直角三角形 压轴题（10大题型）解析版-2025-2026学年八年级数学上册（沪教版五四制）

直角三角形压轴题(10大题型)

题型归纳

题型一：“HL”的综合应用

题型二：传统解答证明题

题型三；特殊三角形的分类讨论

题型四：根据己知数量关系求解

题型五：动点问题

题型六：平移问题

题型七：旋转问题

题型八：翻折问题

题型九：新定义题

题型十：勾股定理的证明

:题型专练

题型一：“HL”的综合应用

1.已知Rt△力C8且RtA。”，ZACB=ZDEB=90°.

(1)将Rt△4C8和按图①方式摆放，使经过点G延长力C交线段OE于点G试判断线段

+C尸=4。之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)洛和按图②方式摆放，延/C交线段于点E请直接写出CF,4C之间的数

量关系.

(3)将Rt△4C8和RtZXQEB按图③方式摆放，延长/。交EQ的廷长线于点尸.若。尸=2,CF=8,则

AC=.

【答案】(1)。产+6=4。，理由见解析

(2)DF+CF=AC,理由见解析

(3)6

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的数量关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定和

性质进行解题，注意运用数形结合的思想进行解题.

（1）由全等三角形的判定和性质，得到=AC=DE,再证明R38W"R匕8"',即可得到结论成

立；

（2）连接8尸，与（1）的证明过程一样，即可得到答案；

（3）连接与（I）的证明过程一样，得到C尸=£FAC=DE,即可得到答案.

【详解】（1）DF+CF=AC.

证明：如图，连接引〜

RC=RE,AC=DE.

•.•在RUBCF和R3EF中,

BF=BF

BC=BE'

RUBCF^R^BEF(HL),

CF=EF.

vJC=DE,DF+EF=DE,

:.DF+CF=AC；

(2)DF+CF=AC；

与(I)同理，可得BC=3E,AC=DE,

•：AACB=NDEB=90°,BC=BE,BF=BF，

RSBCF@RSBEF(HL),

:.CF=EF,

,：AC=DE,DF+EF=DE,

:.DF+CF-AC；

(3)；解：如图，连接8尸,

图③

与（1）同理，则有。尸=后尸，AC=DE,

:.DF+AC=DF+DE=EF=CF；

DF=2,C尸=8,

贝|JNC=6.

故答案为：6.

2.已知△力BC和其中4c5=ZD£8=90。，ZJ=ZD=30°.

图1图2图3

(1)洛和AQBE按如图1所示位置摆放，点£落在上，0E的延长线交/C于点尸，连接必，且必

平分4CFE.

①求证8C=8E；

②猜想OE,痔与/尸之间的数量关系是；

(2)若将图1中的aQE?按如图2所示位置摆放，DE交力B于点P,OE的延长线交力。于点产，

NEBPv60。,连接必，且FB平分NCFE.试判断(1)中②猜想的结论还成立吗？并说明理由；

⑶若将图1中的△。即按如图3所示位置摆放，DE,力"分别交4C的延长线于点尸，P,连接F8,且FB

平分NCFE.你认为(1)中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出力产，

E”与。E之间的数量关系.

【答案】(1)①证明见解析，@DE=AF+EF,证明见解析；

(2)结论成立，证明见解析

(3)②的结论不成立，结论为：AF=DE+EF,证明见解析

【分析】(1)①由角平分线的性质可得结论：②先证明仃=a"证明△/8。二。8£1,可得/C=OE,从

而可得结论；

(2)证明6c=再证明△3C7?NA〃K/?(HL),可得。尸=石〃.证明可得月C=Z)K,从

而可得结论；

(3)证明8E=8C,NBEF=90。=NBCF,可得BF=BF,ABCF^BEF(HL),可得CF=EF.再

证明△川?。多。可得力C=OE,结合4尸=/fC+3,而CF=EF,从而可得结论.

【详解】(1)证明：①TFB平分4CFE,ZACB=ZDEB=90°..

：.ZCFB=NEFB,BC=BE.

