2026年数理统计期中测试题及答案

2026年数理统计期中测试题及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则样本均值X̅服从（）A.N(μ,σ²)B.N(μ,σ²/n)C.N(μ/n,σ²)D.N(μ/n,σ²/n)2.设X₁,X₂是来自总体X的样本，以下关于总体均值μ的估计量中，最有效的是（）A.1/2(X₁+X₂)B.1/3X₁+2/3X₂C.2/5X₁+3/5X₂D.1/4X₁+3/4X₂3.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，θ的极大似然估计量为θ̂，则以下说法正确的是（）A.θ̂是样本的函数B.θ̂是总体的函数C.θ̂是常数D.θ̂与样本无关4.设总体X服从两点分布B(1,p)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则p的矩估计量为（）A.X̅B.1-X̅C.2X̅D.1/2X̅5.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，μ已知，σ²未知，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则以下统计量中不是统计量的是（）A.X̅B.∑(i=1ton)(Xᵢ-μ)²C.S²=1/(n-1)∑(i=1ton)(Xᵢ-X̅)²D.(X̅-μ)/(σ/√n)6.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，S²为样本方差，则(n-1)S²/σ²服从（）A.标准正态分布B.自由度为n的χ²分布C.自由度为n-1的χ²分布D.自由度为n的t分布7.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，要检验假设H₀:μ=μ₀，H₁:μ≠μ₀，当σ²已知时，采用的检验统计量是（）A.Z=(X̅-μ₀)/(σ/√n)B.T=(X̅-μ₀)/(S/√n)C.χ²=(n-1)S²/σ²D.F=S₁²/S₂²8.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，要检验假设H₀:σ²=σ₀²，H₁:σ²≠σ₀²，采用的检验统计量是（）A.Z=(X̅-μ₀)/(σ/√n)B.T=(X̅-μ₀)/(S/√n)C.χ²=(n-1)S²/σ₀²D.F=S₁²/S₂²9.设总体X和Y相互独立，且X服从N(μ₁,σ₁²)，Y服从N(μ₂,σ₂²)，X₁,X₂,…,Xₙ₁和Y₁,Y₂,…,Yₙ₂分别是来自总体X和Y的样本，S₁²和S₂²分别是它们的样本方差，则S₁²/S₂²服从（）A.标准正态分布B.自由度为n₁+n₂-2的t分布C.自由度为(n₁-1,n₂-1)的F分布D.自由度为(n₁,n₂)的F分布10.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，在假设检验中，犯第一类错误的概率α是指（）A.P{接受H₀|H₀为真}B.P{拒绝H₀|H₀为真}C.P{接受H₀|H₀为假}D.P{拒绝H₀|H₀为假}二、填空题（总共10题，每题2分）1.设总体X的分布函数为F(x;θ)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则样本(X₁,X₂,…,Xₙ)的联合分布函数为。2.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则样本(X₁,X₂,…,Xₙ)的联合概率密度函数为。3.设总体X的均值为μ，方差为σ²，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则样本均值X̅的均值为，方差为。4.设总体X的均值为μ，X₁,X₂,X₃是来自总体X的样本，若μ的估计量为μ̂=aX₁+bX₂+cX₃，且E(μ̂)=μ，则a+b+c=。5.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则λ的矩估计量为。6.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，S²为样本方差，则E(S²)=。7.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，当σ²已知时，μ的置信水平为1-α的置信区间为。8.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，当σ²未知时，μ的置信水平为1-α的置信区间为。9.