2025北京五中高一3月月考数学试题及答案

试题2025北京五中高一3月月考数学1．ACA．BA B． C．BC D．02．已知集合A=x∈Z2A．0,1B．0,1,2 C．1,2 D．x|3．a=logA． B．b<c<a C．a<c<b D．4．已知非零向量a,b满足a=2b，且a−b⊥b，则a与A．π3 B．π6 C． D．5．函数fxA． B．C． D．6．△ABC中，c=3，b=1，∠B=30°A． B． C．或 D．或7．已知a=1,1，b=1,−2，则a在A．−15,25 B．158．在△ABC中，“”是“tanAA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．如图所示，点O为正八边形的中心，已知OA=1，点P为线段BC,CD上一动点，则APA．1，2 B．2−2,1 C．2−2,110．已知e1，e2为不共线的A．12e1+12e2 11．已知向量a=1−t,−1，b=1+t,13，若a//b12．能使“sinα+π4=sin13．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=3，且b2+c2=3bc+a214．在矩形ABCD中，BE+CE=0，DC=3DF，DE与相交于O.若，则AB15．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[−2.1]=−3,[2.1]=2．已知函数f(x)=sin|x|+|sinx|①函数是周期函数；

②函数的值域是{0,1,2}；③函数的图象关于x=π2对称；

④方程π216．已知平面上的两个向量a=(cosα,sinα(1)求证：向量a+b与a−b垂直；(2)当向量3a+b与a−3b17．为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始，17点结束.通过观察发现，游客数量fx（单位：人）与时间x之间，可以近似地用函数（ω>0，φ<π2(1)求出函数fx(2)腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？18．已知函数f(x)=sin2x+2（1）求的最小正周期和单调减区间；（2）若x0（0≤x0≤π19．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c①asinC=ccosA−两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处），已知a=3(1)若∠B=π4(2)若△ABC的周长为46，求△ABC的面积20．已知函数f(x)=2x2+mx+n的图象过点0,−1(1)求函数fx(2)求函数fx在a,a+2上的最大值ℎ(3)若x0满足φx0=x0，则称x0为函数y=φx的不动点．若函数gx=fx21．给定正整数N≥3，设集合A=aiai∈N∗,i=1,2,⋯,N．任取A中两个元素ai，aj，记A1=ai,aj，B1=ai+aj,aiaj，T1A(1)当A=3,5,7时，写出一组A1,(2)是否存在集合A与正整数k，使Tk(3)当A=1,2,3,4,5时，是否存在整数k，使TkA=5,9,26,120,121？若存在，写出一组T1A

