2025北京北师大燕化附中高一1月月考数学试题及答案

试题2025北京北师大燕化附中高一1月月考数学2025.1本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（）A.∀x≥1，x2≤1 B.∃x＜1，x2＞1 C.∀x＜1，x2＞1 D.∃x≥1，x2＞13.如图，在正六边形中，（）A. B. C. D.4.若，则（）A. B. C. D.5.已知，则的最小值为（）A.－2 B.0 C.1 D.6.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（）A. B. C. D.7.已知，，则（）A. B. C. D.8.已知集合，，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知为非零向量，且，，则“”是“存在实数，使得”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（）（参考数据：）A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为_____________.12.下面茎叶图记录的是甲、乙两位篮球运动员在最近场比赛中的得分，则甲得分的中位数是_____，乙得分的方差为_____．13.已知,为一组不共线的向量，且向量，，能使得的一组实数的值可以为_____，_____.14.函数.若，则的值为_____；若有两个零点，则的取值范围是_____.15.记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.①所有偶函数都具有性质；②具有性质；③若，则一定存在正实数，使得具有性质；④已知，若函数具有性质，则.其中所有正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）用函数单调性定义证明：函数在上是减函数；（3）写出函数的值域（结论不要求证明）.17.每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.（1）求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率；（2）从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率.18.已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使存在并且唯一，并完成下列问题.（1）求的值；（2）已知函数有两个不同的正数零点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值.条件①：；条件②：，；条件③：，.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.19.2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动.此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙.下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）.年份20182019202020212022运行列数0.630.821.241.51.6（1）计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数；（2）从2018年到2022年这5年中随机选取2年，求这两年运行列数和大于2.4（单位：万列）的概率；（3）设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）20.已知函数.（1）求函数的零点；（2）求函数的图象与函数的图象的交点坐标；（3）若函数的图象恒在直线的下方，求的取值范围.21.对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.（1）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由，①；②；（2）若（）是集合中的元素，求的最小值；（3）若，求证：是的充分不必要条件.参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案ACCDBBBDAB第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】解：根据题意，要使函数有意义，则需满足，解得且.所以函数的定义域为：故答案为：12.【答案】甲得分由小到大排列依次为：、、、、，所以，甲得分的中位数为，乙得分由小到大排列依次为：、、、、，所以，乙得分的平均数为，方差为.故答案为：；.13.【答案】因为，所以存在实数使得，即，，由平面向量基本定理可得：，，即，所以.可取故答案为：1；414.【答案】若，则；因为均至多有一个零点，所以在1,+∞内有一个零点，在内有一个零点，且的零点为，的零点为，所以，由指数函数单调性可知，所以的取值范围是，故答案为：；.15.【答案】对于①，设函数是定义在上的偶函数，对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，①对；对于②，对任意的，，当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，又因为，故对任意的，，所以，具有性质；对于③，因为，且函数的值域为，所以，不存在实数，使得，③错；对于④，，因为，易知，因为，则，则，所以，，即，所以，，要使得恒成立，则，又因为，则，所以，若函数具有性质，则，④对.故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】【小问1详解】是奇函数.证明如下：的定义域为，因为，都有，且，所以是奇函数.【小问2详解】任取，且，，因为，所以，，所以，所以，所以函数在上是减函数.【小问3详解】函数的值域为.证明如下：当时，，又因为为奇函数，所以当时，，综上可知，的值域为.17.【答案】【小问1详解】因为，所以；该校高一学生该天睡眠时间不少于9小时的频率为：.【小问2详解】由题知，该校高一学生该天睡眠时间为小时的频率分别为：，，，，，用频率估计概率，该校高一学生该天睡眠时间为小时的概率分别为，，，，，记从该校高一学生中随机抽取2人，这两位学生至少有一人该天睡眠时间不小于9小时为事件，则.18.【答案】【小问1详解】若选择条件②③：则根据二次函数的性质可知，存在fx若选条件①②：由①得，由②得图象的对称轴为直线，所以，所以，满足要求；若选条件①③：由①得，由③得f1为的最小值，所以对称轴，所以，满足要求.【小问2详解】由（1）知，所以；（ⅰ）因为有两个不同的正数零点，所以，所以或，解得，所以的取值范围是.（ⅱ）因为，所以，又因为，所以.19.【答案】【小问1详解】从2018年到2022年运行列数的平均值为：，所以中欧班列从2018到2022年的平均运行列数为万列.【小问2详解】从2018年到2022年随机选取2年，所有可能的结果有10种，它们是：，，用表示“这两年运行列数和大于万列”这一事件，则中的结果有4个，它们是，故所求的概率.【小问3详解】.（理由：这三年运行列数增长较慢，数据变化幅度小，所以方差最小；，这五年运行列数增长很快，且的运行列数约是年的倍，数据变化幅度很大，所以方差最大.）20.【答案】【小问1详解】令，所以，即，所以，所以零点为.【小问2详解】令，即，所以，整理得，，所以，.所以函数的图象与函数图象的交点坐标为.【小问3详解】由得.由题意，在恒成立，即在恒成立.所以在恒成立.令，则，所以.因为，所以，所以，.所以的取值范围为.21.【答案】【小问1详解】①不是.当时，