浙江省Z20名校联盟高二创新班联考数学试卷+答案

绝密★考试结束前

浙江省Z20名校联盟2025学年第二学期创新班联考

高二数学试题卷

命题学校：三门中学

考生须知：

1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，需将原填涂

处用橡皮擦净。

4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答写在本试题卷上

无效。

第I卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.若则α的取值可以为

B.C.D.

2.已知向量a,b,c满足，若c为6在a上的投影向量，则向量a,b夹角的余弦值为

A.B.C.D.

3.设α,β是两个不同的平面，a,b是两条不同的直线，且a⊥a,bcβ则“a//b”,是“α⊥β”

的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知圆C:(x-2)²+(y-2)²=8,直线l:x+y-2=0,则圆C上到直线1的距离等于√2的点的个

数为

A.1B.2C.3D.4

5.已知正项等比数列{a,}的前n项和为S,若S₅=4,S₁₅=28,则S₁₀=

A.8B.12C.14D.16

6.已知双曲线,C的两条渐近线分别为↓,l₂,点P为C右支上任意一点，它到，I₂

的距离分别为d,d₂,到右焦点的距离为d₃,则

A.d₁的取值范围为B.d₃的取值范围为[2,+0]

的取值范围为

C.d₁+d₂D.₁+d₃的取值范围为[2√3,+○]

高二数学试题卷第1页共4页

7.一个几何体T垂直投影到平面α上，形成图形S,我们就称S为T在平面α上的正投影.在长方体

ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1,AB=2,AA,AD,A₁B₁的中点分别是E,F,G,则长方

体ABCD-A₁B₁C₁D₁在平面EFG上的正投影的面积为

A.B.2C.D.3

8.已知,则

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某同学掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计后发现平均数为2,方差为0.8,则

A.一定没有出现点数6B.中位数可能为2

C.众数可以是1和3D.可能出现4点

10.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,若C上存在n个互不重合的点P,P₂,₃,…,P满足

,下列结论中正确的有

A.若n=2,则|PP₂|的最小值为4B.若n=2,则

C.若n=4,则D.若n=4,则|PP|+|P₂P₄|的最小值为16

11.莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数n都可以被唯一表示为有限个质

数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：n=p{P2…Pk

(k为n的质因数个数，pi为质数，r≥1,i=1,2,…,k),例如：90=2×3²×5,对应

k=3,p₁=2,p₂=3,p₃=5,r=1,r₂=2,r₃=1.现对任意n∈N,定义莫比乌斯函数

,记n的所有真因数(除了1和n以外的因数)依次为a,a₂,…,am.

则下列说法正确的是

A.μ(78)=-1

B.对正整数a,b,μ(ab)=μ(a)μ(b)

C.Iμ(1)I+|μ(a₁)I+|μ(a₂)|+…+|μ(am)|=2

D.若n>1且μ(n)=1,μ(a₁)+μ(a₂)+…+μ(am)=-2.

高二数学试题卷第2页共4页

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.已知则f(f(1))=

▲

14.设正实数a,b,c满足a+b=√ab+9,b+c=√16+bc,c+a=√25+ca,则ab+bc+ca=▲

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本题满分13分)为了解观看“浙BA”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，

调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：

性别不关注赛事关注赛事合计

男性25150175

.女性5075125

合计75225300

(1)对照2×2列联表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析关注“浙BA”赛事是否与性

别有关.

(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民

参加“浙BA”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性

人数为X,求X的分布列和期望.

附：,n=a+b+c+d.

a0.010.0050.001

Xa6.6357.87910.828

16.(本题满分15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

BD=λDC.

(1)若λ=1,AD=√6,求△ABC面积的最大值；

(2)若,求tan∠BAD.

高二数学试题卷第3页共4页

17.(本题满分15分)如图，已知四棱锥S-ABCD的底面为正方形，平面SAC⊥底面ABCD.

(1)若侧面SAB为正三角形，求二面角B-SA-C的余弦值；

(2)若SA=AB,以正方形ABCD为底面作正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁,

求直线A₁C与平面SAB所成角的正弦值的最大值.

18.(本题满分17分)已知函数f(x)=e-1-x-ax².

(1)讨论函数f(x)的极值点个数；

(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若x>0,证明(eˣ-1)ln(x+1)>x².

19.(本题满分17分)已知椭圆的标准方程为F₁,F₂分别为椭圆的左、右焦点，点A

为椭圆上一动点，且在x轴上方，延长AF₁,AF₂分别交椭圆于点B,C.

(1)证明：△ABC的周长大于8;

(2)若3|AF|=5|AF₂|,求直线BC的方程；

(3)求△ABC面积的最大值.

