c2=a2+b2这是赵爽弦图2002年北京数学家大会的会标就是依此设计勾股定理的证明(二)斜边向内拼正方形大正方形边长a+b，小正方形边长c大正方形面积=小正方形面积+4个直角三角形面积(a+b)2=c2+4×1/2ab⇒a2+b2=c2勾股定理的证明(三)方案(二)的改进版梯形面积=等腰直角三角形面积+2个直角三角形面积1/2(a+b)2=1/2c2+4×1/2ab⇒a2+b2=c2这是总统证法詹姆斯•艾布拉姆•加菲尔德(JamesAbramGarfield)美国第20任总统(1881年3月—9月)，唯一留下原创数学成果的美国总统勾股定理的应用(一)已知直角三角形其中两边，求未知边的长例1.已知Rt△ABC，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b(1)a=5,b=12求c(2)a=8,c=17求b小结：(1)已知直角边a、b,则c2=a2+b2⇒c=(2)已知直角边a和斜边c，则b2=c2-a2⇒b=勾股定理的应用例2.已知直角三角形的两边长分别是3和4，求该直角三角形的第三边.注：在不确定是否是直角边或者是斜边的情况下，要分情况讨论.勾股定理的应用例3.如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端也沿墙面下滑0.8m吗?勾股定理的应用(二)与面积相关例1.已知Rt△ABC，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，在下列情况下求AB边上的高是h(1)a=3b=4(2)a=9c=41注：已知直角三角形的其中两边，可求其斜边上的高.求直角三角形斜边上的高，通常考虑三角形的面积.勾股定理的应用例2.已知△ABC中，AB=AC=26，BC=20，求BC边上的高AD及AB边上的高CE.勾股定理的应用例3.已知△ABC中，AB=13，AC=21，BC=20，求△ABC的面积.作最长边上的高，高一定在三角形内过点B作BD⊥AC于点D，设AD=x，则CD=21-x在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2=132-x2在Rt△CBD中，BD2=BC2-CD2=202-(21-x)2∴132-x2=202-(21-x)2⇒x=5∴BD2=AB2-AD2=144⇒BD=12∴△ABC的面积=126勾股定理的应用(三)与坐标平面相关在平面直角坐标系中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求A、B两点间的距离.作AC⊥x轴，BC⊥y轴，则C(x1，y2)⇒AC=|y1-y2|BC=|x1-x2|∴A、B两点间的距离AB=勾股定理的应用(三)与坐标平面相关(最短路径问题)在平面直角坐标系中，A(-1，2)，B(3，1)，点C是x轴上的动点，求AC+BC的最小值.取B关于x轴的对称点B1(3，-1)，连接AB1，AB1就是最小值计算可知AB1=5∴AC+BC的最小值=5勾股定理的应用(四)与一线三等角关联如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别是5和14，求c的面积.勾股定理的应用(五)折叠问题如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.将纸片沿直线DE折叠，使点A与点B重合，求CD的长.设CD=xcm，则BD=AD=(8-x)cm，在Rt△BCD中，有(8-x)2=62+x2⇒CD=x=折叠问题求线段长度，通常转化到一直角三角形中运用勾股定理列方程求解.勾股定理的应用(五)商高问题在我国数学典籍《周髀算经》的开篇，商高(约公元前11世纪)构造了一个勾三股四弦五的直角三角形，并指出以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形面积.勾股定理的应用(六)商高问题例1.如图，图中所有三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知A、B、C、D的边长分别是12，16，9，12，求E的面积.例2.如图，分别以Rt△ABC的边AB、AC、BC为直径画半圆，AC=5，BC=12.求图中四段圆弧围成的区域的面积.勾股定理的应用(七)介绍两类常见的直角三角形(1)等腰直角三角形∠A=∠B=45°斜边是直角边的倍c=a=b勾股定理的应用(七)介绍两类常见的直角三角形(2)含30°的直角三角形∠A=30°∠B=60°∠A:∠B:∠C=1:2:3c=2ab=aa:b:c=1::2BC=AC=A