2025北京清华附中高一（上）统练一数学试题及答案

试题2025北京清华附中高一（上）统练一数学一､单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若、、，，则下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.3.命题“，都有”的否定是（）A.，都有 B.，使得C.，使得 D.，使得4.已知全集，集合满足，则（）A. B.C. D.5.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知集合，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知集合，，，若，则下列结论中不可能成立的是（）A. B.C. D.8.据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（）A.元 B.元 C.元 D.元9.设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（）A.5 B.6 C.8 D.910.已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（）A.3 B.4 C.5 D.10二､填空题11.已知集合A={2，3，6}，则集合A的真子集的个数是______．12.能说明命题“且，”是假命题的的值可以是_______.（写出一个即可）13.已知集合，若，则__________.14.把边长为3的正方形的边界及其内部的点组成的集合记为，则表示的区域面积是__________.15.设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：①若，则{思想政治，历史，生物}；②若，则{地理，物理，化学}；③若{思想政治，物理，生物}，则；④若，则{思想政治，地理，化学}.其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题16.解关于的不等式（1）；（2）.17.已知集合，集合.（1）若集合，且满足，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.18.已知关于的一元二次不等式的解集为，（1）求集合；（2）若中有且仅有两个整数，求的取值范围；（3）在问题①和问题②中任选一个作答.（直接写答案）问题①：，都有，求的取值范围；问题②：，都有，求的取值范围.（注：如果选择多个问题解答，按第一个解答给分）19.已知集合为非空数集，定义：（实数可以相同）.（1）若集合，直接写出集合；（2）若集合，且，求证：；（3）若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值.

参考答案一､单选题12345678910BCBDADBCBCC二､填空题11.【答案】7【分析】根据含有n个元素的有限集合的真子集有个，容易得出集合A的真子集个数为个，得到结果．【详解】因为集合A中有3个元素，所以集合A的真子集有个，故答案为7．【点睛】考查列举法的定义，真子集的概念，组合的概念及组合数公式．12.【答案】-1（任意负数均可）【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可.例如x＝－1，带入.【详解】解：当时，，当且仅当取等号，当时，，当且仅当取等号，∴只需x取值为负数，即可.例如x＝－1时.故答案为：－1（任意负数均可）.【点睛】本题考查全称命题的真假，基本不等式应用，属于基础题.13.【答案】##【分析】根据集合相等的概念，结合集合中元素的互异性求值.【详解】根据集合中元素的互异性，可得.因为，所以或.由或，这与矛盾，故舍去；由或.又因为，所以.故答案为：14.【答案】【分析】根据集合的定义分析其所表示的含义，数形结合求解.【详解】以正方形四个顶点，向内部作个半径为的四分之一圆，由于正方形边长是，显然这些圆不相交，集合表示的点集是正方形内（含边界），但在四个圆外部的点的集合，如下图所示，正方形中除去四个四分之一圆的面积是.故答案为：15.【答案】①③【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明.【详解】对于①：，所以，所以，又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确；对于②：，即，所以，所以必为偶数，又，当时，，不符合，所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误；对于③：若{思想政治，物理，生物}，则，所以，③正确；对于④：当{物理，地理，历史}时，，满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误.故选：①③【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.三､解答题16.【答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）根据题意，化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由不等式，可得，即，解得，即不等式的解集为.【小问2详解】解：由不等式，可得，当时，可得，解得时，不等式的解集为空集；当时，可得，解得或时，方程的解为，所以不等式，解得，所以不等式的解集为，综上可得，当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为.17.【答案】（1）1（2）【分析】（1）由题可知：方程有两个不相等的实数根，由确定实数的取值范围，由根与系数的关系列得关于实数的方程，求出实数的值.（2）讨论方程实数根的个数，求出相应的实数的取值范围或实数的值，依据条件，进行检验，从而得到实数的取值范围.【小问1详解】由题意得：方程有两个不相等的实数根，所以，所以，所以.由，得，即，解得（舍去）或.当时，，，符合题意.因此，实数的值为1.【小问2详解】集合.对于方程，当，即时，方程无实数根，此时集合，.当，即时，方程有两个相等的实数根，，此时，满足题意.当，即时，方程有两个不相等的实数根，若，则，所以，即，显然无解，不合题意.综上所述，实数的取值范围是.18.【答案】（1）答案见解析（2）（3）问题①：；问题②：【分析】（1）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解；（2）由（1）中集合，分和，结合题意，列出不等式，即可求解；（3）选择问题①，得到，即满足不等式，即可求得的取值范围为；选择问题②：由（1）中的集合，分类讨论，即可求解.【小问1详解】由不等式，可得令，解得或，当时，即时，不等式即为，解得，此时；当时，即时，解得，此时；当时，即时，解得，此时，综上可得：当时，集合；时，集合；当时，集合.【小问2详解】由（1）知，当时，集合，要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得；当时，集合，要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围.【小问3详解】若选择问题①：由集合，对于，都有，则，即满足不等式，可得，解得，即实数的取值范围为.若选择问题②：由集合，若，则，满足，由（1）可知，，因为，则，所以.所以实数的取值范围为.19.【答案】（1）（2）证明过程见解析（3）1350【分析】（1）根据题中定义直接进行求解即可；（2）根据集合相等的定义，结合题中定义进行证明即可；（3）根据交集的运算性质，结合题中定义进行求解即可.【小问1详解】因为，，所以；【小问2详解】由于集合，，则T集合的元素在0，，，，，，中，且，，而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者，故即，故，故中的4个元素为0，，，，且