正切（同步练习）-2025-2026学年苏科版九年级数学下册

7.1正切

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图在梯形ABCO中，A£>〃8C,AO_LCD,8C=CD=2A。，E是CD上一点，ZABE=45°,

则tan/AEB的值等于（）

2.如图，已知心△A8C中，ZC=90°,AC=8,8c=15,则lanA的值为（）

3.在R1ABC中，NC=90。，各边都扩大5倍，则tanA的值（）

A.不变B.扩大5倍C.缩小5倍D.不能确定

4.在Rt^ABC中，ZC=90°,若AB=10,BC=6,则tanA等于（）

A.-B.-C.-D.-

4553

5.如图，AB是。O的直径，点P在BA的延长线上，过P作。O的切线PC,切点为C,

连接BC.若。O的半径为6,PC=BC,则线段PC的长为（）

A.373B.6C.6#)D.12

3

6.如图，点A（f,3）在第一象限，Q4与4轴所夹的锐角为a,tana=：,则/的值是（）

X

A.1B,1.5C.2D.3

7.如图为一节楼梯的示意图，BC±AC,ZBAC=a.AC=6米，现要在楼梯上铺一块

地毯，楼梯宽度为1米.则地毯的面积至少需要（）平方米

tanacosasina

8.在Rt2\A8C中，ZB=90°MB=8MC=10,则lanA的值是（）

4

9.如图，在VA8C中，若？890?,tanA=-,BC=4,贝ljAC=（）

3

A.3B.4C.5D.6

10.如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,则tanB的值是（）

11.如图，矩形A&CD是由矩形ABC。绕C点顺时针旋转而得，且点A、C、）在同一条

直线上，在&A8C中，若AB=2,AD=243,则对角线AC旋转所扫过的扇形面积为（）

16乃妨32〃-644h8乃

A.——B.——C.——D.—

3333

12.如图，在5x5的正方形网格中，VABC的顶点都在格点上，则lan/84C的值为：)

A.2B.gC.45口.9

二、填空题

13.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC//OA,(DP分别与OA、0C、

BC相切于点E、D、B,与AB交于点F.已知A(2,0),B(l,2),则tanNFDE=_.

14.如图，NBDC的正切值等于

15.在/?/△A8C中NC=9()。，NA、NB、NC的对边分别为a、b、c,c=3a,则lanA的值

为_______

16.如图，在四边形ABC。中，/A=60',ZB=ZD=90,BC=6,CO=9,则A8=.

17.如图，矩形ABC7）中，AB=S,BC=\2,以。为圆心，4为半径作。。，E为。D上一动

点，连接AE,以A£为直角边作AEF,使NE4/=90。，tanZAFF=1,则点小与点C的

最小距离为.

三、解答题

18.已知正方形ABC。中，BC=3,点、E、尸分别是CB、CO延长线上的点，DF=BE,连接

AE、AF,过点A作A”_LEO于”点.

(1)求证：△AOPg/kABE；

(2)若BE=T,求tanNAEO的值.

19.如图所示，RtAABC中，/C=90。，点D、E分别在AC、AB上，BD平分NABC,

3

DE±AB,cotA=-,求lan/DBC的值.

4

20.已知等腰三角形ABC中，AB=AC=\O,BC=12.求tanB的值.

A

21.如图，在cA8c。中，。是对角线AC、的交点，BELAC,DFJ.AC,垂足分别

为点、E、F.

(1)求证：OE=OF.

(2)若8E=5,OF=2,求lan/OBE的值.

22.如图，在矩形A8CO中，AE平分N84Q,交BC于E,过E做ERLA。于广，连接8尸

交A£于P,连接PD

(1)求证：四边形43EP是正方形；

(2)如果AB=6,AD=8,求tanNAOP的值.

23.如图，在21A8C中，以A8为直径作。。交于点。，/DAC=NB,

(1)求证：4c是。。的叨线：

(2)点E是A3上一点，若CE=BE,tan/B=g。。的半径是3,求的长.

24.如图，在矩形A8CO中，AO=，〃W(〃>1),点E是4。边上一动点(点E不与A,。重

合)，连接跖，以防为边在直线跖的右侧作矩形&3FG,使得矩形EBFGs矩形46c

EG交直线CO于点，.

F

(I)【尝试初探】在点E的运动过程中，与△DE”始终保持相似关系，请说明理由.

(2)【深入探究】若〃=2,随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当”是线段CD

中点时，求tan/48E的偃.