参考答案1．B【分析】根据向量的加减运算，即可得答案.【详解】由题意得AC−故选：B2．C【分析】分别通过解不等式以及求函数的定义域可得集合A，B，再求交集即可.【详解】因为A=x∈Z2所以1,2，故选：C.3．C【详解】因为c=2−32∈0,1，故选：C.4.A【分析】由已知可得a−b⋅【详解】因为a−b⊥b，所以所以a⋅bcos所以cosa,b=1所以与的夹角为π3.故选：A.5．B【分析】结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法求解.【详解】解：由ex−e所以函数fx的定义域为−∞，0因为f−x=cos设gx=ex−则当x∈0,12时，y=当x∈12,32当x∈32,52当x∈52,3时，y=故选：B.6．D【分析】由已知及正弦定理可求sinC，结合范围C∈0°,180°，可得C，利用三角形内角和定理可求【详解】解：∵c=3，b=1，∠∴由正弦定理可得sinC∵C∈0,π，可得C=60°∴或30°，∴S△ABC=故选：D．7．A【分析】利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】在上的投影向量为acosa,=a故选：A.8．D【分析】判断由能否推出tanA>tanB，再判断tan【详解】当时，，但tanA<tanB，故“”不是“tan当时，tanA>tanB，但sinA<所以“”是“tanA>故选：D．9．B【分析】先作出辅助线，利用三角函数值求出各边长，考虑当点P在CD上运动时，求出AP⋅AB的最大值，当点P在BC上运动时，当P与B重合时，AP⋅【详解】点O为正八边形的中心，OA=1，故AB=BC=1，∠取AB的中点T，连接OT，则OT⊥AB，∠AOT=其中sin2故AT=OAsin22.5°=故BC=AB=2−其中∠CBS=360°÷8=45°，CD⊥AB，当点P在CD上运动时，过点P过PH⊥AB，交AB的延长线于点S，则BS=BCsin45°=则AP=2−2由图象可知，此时AP⋅当点P在BC上运动时，AP⋅显然当P与B重合时，AP⋅最小值为AB2所以AP⋅AB故选：B10．D【分析】依题意可得−1<e【详解】因为e1，e2为不共线的非零向量，且e1因为12e125e1因为59+4因为58+3因为58+3所以14故选：D11．−2【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、降幂公式进行求解即可.【详解】因为a//所以−1−t=13故答案为：−212．3π8【分析】将等式移项后运用和差化积公式，化简成cos(α+π【详解】先证明和差化积公式：因sinα−β两式相减得，sin取θ=α+β，φ=α−β，则有α=θ+φ代入上式，即可得sinθ由sinα+π4=sin则得cos(α+π8)=0可取α+π8=故答案为：3π813．π6，【详解】由题意得cosA=b由基本不等式：b2得3bc+3≥2bc，所以bc≤32−3=6+3所以S△故答案为π6，14．4【详解】在矩形ABCD中，E是BC的中点，CF=2FD，DE与相交于O设DO=λDE则ADAB由AO=AD则1−12λ=μ1−则AO又AD=2，则9−AB2=−7，解之得AB故答案为：4【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，考查转化与化归的数学思想.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用不同的途径，用基底表示向量AO.15．②④【详解】由题得函数fx=sinf−x所以函数为偶函数，当0≤x≤π时，fx当π<x<2π时，fx当2π≤x≤3π时，fx⋯⋯所以函数的图象如图所示，所以函数的图象如图所示，由函数的图象得到不是周期函数，故选项①不正确；所以函数的值域是0,1,2，故选项②正确；由g−π所以函数的图象不关于x=π2对称，故选项③对于方程π2当g(x)=0时，x=0，方程有一个实数根；当g(x)=1时，x=π2，此时当g(x)=2时，x=π，此时g(π)=0≠2，此时方程没有实数根；故方程π2⋅g故答案为：②④.16．(1)证明见解析(2)α=30°或α=210°.【分析】（1）根据已知计算a+（2）由，两边平方求解.【详解】（1）证明：因为(a所以a+b与（2）由，两边平方，得3a整理，得2a而|a|=|b即−1即sinα−30°∴α−30°=k⋅180°，即α=k⋅180°+30°，k∈又，∴α=30°或α=210°.17．(1)fx=600(2)选择在12点之前或16点之后两个时间，理由见解析【分析】（1）由题意得到方程组，求出ω=π6,φ=（2）在（1）的基础上得到方程，求出或x=16，得到答案.【详解】（1）由题意得f10=350，f14故600sin10ω+φ+k=350又ω>0，φ<解得ω=π故函数fx的解析式为fx=600（2）当x∈8,17时，π令600sinπ6x+π解得或x=16，结合函数图象及x∈8,17，可得x∈8,12或为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在12点前或16点之后两个时间段赠送福18．（1）T=π，单调递减区间为π3+kπ,【解析】（1）利用降幂公式、辅助角公式将原函数解析式化简，然后利用三角函数的性质求解；（2）由可得sin2x0−π6【详解】解：（1）f(x)===2则的最小正周期为T=2π2令π2+2kπ≤2x−π所以函数的单调递减区间为π3+kπ,（2）若，则2sin2x0又0≤x0≤π2所以sin=−119．(1)选①或②，都有b=3(2)2【详解】（1）若选①asinC所以sinAsin由C∈0,π，A∈0,π，得sin可得tanA=3若选②(a+b+c)(b+c−a)=3bc，则b所以cosA=b2△ABC中，由正弦定理326sin（2）△ABC中，，所以36即b2+因为周长为a+b+c=46，所以b+c=代入得562所以面积S=120．(1)f(2)f(3)6【分析】（1）根据函数fx的图象过点0,−1，得到n=−1，再根据f（2）根据fx=2x2−2x−1=2x−122−32，（3）根据不动点的定义得到方程方程2x2−3+tx+t−1=0有两个不相等的正实根x1，x2【详解】（1）因为函数f(x)=2x2+mx+n的图象过点0,−1又因为f−1=f2，所以−1+2所以函数fx的解析式为（2）由fx=2x当a+2≤12时，即函数fx在a,a+2单调递减，所以f当a≥12时，函数fx在a,a+2当a+1<12a+2>12时，即−32根据二次函数性质可知端点x=a与对称轴的距离比端点x=a+2与对称轴的距离大，所以fx当a+1>12a<12时，即−12根据二次函数性质可知端点x=a与对称轴的距离比端点x=a+2与对称轴的距离小，所以fx当a+1=12时，即a=−12，函数fx根据二次函数性质可知端点x=a与对称轴的距离和端点x=a+2与对称轴的距离相等，所以fx综上所述：f（3）因为函数gx=fx−tx+t有两个不相等的不动点x1，x所以gx=x，即方程2x2−所以Δ=3+t2−8t−1>0x1因为t>1，所以t−12所以t−12+8t−1≥2所以x1故x1x221．(1)答案见解析（写出其中一组即可）(2)不存在，理由见解析(3)存在，答案见解析【分析】（1）由题意生成集合的过程可得；（2）用反证法证明.先将17,37,77分解因式，分析集合Ak（3）尝试任取两个元素，逐步找到满足题意的一组集合即可.【详解】（1）由题意可知，若A1={3,5}，则（若A1={3,7}，则若A1={5,7}，则（2）不存在集合A，使．下面用反证法证明.