②•：/BCF=/BEF-NCFB=NEFB、BC=BEt

.•.八RCF也人REF,

:.CF=EF,

•••4=/。=30。，ZACB=ZDEB=90°,BC=BE

"BC3DBE,

:"C=DE,

•;AC=AF+CF,而CF=EF,

；.DE=AF+EF；

(2)•.尸6平分NC产£,Z1ACB=4EB=9O。,

BC=BE,NBEF=900=NBCF,

vBF=BF,

CF=EF.

•••4=NO=30。，ZACB=ZDEB=900,

;.“BC=DBE,

AC=DE,

•:AC=4F+CF,而CF=E尸,

.-.DE=AF+EF；

(3)②的结论不成立，结论为：AF=DE+EF,理由如下：

•SB平分NCFE,ZACB=ZDEB=90°,

：,BE=BC,/BEF=90°=NBCF,

•••BF=BF,

.•.△BCFABEF(HL),

:.CF=EF.

vZJ=ZD=30°,ZACB=NDEB=90°,

:."BC&DBE,

•.AC=DE,

.•力万=AC+CE,而b=M,

,•AF=DE+EF；

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质，全等三角形的

判定方法是解本题的关键.

题型二：传统解答证明题

3.已知ZACB=90°,AC=BC,点。、£分别在边8C、力8上，连接力。、CE.

图1图2

(1)如图1,若CEL/ID,ZBAD=-Z.BCE,求证：AD=2CD；

2

(2)如图2,连接。E,若DEJ.4E,点F为4D的中点,连接CF、CE,求NECE的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)45°

【分析】(1)如图，设力。与CE相交于点尸，由等腰宜角三角形的性质可得/历!C=/4=45。，设

NB4D=a,NBCE=2a,则NC4/=45°-。，乙4c尸=90°-2a,由NC4/+N/C/7=90。可"求得a=15。,

进而可得NCAD=30°,由直角三角形的性质即可求证；

(2)连接痔，由直角三角形的性质可得所=6=力产=；/。，进而可得4"*=/"尸，

NCAF=NACF,4ECF=ZCEF,得至ijNQ歹E=2NE4尸，NDFC=2NCAF,可得/C尸E=90。，进而即可

求解.

【详解】(1)证明：如图，设力。与底相交于点尸，

■.ZACB=90°,AC=BC,

：./BAC=NB=45。,

•:CELAD,

.-.ZJFC=90°,

・"AD=L/BCE,

2

.•.可设N44O=a,NBCE=2a,则NC4/=450-a,ZJCF=90°-2a,

vZCJF+Z^CF=90°,

.•.45°-a+9()。-2a=9()。，

.-.a=15°,

.-.ZC/1F=45°-15°=30°,

即ZCJD=30°,

•••4CQ=90。，

AD=2CD；

图1

(2)解：连接E尸，

vDEIAB,

0

.'.ZAED=ZACB=9Ot

,・,点尸为/。的中点,

-,EF=CF=AF=-AD,

2

：ZEF=NEAF,NCAF=NACF,Z.ECF=Z.CEF,

ADFE=2Z.EAF,ZDFC=2NCAF,

:.4DFE+4DFC=2Z.EAF+2/CAF=2(^EAF+NCAF)=2NB4C=90°,

即NS?=90°,

.•.“W=NC"=1^=45K

图2

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理

及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键.

4.如图所示，已知：在△/AC中，AC=BC,ZJCZ?=90°,CO是边48上的中线，点E是直线力C上任

意一点，DFA.DE,交直线BC于点、F.点G是EF中点、,延长CG交直线于点，.

c

⑴若点月在边A3C上，

①证明：DE=DF；

②证明：CG=GH；

(2)若/E=3,CH=5,直接写出边力C的长.

【答案】⑴①见解析；②见解析

(2)4C=7或1

【分析】(1)①连接CO，推出CO=/。，NCDF=/ADE,ZJ=ZDCB,证

②连接OG,根据直角三角形斜边上中线求出CG=EG=G/=DG,推出NGCO=/GQC,推出

NGDI1=NGHD,推出。G=GH即可：

(2)求出川=5,根据勾股定理求出EC,即可得出答案.