(3)【拓展延伸】连接8"，FH,当△8/77是以"7为腰的等腰三角形时，求tan/ABE的

值(用含〃的代数式表示).

(7.1正切》参考答案

题号12345678910

答案ADADCCAACA

题号1112

答案AA

1.A

【分析】过3作。。的平行线交。A的延长线干M,在DM的延长线卜取仞7=。£则四功

形MOC4为正方形，可证得从而得到BE=BN,NM8N=NCBE,再证得

△MABg二E48可得设EC=MN=x,AD=a,则。M=OC=%，在即AAOE中，

再由勾股定理，可得犬二%，即可求解.

J

【详解】解:如图，过B作DC的平行线交DA的延长线于M,在DM的延长线上取MN=CE,

VAD//BC,ADLCD,

•••8MJL8C,CDIBC,

・•・ZD-ZMWfi-ZC-90n,

••・四边形BCDW是矩形，

■:BC=CD,

・•・四边形MOCB为正方形，

:,BM=CD,MD=BC=2AD,

•：BC=CD,

VZ/VMB=ZC=90°,MN=CE,

:CEB,

:.BE=BN,NMBN=NCBE,

:"NBE=ANBM+/MBE=ZCBE+/MBE=90°,

­.ZABE=45°,

ZABE=ZABN=45°,

*：AB=AB,

/.△MS也_EAB.

：.AN=AE,NAEB=/BNM,

设EC=MN=x,AD=a,则。M=OC=8M=2。，

AM=a,DE=2a-x,AE=AN=a+x,

VAD2+DE2=AE\

.：a2+(24z-x)2=(«+x)2,

2

:.x=—a.

3

/.tanZAEB=tanZBNM=—=3.

MN

故诜A.

【点睛】本题考查的是锐用三角函数的定义，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性

质，勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答.

2.D

【详解】•・•在RAABC中,ZC=90°,AC=6,5C=15,

・一BC15

AC8

故选D

3.A

【分析】利用NA的大小没有变进行判断.

【详解】解：・・・/。=9()。，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，

:.NA的大小没有变，

tanA的值不变.

故选：人

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在即A4BC中，ZC=90°.把锐角A的对边〃

与斜边c的比叫做NA的正弦，记作sinA.

4.D

【分析】本题考查求正切值，勾股定理求出A。的长，再根据正切的定义，进行求解却可.

【详解】解：VZC=90°,AB=10,BC=6,

•••ACZAB2-BC?=8,

8c63

故选D.

5.C

【分析】连接OC,根据题意可知NP=N5,/OCB=NB.再由三角形外角的性质和切线

的性质可求出ZP=30°,由正切即可求出PC长度.

【详解】如图连接03

•:PC=BC,

••・ZP=ZB,

•••OC和08都为半径,

••・NOCB=/B,

又‘：NPOC=ZOCB+/B,

・•・ZPOC=2ZB=2ZP,

根据题意OCJ_PC,

,ZPOC+ZP=90°,

AZP=30°,

吟得号6万

T

【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，直角三角形

两个锐角的关系以及正切函数.根据题意和连接辅助线求出NP=30。是解题关键.

6.C

【详解】•・•点A(,3)在第一象限,

，AB=3,OB=t,

1・・AB3

又・tana=----=—

OB2

t=2.

故选C.

7.A

【分析】先解直角三角形求出BC的长，从而可得地毯的长度，再根据矩形的面积公式即可

得.

本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键.

【详解】解：由题意，在RlZ\A8C中，BC=ACtana=6tana(m),

故地毯的长度为BC+4C=(6tana+6)(m),

故地毯的面积至少需要(6tana+6)xl=(6tana+6)(平方米)，

故选：A.

8.A

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角AH勺对边。与邻边。的比叫做4的正

切值是解题的关键.

根据正切的定义解答.

【详解】解：在R/ABC中，N8=90。，AB=S,AC=\O,

根据勾股定理得：BC=>]AC2-AB2=V102-82=6

AHC5

则NILtanA==一，

AB4

故选：A.

9.C

【分析【本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

BC

根据锐角三角函数的定义得lanA=3t=：4,再根据AC=4,即可得出A5的长，然后利用

AB3

勾股定理冲算求解.

RC4

【详解】解：在RtZ\A8C中，2B90?,ianA=—=-,

AB3

•/8c=4,

AB=3,

AC=\IAB2+BC2=V3：+42=5•

故选：c.

10.A

【详解】试题解析：•；AC=3,BC=4,AB=5,

•••AC2+BC2=AB2,

AZC=90°,

・

..•tannB=*=一3,

BC4

故选A.