数学试题老页片4页

浙江省Z20名校联盟2025学年第二学期创新班联考

高二数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

题号12345678

答案ABACBCDA

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ABCACDAD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.213.14.8√3

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

【解析】

(1)零假设H₀:关注“浙BA”赛事与性别无关，

根据小概率值α=0.001的x²独立性检验，我们推断H₀不成立，即认为关注“浙BA”赛事

与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001……………6分

(2)关注赛事的市民中，男性150人，女性75人，

由分层抽样知，抽取男性市民4人，女性市民2人，

X的取值为0,1,2,

P(x=0)=G-40-号，P(x=1)=cC-2-3,P(X=2)=GC205

X012

P

所

16.(本小题满分15分)

【解析】

(1)当λ=1时，D是BC的中点，所以

高二数学参考答案第1页共5页

两边同时平方，

即,即b²+c²+bc=24·……………4分

又由基本不等式可得24=b²+c²+bc≥2bc+bc=3bc,

当且仅当b=c=2√2时等号成立，所以bc≤8.

所以,即△ABC面积的最大值为2√3·…………7分

(2)设∠BAD=θ,则

在△ABD中，由正弦定理得

即BDsin∠ADB=csinθ.①…………9分

在△ACD中，由正弦定理得

②……………11分

当时，CD=2BD,

又sin∠ADB=sin∠ADC,代入①②中，化简得

所以2√3cosθ-2sinθ=3sinθ,得

即.…………15分

17.【解析】

(1)取SA中点E,记AC,BD的交点为0,连接OE.

因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD;

又因为平面SAC⊥底面ABCD,平面SAC⊥底面ABCD=AC,所以BD1平面SAC,

所以AS⊥BD.因为SAB为正三角形，所以AS⊥BE,

且BE∩BD=B

所以AS⊥平面BDE,OE平面BDE

所以OE⊥SA而AS⊥BE,所以二面角B-SA-C的平面

角为∠BEO,

所以

(2)以AB为x轴，AD为y轴，过点A的平面ABCD的垂线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0).

设S(a,b,c)(c>0),则AS=(a,b,c),BD=(-1,1,0).

因为SA=AB=1,所以a²+b²+c²=1.①

高二数学参考答案第2页共5页

由(1)可知，SA⊥BD,所以AS·BD=-a+b=0,即a=b.②…………9分

以正方形ABCD为底面作正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁,

不妨取A₁(0,0,1),则A₁C=(1,1,-1).设平面SAB的法向量为m=(p,q,r),

因为AB=(1,0,0),AS=(a,b,c),

所以,取m=(0,-c,b).………1分

设直线A₁C与平面SAB所成的角为θ,

则平方

又因为(b+c)²≤2(b²+c²),所以

当且仅当b=c时等号成立，此时可取符合题意，

故sinθ的最大值为.…………15分

18.【解析】

(1)由条件得f'(x)=e×-1-2ax,令h(x)=e-1-2ax,则h'(x)=e-2a.

①当a≤0时，h'(x)≥0,h(x)单调递增，且h(0)=0,∴x=0是f(x)的极小值点，无极

大值点.

②当a>0时，令h'(x)=0,则x=In(2a),h(x)在(-∞,In(2a))单调递减，在(ln(2a),+∞)单

调递增

(i)当时，In(2a)>0,∴h(ln(2a))<0而x→+∞,h(x)→+00,∴h(x)在(In(2a),+∞)有

唯一零点x₁,∴x=0是f(x)的极大值点，x=x₁是f(x)的极小值点.

(ii)当时，h(x)≥h(0),即f'(x)≥f'(0)=0恒成立，∴f(x)无极值点；

(iii)当∴h(ln(2a))<0,而x→-∞,h(x)→+∞0,∴h(x)在(-∞,In(2a))有

唯一零点x₂,∴x=0是f(x)的极小值点，x=x₂是f(x)的极大值点……7分

(2)由(1)得①当2a≤1时，在[0,+]上，h'(x)≥0,h(x)单调递增

∴h(x)≥h(0),即f'(x)≥f'(0)=0,

∴f(x)在[0,+∞]上为增函数，时满足条件.

②当2a>1时，在[0,In2a]上，h'(x)<0,h(x)单调递减，

∴当x∈(0,In2a)时，有h(x)<h(0)=0,即f'(x)<f'(0)=0,

f(x)在(0,In2a)上为减函数，∴f(x)<f(0)=0,不合题意.

综上实数a的取值范围为.……12分

高二数学参考答案第3页共5页

(3)由(1)得，当,x>0时，

要证不等式(e-1)In(x+1)>x²,只需证明,只需证明

只需证

则

∴当x>0时，F'(x)>0恒成立，故F(x)在(0,+∞)上单调递增，

又F(0)=0,∴F(x)>0恒成立.∴原不等式成立.