【详解】(1)①证明：连接C。，v^ACB=90°,CO是边力8上的中线，，AC=BC,

：.CD=AD=BD,

又•：AC=BC,

/.CD1AB,

:./ED4+/EDC=900,NDCF=NDAE=45。,

DFIDE,

/.ZEDF=/EDC+/CDF=90°,

/ADE=/CDF,

在/OE和△(»尸中，

•;NA=/DCF,AD=CD,NADE=/CDF,

.•.△.4。七经△(?£)「(ASA).

DE=DF；

c

②证明：连接QG,

•.•//C8=90。，G为防的中点，

:.CG=EG=FG,

•/ZFDF=90°,G为E厂的中点，

/.DG=EG=FG,

:,CG=DG,

NGCD=/CDG.

乂♦:CD工AB,

NCDH=90°,

;.NGHD+/GCD=90°,NT/DG+NGOC=90。，

NGHD=NHDG,

GH=GD,

:,CG=GH：

c

(2)如图，当E在线段4C上时，

•••CG-GH-EG-GF,

..CH=EF=5,

•;“DE知CDF,

.\AE=CF=3,

22

...在RSEC尸中,由勾股定理得：CE=ylEF-CF=4,

：.AC=AE+EC=3+4=7^

c

如图，当上在线段C>1延长线时,

AC=EC-AE=4-3=\f

综合上述：力。=7或1.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，综合运用以上知识

是解题的关键.

5.己知在中，力8=4C,点。在线段8c上，点尸在射线力。上，连接。八作8f"〃b交射线4O

于E,ZCFA=ZBAC=a.

(1)如图1,当。=65。时，/力4£=15。时，求“胡£的大小；

(2)当a=90。,48=40=8时,

①如图2,连接8尸，当BF=BA,求C尸的长；

②若力。=5及，求力E的长.

【答案】(1)N8/E=5O。

(2)①c/=苧：②4E=警或

【分析】(1)由平行线的性质求解/2。=65。，再利用三角形的外角的性质可得答案；

(2)①证明△力尸C,可得尸。=所=<£=；4尸，再利用勾股定理求解即可：②如佟，过力作

/1MJ.8C于"，当。在"的右边时，利用勾股定理求出，可得40,用等面枳法可得4E,可得。f,

根据4E=4O-OE,从而可得答案；当。在〃的左边时，如图，同理可得力历=4&，DM=3五，

CD=74i，CF=^V2,证明△84E丝△4CF,即可得到力E.

【详解】（1）解：•••3石〃C尸，ZCFA=ZBAC=a=65°,

；.ABED=65°,

•；5ED=/ABE+NBAE,NABE=15°,

：.NA4E=65°-15°=500：

（2）解：①，；BF=BA,AB=AC,

/.BF=AC,

vBE//CF,/CFA=NBAC=a=90°,

ABEJ.AF,AE=EF,/ABE=NFBE,NBEF=NAFC=900,

•••/ABE+NBAE=90°=/BAE+NCAF、

Z.ABE-Z.CAF,

NCAF=NFBE,

ABEF法△AFC（AAS）,

EF=FC,

FC=EF=AE=-AF,

2

vAB=AC=8,

...CF2+（2CF）2=64,

解得：CF=^（负根舍去）；

5

②如图，过力作4W_L8C于当D在〃的右边时，

•.Z5JC=90°,AB=AC=8,

：♦BC=8g，AM=MC=BA1=4&，

AD=5y[2，

DM=VAD'—AM~=3>/2，

•••BD=4近+3五=76,

LBDAM”

・••BE*

-AD3

2

45/2

•••AE=AD-DE=^—

5

当。在B的左边时，加图.

同理可得：AM=46，DW=3A/5，CD=1五，

-CDAMx

-AD

2

由(I)得：ZABE=ZCAF,

WAAEB=Z.AFC=90°,AB=AC,

.­.△SJ^A/ICF(AAS),

，心”迹

5

综上：就=逑或?