11.A

【分析】连接AC,根据正切的定义，得出tan/AC8=无，进而得出NAC4=30。，再根

3

据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半，得出AC=2A8=4,再根据旋转的性质,

得出NA'C9=NAC8=3()。，再根据角之间的数量关系，得出NAGTG20。，再根据扇形的

面积公式，计算即可.

【详解】解:连接AC,

;在矩形A4c。中，AR=2,AD=26，?B90?,

/.tanZACT=-^==—,

2x/33

，ZAC8=30。，

・•・AC=2A6=4,

・•・NA'C笈=ZAC8=30。，

/.ZAC4/=90o+30o=120°,

.H7rr2_120^x16_16^

••一360—36()一亍

故选：A.

【点睛】本题考查了锐角三角函数、含30。角的直角三角形、旋转的性质、扇形的面积公式,

解本题的关键在熟练掌握恃殊角的三角形函数值.

12.A

【分析】本题考查网格中的三角函数，过点C作利用正切的定义，求解即可.

【详解】解：过点C作CD_LA8,如图，

则：ZCDA=90°,AD=2,CD=4,

tanZBAC=—=2；

AD

故选A.

【详解】解：连接PB、PE.

•••。2分别与。4、BC相切于点七、B,

：.PBLBC,PELOA.

■:BCHOA,

P、E在一条直线上,

VA(2,0),8(1,2),

：,AE=\,BE=2,

/.tanZABE=^-=^-，

BE2

,?NEDF=NABE,

AtanZFDE=y.

【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的

比的问题.

【详解】解：根据圆周角的性质可得：ZBDC=ZA.

VtanZA=g♦

/.(anZBDC=^，

3

故答案为

J

【点睛】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比

斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，难度适中.

15.受

4

【分析】根据勾股定理和三角函数即可解答.

【详解】解：已知在R/A/1BC中NC=90。，NA、NB、NC的对边分别为〃、b、c,c=3a,

设。=x,则c=3x,b=y]9^-x2=2y/2x-即tanA=-二=

2v2x4

故答案为：叵

4

【点睛】本题考查勾股定理和三角函数，熟悉掌握是解题关键.

16.人自

【详解】如图，延长4D、5c交于E点,

V乙4=60。，・•・=90*-60*=30°

CD=g,・•・CE=9x2=18,则BE=6+18=24.

*.*Un£=—,:.AB=BE•tanS=24tn30°=8/3.

17.4x/10-j

【分析】如图，取人4的内点G,连接R7,FC,GC,由△MGS/\EAQ,推出FG：DE=

44

AF：AE=\：3,因为。E=4,可得/G=§,推出点尸的运动轨迹是以G为圆心§为半径

的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题.

【详解】解：如图，取AB的中点G,连接/G.FC.GC.

：ZEAF=90°,tanZAEF=-

3f

.AFI

•----=—,

AE3

•YB=8,AG=GB,

\AG=GB=4,

：AD=\2,

.八G_4_1

.而=Ti=5，

.AF_AG

•瓶二而，

••四边形ABCQ是矩形，

•・ZBAD=/B=ZE4F=90°,

\ZFAG=ZEAD,

,.△MG^AfAZ3,

\FG：DE=AF：AE=\：3,

./圮=4,

4

：.FG=-

4

；•点、尸的运动轨迹是以G为圆心§为半径的圆,

■:GC=VGfi2+BC2=V42+122=4>/10，

：.FC>GC-FG,

尸C^4yj\0~~T

・・.C/的最小值为4M

故答案为：4ji6-g.

【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

9

18.（1）证明见解析；（2）—.

【分析】（1）根据辅助线的性质得到ZADC=ZABC=90°,由邻补角的定义得到

NADF=NABE=90。,于是得到结论；

（2）过点A作于点儿根据勾股定理得到4代Ji6,ED=dcD?+CE2=5,根据

।0I9

三角形的面积54人后。=5人68八=5,S^ADE=-EDxAH=-,求得4"=1.8,由三角函数的

定义即可得到结论.

【详解】解：（1）正方形A8CD中，*：AD=AB,NADC=NABC=90。,

AZADF=ZABE=90°,在△4。“与△A8E中，

\*AD=AB,NADF=NABE,DF二BE,

，△人。尸0△人BE；

（2）如图，过点A作于点从

在他△回£：中，・；AB=BC=3,BE=1,

：.AE=4W,ED=y/cD2+CE2=5,

1919

,：SAED=-!-ADXBA=-,SADE=-i-EDxAH=-,解出加7=1.8,

A222A2

在心△人”£中，EH=26,

.…八A"1.89

•・tanN4E7)=-----==—.

