广西岑溪市2026届数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析

广西岑溪市2026届数学高一下期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设函数,，其中,.若，且的最小正周期大于，则（）A．, B．,C．, D．,2．设点是棱长为的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是()A． B． C． D．3．若，则的坐标是()A． B． C． D．4．在中，内角所对的边分别为，且，，，则()A． B． C． D．5．数列的通项，其前项和为，则为（）A． B． C． D．6．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为，则勾与股的比为（）A． B． C． D．7．若圆上有且仅有两点到直线的距离等于1，则实数r的取值范围为（）A． B． C． D．8．设集合，，则（）A． B． C． D．9．已知为锐角，且满足，则（）A． B． C． D．10．若直线与直线平行，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在B处观测到一货船在北偏西方向上距离B点1千米的A处，码头C位于B的正东千米处，该货船先由A朝着C码头C匀速行驶了5分钟到达C，又沿着与AC垂直的方向以同样的速度匀速行驶5分钟后到达点D，此时该货船到点B的距离是________千米.12．设，，，则，，从小到大排列为______13．在等比数列中，，公比，若，则的值为．14．已知数列的前项和满足，则______．15．已知向量，则与的夹角为______．16．已知两条直线,将圆及其内部划分成三个部分,则的取值范围是_______；若划分成的三个部分中有两部分的面积相等,则的取值有_______种可能.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，；（1）证明：平面平面；（2）设为棱的中点，求二面角的余弦值.18．已知等比数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和.（3）在条件（2）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围.19．某体育老师随机调查了100名同学，询问他们最喜欢的球类运动，统计数据如表所示.已知最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和.最喜欢的球类运动足球篮球排球乒乓球羽毛球网球人数a201015b5（1）求的值；（2）将足球、篮球、排球统称为“大球”，将乒乓球、羽毛球、网球统称为“小球”.现按照喜欢大、小球的人数用分层抽样的方式从调查的同学中抽取5人，再从这5人中任选2人，求这2人中至少有一人喜欢小球的概率.20．已知等差数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和为.21．为了评估A，B两家快递公司的服务质量，从两家公司的客户中各随机抽取100名客户作为样本，进行服务质量满意度调查，将A，B两公司的调查得分分别绘制成频率分布表和频率分布直方图．规定分以下为对该公司服务质量不满意．分组频数频率0.4合计（Ⅰ）求样本中对B公司的服务质量不满意的客户人数；（Ⅱ）现从样本对A，B两个公司服务质量不满意的客户中，随机抽取2名进行走访，求这两名客户都来自于B公司的概率；（Ⅲ）根据样本数据，试对两个公司的服务质量进行评价，并阐述理由．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据周期以及最值点和平衡位置点先分析的值，然后带入最值点计算的值.【详解】因为，，所以，则，所以，即，故；则，代入可得：且，所以.故选B.【点睛】（1）三角函数图象上，最值点和平衡位置的点之间相差奇数个四分之一周期的长度；（2）计算的值时，注意选用最值点或者非特殊位置点，不要选用平衡位置点（容易多解）.2、B【解析】

以为原点，为轴为轴为轴，建立空间直角坐标系，计算三个平面的法向量，根据夹角相等得到关系式：，再利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】`以为原点，为轴为轴为轴，建立空间直角坐标系.则易知：平面的法向量为平面的法向量为设平面的法向量为：则，取平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等或看作平面的两条平行直线，到的距离.根据点到直线的距离公式得，点到点的最短距离都是：故答案为B【点睛】本题考查了空间直角坐标系，二面角，最短距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3、C【解析】

，.故选C.4、C【解析】

直接利用余弦定理得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生计算能力.5、A【解析】分析：利用二倍角的余弦公式化简得，根据周期公式求出周期为，从而可得结果.详解：首先对进行化简得，又由关于的取值表：123456可得的周期为，则可得，设，则，故选A．点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.6、B【解析】

分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为，从而构造方程可求得结果.【详解】由图形可知，小正方形边长为小正方形面积为：，又大正方形面积为：，即：解得：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.7、B【解析】因为圆心(5,1)到直线4x＋3y＋2＝0的距离为＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离为1，则4<r<6.选B.点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．8、D【解析】试题分析：集合，集合，所以,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.9、D【解析】

由，得，，即可得到本题答案.【详解】由，得，所以，，所以.故选：D【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及特殊角的三角函数值.10、B【解析】