55

【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定

理的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解本题的关键.

题型三：特殊三角形的分类讨论

6.如图所示，在RtA/出。中，/4=90。，ZC=30°,AB=\,8。是/4九1的角平分线.

(备用图)(备用图)

(1)求8。的长；

(2)若点P在线段上,△OPC是直角三角形求8P的长;

(3)若点P在射线8。上,△OPC是等腰三角形直接写出〃尸的长.

【答案】（1）30-、：

2

（2）当8P=2-6或上史时，AOPC是直角三角形；

2

（3）BP的长为26-3或1或3.

【分析】（1）如下图所示，过点。作。EJ•48,DF上BC,根据8。是二川火?的角平分线，可知。七=。尸,

根据S“BC=S.ABD+皿可得|x1xV3=lx1xDF+lxV3xDF,根据等腰直角三角形的性质可得

如巫亚

2

（2）Z\OPC是直角三角形，有两种情况，一种情况是OP_L8C时，另一种情况是DP1ZC,分情况求出线

段BP的长度即可；

（3）Z\QPC是等腰三角形，有三种情况，第一种情况是当点。在线段8C上，CD=CP；第二种情况是

PD=CP；第三种情况是当点尸在线段8c的延长线上时，CD=CP=3五-瓜.

【详解】（1）解：如下图所示，过点。作。EJ.45,DF1BC,

:8。是N/18C的角平分线，

:.DE=DF,Z^Z）=-ZJ5C=45°,

2

S&ABC=SCBD+S^BM»

ABBC=-ABDE+-BCDF,

222

在中，ZB=90°,ZC=30°,AB=\,

:.AC=2AB=2t

：.BC=ylAC2-AB2=722-12=^3，

.\-xlx>/3=—xlxDE+—x>/3xDE,

222

解得：=土正，

2

•••480=45°,DELAB,

EB=DE,

在中，=石=匕叵乂血="二匹；

22

(2)解：如下图所示，当。P_LEC时,

•••8。是/48c的角平分线，

NDBP=45°,

BP=DP=显BD=；

22

如下图所示，当。夕J_ZC时，ZCDP=90°,

由⑴可知8£=。£=上卢，

；.AE=AB-BE="^^=^^~,

22

在中44EO=90°,Z.A=60°,

NADE=30°,

：.AD=2AE=2x^^-=y/3-\,

2

DC=AC-AD=2_（百_0=3-由,

设OP=x,则尸。=23P=2x,

在.RSDPC中,DP2+DC?=PC?，

.•.d+（3-百『=（2x『，

解存：X[=G-i,%=（舍去），

.•.DP=V3-I，

•■.PC=2DP=2y[i-2,

5P=5C-PC=V3-（2V3-2）=2-V3,

综上所述，当8尸=2-百或主泸时，AOPC是直角三角形;

（3）解:如卜图所示，当点。在线段5c上，CO=C尸时，

由⑵可知。C=3-6，

则CP=OC=3-G

BP=BC-PC=；

如下图所示，当点。在线段8。上，PD=CP时,过点尸作PM_LCO,

则有CM=。时=gcO=gx（3-间=^^，

设PM=歹，则PC=2尸例=2y,

在Rt△尸MC中，PM'CM'PC?，

>2+[¥[=(2好,

痒1V3-1

解得:必=一二（舍去），

V3-1

:.PM=

2

/.PC=2PM=2x^^-=V3-l

2

则8尸(百_"二石一百+1=]；

如下图所示，当点P在线段8c的延长线上时，CD=CP=3-0

贝IJ8P=8C+"=G+3-G=3.

A

综上所述，当△。尸。是等腰三角形时，8P的长为26-3或1或3.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、分类讨论的思想，解决本题

的关键是根据分类讨论的思想，分情况讨论.

7.已知在/?人力404，N45C=90。，点P在边力C上，连接8P.