EH2.613

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的

关键.

19.tanZDBC=—

3

【分析】设AE=3x,ED=4x,由勾股定理可知:AD=5x,根据角平分线的性质可知ED=CD=4x,

再根据cotA=N=：,所以BC=12x,再根据锐角三角函数即可求出答案.

oC4

3

【详解】解：・・・coiA==.

4

设AE=3x,ED=4x,

・•・由勾股定理可知:AD=5x,

••・BD平分/ABC,DELAB,ZC=90°,

，ED=CD=4x,

在RtABC中

AC3

cotAA=-----=—,

BC4

.\BC=12x,

tanZDBC=.

BC3

故答案为tan/DBC=g.

【点睛】本题考查锐角三角函数，涉及锐角三角函数，角平分线的性质，勾股定理等知识.掌

握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关健.

20.1

【分析】本题主要考杳了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握三角函数

的定义是解题关键.

过点A作于点。，通过等腰三角形的性质"三线合一''求出80=6,根据勾股定理

An

求得40=8,根据=经即可求解.

【详解】解：如图，过点A作AO1AC于点。,

VAB=AC,8c=12,

,BD=-BC=6,

2

XVAB=10,

，在RtaAOB中，AD=>jAB2-BD2=8»

,》A。84

••tanB==—=—.

8063

9

21.(1)见解析1；(2)v

【分析】(1)根据题意由平行四边形性质得OD=O3,由ASA证得ADWgABEO,即可

得出结论；

(2)根据题意由(1)得OE=OF,则0E=2,在RQOEB中，由三角函数定义即可得出结

果.

【详解】解：(1)证明：在cABCQ中，OD=OB

VBELAC,DFJ.AC

JDF//BE

/.NFDO=/EBO

又•・•/DOF=/BOE

：.M)FO^^BEO(ASA)

：・OE=OF

(2)VOE=OF,OF=2

：.OE=2

BEJ.AC

JZO£fl=90°

OF2

在R/A08E中，BE=5,tan^OBE=—=-.

BE5

【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等二角形的判定与性质、二角函数定义等知识：熟

练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键.

3

22.（1）证明见解析（2）|

【分析】Q）由矩形的性质得出/以8=NA8E=90。，AF//BE,证出四边形ABE尸是矩形，

再证明人8=8£即可得出四边形人BE尸是正方形：

（2）由正方形的性质得出BP=P凡BA_LAQ,N必尸二45。,得出43〃尸，，求出DH=AD-AH=5,

在山△/¥〃）中，由三角函数即可得出结果.

【详解】（1）证明：•・•四边形A8CQ是矩形，

：.ZFAB=ZABE=90°,AF//BE,

*：EFA.AD,

N必3=NABE二NAFE=900,

••・四边形人8）是矩形，

TAE平分N84D,AF//BE,

：.ZFAE=ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE,

，四边形ABEF是正方形;

（2）解：过点。作。〃_LA。于从如图所示：

:四边形力8E尸是正方形：

:.BP二PF,BAVAD,/朋”=45。,

:.AB〃PH,

V4B=6,

：.AH=PH=3,

•・・4D=8,

：.DH=AD-AH=S-3=5,

在心△P”O中，ZP//D=90°.

PH3

tanZ/4DP==

~HD5

23.(1)证明见解析；(2)—；

4

【分析】(1)证明ND4C+N8AD=90。，则N84O90。，可得出结论；

(2)设EC=EB=x,在心A4EC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【详解】(1)・・・48是。0的直径，

・•・ZADB=90°,

・•・/6+/£4。=90。，

•:NDAC=/B,

：.ZDAC+ZBAD=90°,

/.NA4c=90。，

：.BAA.AC,

••・AC是。。的切线；

(2)解：V4BCE=/B,

:・EC=EB,®EC=EB=x,

ACI

在R/aABC中，tanZ.B----=—,AB=6,

AB2

・・・AC=3,

在RmAEC中，•・•EC2=AE2+AG,

・*=(6-x)2+32,

解得尸;，

4

”15

..CE=——.

4

【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理'等腰三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

24.⑴见解析

⑵”业或能

22

⑶微或二I

【分析】(1)根据题意可得NA=ND=N8EG=90。，可得NQ£77=NA3E,即可求证；

(2)