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，要检验假设H₀:μ=μ₀，H₁:μ>μ₀，当σ²已知时，拒绝域为。10.设总体X和Y相互独立，且X服从N(μ₁,σ₁²)，Y服从N(μ₂,σ₂²)，X₁,X₂,…,Xₙ₁和Y₁,Y₂,…,Yₙ₂分别是来自总体X和Y的样本，要检验假设H₀:σ₁²=σ₂²，H₁:σ₁²≠σ₂²，检验统计量为。三、判断题（总共10题，每题2分）1.样本均值X̅是总体均值μ的无偏估计量。（）2.样本方差S²是总体方差σ²的无偏估计量。（）3.极大似然估计量一定是无偏估计量。（）4.若θ̂₁和θ̂₂都是θ的无偏估计量，且D(θ̂₁)<D(θ̂₂)，则θ̂₁比θ̂₂更有效。（）5.统计量是不依赖于任何未知参数的样本的函数。（）6.若总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则X̅与S²相互独立。（）7.自由度为n的t分布的概率密度函数关于y轴对称。（）8.在假设检验中，当样本容量n固定时，犯第一类错误的概率α和犯第二类错误的概率β不能同时减小。（）9.若总体X和Y相互独立，且X服从N(μ₁,σ₁²)，Y服从N(μ₂,σ₂²)，X₁,X₂,…,Xₙ₁和Y₁,Y₂,…,Yₙ₂分别是来自总体X和Y的样本，则(X̅-Ȳ)-(μ₁-μ₂)/√(σ₁²/n₁+σ₂²/n₂)服从标准正态分布。（）10.在假设检验中，若P-值小于显著性水平α，则拒绝原假设H₀。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述统计量的定义及作用。2.简述无偏估计量的定义，并举例说明一个无偏估计量。3.简述假设检验的基本步骤。4.简述置信区间的含义。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论在不同总体分布下，参数估计的方法及特点。2.讨论假设检验中两类错误的含义及它们之间的关系。3.讨论如何根据样本数据选择合适的统计量进行假设检验。4.讨论在实际应用中，如何确定显著性水平α的值。答案：一、单项选择题1.B2.A3.A4.A5.D6.C7.A8.C9.C10.B二、填空题1.∏(i=1ton)F(xᵢ;θ)2.∏(i=1ton)f(xᵢ;θ)3.μ，σ²/n4.15.X̅6.σ²7.[X̅-z(α/2)σ/√n,X̅+z(α/2)σ/√n]8.[X̅-t(α/2)(n-1)S/√n,X̅+t(α/2)(n-1)S/√n]9.{Z>zα}10.F=S₁²/S₂²三、判断题1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题1.统计量是不含任何未知参数的样本的函数。作用：通过对样本的加工和提炼，将样本中关于总体的信息集中起来，用于对总体的参数估计、假设检验等统计推断。例如样本均值X̅用于估计总体均值，样本方差S²用于估计总体方差等。2.设θ是总体的未知参数，θ̂是θ的一个估计量，若E(θ̂)=θ，则称θ̂是θ的无偏估计量。例如，样本均值X̅是总体均值μ的无偏估计量，因为E(X̅)=μ。3.假设检验的基本步骤：（1）提出原假设H₀和备择假设H₁；（2）选择合适的检验统计量，并确定其在原假设H₀为真时的分布；（3）给定显著性水平α，确定拒绝域；（4）根据样本数据计算检验统计量的值；（5）将检验统计量的值与拒绝域比较，作出拒绝或接受原假设H₀的判断。4.设总体X的分布函数含有未知参数θ，对于给定值α（0<α<1），若由样本X₁,X₂,…,Xₙ确定的两个统计量θ₁和θ₂，使得P{θ₁<θ<θ₂}=1-α，则称随机区间(θ₁,θ₂)为θ的置信水平为1-α的置信区间。它表示在多次抽样下，这样构造的区间大约有1-α的概率包含未知参数θ的真值。五、讨论题1.在不同总体分布下，参数估计方法有矩估计法和极大似然估计法等。对于正态分布总体，矩估计法简单直观，通过样本矩等于总体矩来求解参数估计量；极大似然估计法利用样本出现的概率最大来确定参数估计量，在大样本下有良好的性质。对于泊松分布总体，矩估计量和极大似然估计量都是样本均值，简单有效。对于均匀分布总体，矩估计和极大似然估计也各有特点，矩估计相对简便，极大似然估计在理论上有较好的渐近性质。2.假设检验中，第一类错误是指原假设H₀为真时拒绝H₀，也称为弃真错误；第二类错误是指原假设H₀为假时接受H₀，也称为取伪错误。它们之间的关系：在样本容量n固定时，犯第一类错误的概率α和犯第二类错误的概率β不能同时减小，一般是一个减小另一个会增大。要同时减小两类错误，需要增大样本容量n。3.根据样本数据选择合适的统计量进行假设检验，首先要明确总体分布情况和检验的参数。若总体服从正态分布且方差已知，检验均值时选择Z统计量；若方差未知，选择T统计量。检验方差时用χ²统计量。对于两个正态总体，检验方差比用F统计量。还要考虑样本容量等因素，大样本情况下一