图1图2备用图

(1)如图1,如果点尸在线段力4的垂直平分线上，求证：AP=PC：

(2)过点尸作尸。J.〃尸，交边8c于点。，

①如图2,如果点P是线段/C的中点，且8。=28,求NC的度数；

②填空：如果44=6,8c=8,且△/lA尸是以4。为腰的等腰三角形，那么尸。的长等于.

【答案】(1)见解析

1s7

(2)①30。；②了或w

【分析】(1)由线段垂直平分线的性质得则/力再证NC8P=NC,得PC=BP,即可

得出结论；

(2)①取8。的中点£连接尸E,由直角三角形斜边上的中线性质得尸E=g8O=BE=OE,再证

△BPE@ACPD(SAS),得NBPE=4CPD,典1NEPD=NEDP=NC+NCPD=2NC,即可解决问题；

②分两种情况,。、8尸=40时,b、8尸=48=6时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出PQ的长即

可.

【详解】(1)证明：•.•点产在线段的垂直平分线上，

：•"=BP,

•••4=ZABP,

vZJ5C=90°,

ZABP+Z.CBP=90°,ZJ+ZC=90°,

：.ZCBP=NC,

PC=BP,

AP=PC-

（2）解：①如图2,取5。的中点如连接尸£,

则BE=Z）E,BD=2BE=2DE,

•••PDA.BP,

："BPD=90。,

：.PE=>BD=BE=DE,

2

:.NBPE=Z.PBC,4EPD="DP,

•••BD=2CD,

/.BE=CD,

•••4BC=90。，点尸是线段4C的中点，

:.BP=-AC=CP,

2

：2PBE=ZC,

在和ACPO中，

BP=CP

<NPBE=NC,

BE=CD

••.△BPEmCPMSAS）,

NBPE=ZCPD,

UPE=NCPD=NPBC=ZC,

ZEPD=NEDP=ZC+/CPD=2ZC,

v/BPD=90。,

••・NBPE+NEPD=90。,

即NC+2NC=90。，

••.ZC=30°,

即NC的度数为30。；

②•••力8=6,8c=8,NABC=90。,

-AC=>IAB2+BC2=A/62+82=10,

分两种情况：

。、如图3,BP=4P时,

由（1）可知，BP=AP=PC=、AC=5,

2

过点P作。于点M,

贝8c=4,

2

•­PM=dBP?-BM，=V52+42=3，

设£>M=x,则6£>=4+x,

在R^BPD和RhPDM中,由勾股定理得：PD2=BD2-BP2=PM2+DM1»

即(4+x)2-52=32+f,

9

解得：x=“

6、如图4,4P=/8=6时，ZJ=ZBPA,

­.ZJ5C=90°,

.-.ZJ+ZC=90°,

•••PDA.BP,

：.NBPD=9Y,

"BPA+Z.CPD=180°-90°=90°,

ZC=NCPD,

/.PD=CD,

设PO=CO=w,则80=8-〃？，

在必△8/力中，由勾股定理得：BP2+PD2=BD2,

即61+m'=(8-w)?♦

7

解得：〃?二:，

：.PD=L

4

综上所述，尸o的长等于:或：，

44

故答案为：?15或一7.

44

【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与

性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角

形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型.

题型四：根据己知数量关系求解

8.在中，已知/胡。=90。，月8>/C,点。在射线8C上，连接40,NADB=2NB.

(1)如图1,若力力的垂直平分线经过点求/C的度数；

(2)如图2,当点。在边4。上时，求证：BC=2AD；

(3)若力。=2,BD=5CD,请直接写出C。的长.

【答案】(1)54。

(2)见解析

(3)坐或收

【分析】(1)根据垂直平分线的性质，可推出助=8。，得到/口。=N4O8=2/8,再利用三角内角和可

得到5/6=180。,求出N5,最后由/。=90。-/8,即可得到答案;

(2)取，。的中点E,连接在，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到荏=；8c=6E=CE,

从而推出/历=再由乙4ED=NB+NB工E=2NB,推出/力£>8=NNE。，从而得到《七二力。=g灰？,

得证；

(3)①当。在边8C上时，作力G_18c于G,由“七=力。，推出EG=QG=；E。，设CO=x,用x表示

出4G、AD.GD、AC.CG,然后在R4ADG中和在R/<CG中利用勾股定理建立方程,求解即可;②

当。在8c的延长线上时，连接力。，作广〃，再取8c的中点E,连接力E,先证明力上=力力，

同①，设CQ=y,然后在Ra%。，中和在RLUC”中利用勾股定理建立方程，求解即可.