两直线平行表示斜率相同或者都垂直x轴，即。【详解】当时，两直线分别为：与直线，不平行，当时，直线化为：直线化为：,两直线平行，所以，，解得：，当时，两直线重合，不符，所以，【点睛】直线平行即表示斜率相同，且截距不同，如果截距相同则表示同一条直线。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解析】

先在中，由余弦定理算出和，然后在中由余弦定理即可求出.【详解】由题意可得，在中，所以由余弦定理得：即，所以因为所以所以所以在中有：即故答案为：3【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查．12、【解析】

首先利用辅助角公式，半角公式，诱导公式分别求出，，的值，然后结合正弦函数的单调性对，，排序即可.【详解】由题知，，，因为正弦函数在上单调递增，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了辅助角公式，半角公式，诱导公式，正弦函数的单调区间，属于基础题.13、1【解析】

因为，，故答案为1．考点：等比数列的通项公式．14、5【解析】

利用求得，进而求得的值.【详解】当时，，当时，，当时上式也满足，故的通项公式为，故.【点睛】本小题主要考查已知求，考查运算求解能力，属于基础题.15、【解析】

设与的夹角为，由条件，平方可得，由此求得的值．【详解】设与的夹角为，，则由，平方可得，解得，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．16、3【解析】

易知直线过定点，再结合图形求解.【详解】依题意得直线过定点，如图：若两直线将圆分成三个部分，则直线必须与圆相交于图中阴影部分.又，所以的取值范围是；当直线位于时，划分成的三个部分中有两部分的面积相等.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，直线的斜率，结合图形是此题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）由题意结合正弦定理可得，据此可证得平面，从而可得题中的结论；（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由空间向量的结论求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，，，，平面，平面，平面平面.（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则设平面的一个法向量为则解得，，即设平面的一个法向量为则解得，，即由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明方法，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、（1）当时：；当时：（2）（3）【解析】

（1）直接利用等比数列公式得到答案.（2）利用错位相减法得到答案.（3）将不等式转化为，根据双勾函数求数列的最大值得到答案.【详解】（1）当时：当时：（2）数列为递增数列，，两式相加，化简得到（3）设原式（为奇数）根据双勾函数知：或时有最大值.时，原式时，原式故【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，错位相减法求前N项和，恒成立问题，将恒成立问题转化为利用双勾函数求数列的最大值是解题的关键，此题综合性强，计算量大，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.19、（1）；（2）【解析】

（1）根据最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和，以及总人数列方程组求解；（2）利用分层抽样，抽取的5人中，3人喜欢大球，2人喜欢小球，根据古典概型求解概率.【详解】（1）由题最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和，所以，解得：，所以；（2）由题可得：喜欢大球的60人，喜欢小球的40人，按照分层抽样抽取5人，其中喜欢大球的3人记为，喜欢小球的2人记为，从中任取2人，情况为:共10种，这两人中，至少一人喜欢小球的情况:共7种，所以所求概率为；【点睛】此题考查统计与概率相关知识，涉及分层抽样和求古典概型，关键在于弄清基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.20、（1）（2）【解析】

（1）由等差数列的性质，求得，进而得到，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，列用裂项法，即可求解数列的前项和.【详解】（1）由等差数列的性质，可得，所以，又由，所以数列的通项公式.（2）由（1）可得，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力，属于基础题.21、（Ⅰ）3人；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）见解析【解析】

（Ⅰ）对B公司的服务质量不满意的频率为，即概率为0.03，易求解．（Ⅱ）共有5名客服不满意，将每种情况都列出来即可算出全来自于B公司的概率．（Ⅲ）可通过频率对比，服务质量得分的众数，服务质量得70分（或80分）以上的频率几个方面进行对比．【详解】（Ⅰ）样本中对B公司的服务质量不满意的频率为，所以样本中对B公司的服务质量不满意的客户有人．（Ⅱ）设“这两名客户都来自于B公司”为事件M．对A公司的服务质量不满意的客户有2人，分别记为，；对B公司的服务质量不满意的客户有3人，分别记为，，．现从这5名客户中随机抽取2名客户，不同的抽取的方法有，，，，，，，，，共10个；其中都来自于B公司的抽取方法有，，共3个，所以．所以这两名客户都来自于B公司的概率为．（Ⅲ）答案一：由样本数据可以估计客户对A公司的服务质量不满意的频率比对B公司服务质量不满意的频率小，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量好．答案二：由样本