【详解】(1)解；的垂直平分线经过点s

/.BA=BD

/BAD=ZADB=24B

又♦:NBAD+AADB+N8=180°

5/8=180°

又；血C=90°,

/.ZC=900-ZB=90°-36°=54°

(2)证明：如图1,取8c的中点E,连接力E

A

图1

AE=-BC=BE=CE

2

ZBAE=NB

ZAED=NB+NBAE=2/8

又ZADB=2ZB

^ADB=NAED

AE=AD=-BC

2

/.BC=2AD

(3)解：如图2,当。在边8c上时，作AG_L8c于G,

A

图2

由(2)可知，AE=AD

EG=DG=-ED

2

设CD=x,

:.BD=5CD=5x

BC=BD+CD=5x+x=6x

/.ED=EC-CD=-BC-CD=3x-x=2x,AD=-BC=--6x=3x

222

GD=—ED=—x2x=x,CG=GD+CD=x+x=2x

22

•••在RIA/OG中，AG2=AD2-GD2=9X2-X2

在RLACG中，AG2=AC2-CG2=22-4X2

9x2-x2=22-4x2

解得：x=@,即CZ)=且

33

如图3,当。在8C的延长线上时，连接/。，作/〃_L4O于〃，再取8c的中点E,连接4E.

NBAE=NB

...NAED=/BAE+ZZ?=2/4=/ADB

AD=AE

又，:AH1BD

:,EH=DH=-ED

2

设CZ)=j，，

/.BD=5CD=5y.

BC=BD-CD=5y-y=4y

BE=CE=AE=AD=；BC=；.4y=2y

：.DE=BD-BE=5y-2y=3y

113

DH=-DE=-3y=^y

CH=DH-CD=-y-y=-y

r'2,

9

在中，AH2=AD2-HD2=4y2一一y2

4'

在Raxc”中，AH1=AC2-CHZ=22--y2

4

解得：y=41,即。。二夜

综二,CO的长为会或应.

故答案为：co的长为弓或近.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，

熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键.

9.在ZVIBC中，ZJCZ^=90°,AC=BC,点、D为边BC上一点,连结力。，过点C作。£_L4D于点打交

力8于点E,点G是线段力D上一•点.

图I图2

（1）如图1,连结CG,如果4CG=/8,求证：AG=CE；

（2）如图2,连结8G交。£1于点尸，如果点P恰为8G的中点，求证：4G=2FP；

（3）已知等腰直角三角形的腰长和底边长之比为1：应，在（1）的基础上，连结Of、EG,当8=小=1时,

求四边形CDEG的面积

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据直角三角形的性质易证/&O=N8CE,根据ASA证明△力GC也ACEB,进而可证

AG=CE；

（2）延长CP至〃，使”=PH,连接4",证明得到Gb=8H,NBHP=/GFP=90。,

再证明得至|J//=AG+G尸，CH=CF+F'H,即可得出结论；

（3）延长CG交力B于点P,连接GE,QE,由题意易证是等腰三角形，根据等腰三角形三线合•易

得ZCDA=ZEDA,CG=C£，证明1OCg"OE（SAS）,得到ZAED=/ACD=90°,力。=力£,证明ABDE

是等腰直角三角形，由力C:4B=1:&，求出/E=4C=&+1，由（1）知BE=GC,得到

CG=EG=8E=OE=1,再证明\GPE是等腰直角三角形，利用勾股定理求出尸E=GP=①，根据四边形

2

CDEG的面积为S梯形山田-1GPE=；（。七+。尸）尸£-3尸厅尸6,即可求解.

【详解】（1）证明：=NZCB=90°,CF1ADf

ZCFD=90°,

ZBCE+NCDA=ZCAD+NCDA=90°,

•••/.CAD=Z.BCE,

•;AC=BC,ZACG=Z.B.

.•.△.4GC且ACEB（ASA）,

:.AG=CE-,

（2）证明；延KCP至〃，使Q=/W,连接6”,

FP=PH

4FPG=NBPH,

BP=GP

A£\・♦个

H

AGFP/ABHP,

:.GF=BH,ZBHP=/GFP=90'

ZCAD=NBCH

<AC=BC,

/AFC=NCHB=96。

\ACFaCBH,

:.CF=BH,AF=CH,

CF=GF,

•；AF=AG+GF,CH=CF+FH9

AG=FH=2FP,

AG=2FP：

（3）解：延长CG交川？于点尸，连接GE,QE,

APEB

•••CD=DE=\,

•.•△8七是等腰三角形，

vAD_LCE,

・•.ND是四的垂直平分线，ZCDA=/EDA,

:CG=CE,

AD=AD,CD=DE,

.."DCg"DE（SAS）,

；.4ED=ZACD=90。,AC=AE

Z2?£D=9O°,

vZ5=45°,

:.NBDE=45°,

••.△BOE是等腰直角三角形，

•••BE=DE=T,

lAC1

,••心心:正，即：^^=正，

二4。=&+1，

：•AE-AC-4-1»

由(1)知4£=GC,

CG=EG=BE=DE=\,

,：4GDD=NACB-N4CG=45°,

:.Z.GEC+/DEC=4GCE+/DCE=ZGCD=45°,

.♦.4EG=45。，

vZCJB=45°,Z^CG=45°,

ZAPC=ZBPC=90°,

.•.△GP£是等腰直角三角形，

PE=GP,

'-PE2+PG2=GE2=\,BPPE=6P=—,

2

四边形COEG的面积为S梯形仃山一邑”£=；(OE+CP)PE—；P£PG,

-----•

2

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分

线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

10.已知，如图：△48C是等腰直角三角形，动点P在斜边48所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角

三角形PC。,其中/尸。。=90。，探究并解决下列问题：

(1)如图①，若点P在线段上，且/C=5,PA=2五,则：

①线段,PB=：

②猜想：PA2,PB"P。?三者之间的数量关系为;

(2)如图②，若点P在48的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程；

⑶若动点满足产月：所=1:3,求PC:力。的值.

【答案】⑴①5垃,34；②P42+PB?=PQ2

(2)见解析

(3)生的值为巫或巫

AC42

【分析】(1)①在RtZ\4〃C中，利用勾股定理可求得由尸8=48-尸力可求得尸8的长；②过。作

CD上4B于点D,则可求得4)=CZ)=g48,把尸才和尸员都用PC和CQ表示出来，在Ri△尸C。中，由

勾股定理得到PC和尸。。的关系，从而可得到尸加/父,2°2三者之间的数量关系；

(2)过。作CD_L/6千点。，把42和2京都用PC和。表示出来，在Rtz\PCO中，由勾股定理得到"C

和尸。8的关系，从而可证得结论；

P41

(3)分点P在线段上和线段口的延长线上，分别利用笳=彳得到"和C。的关系，从而可得到。。和

PB3

C。的关系，在RLW。和RtZUCO中，利用勾股定理可分别得到PCMC和CQ的关系，从而可求得g的

AC

值.

【详解】(1)解：①•.•△48。是等腰直角三角形，JC=5,

:.AB=>JAC2+BC2=V52+52=5x/2，

•：PA=26,

.\PB=AB-PA=5y/2-2y/2=3j2^

②PA2+PB=P。,

证明：如图1,过C作CD_L4B于点O,

图1

•••△4C8为等腰直角三角形，CDLAB,

CD=AD=DB,

・.•PA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-2CD•PD+PD2,

PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2+2CD-PD+PD2,

PA2+PB2=2CD2+2PD2=2[CD2+PD2),

在RECD中,由勾股定理可得PC?=C£)2+po2,

，PA2+PBZ=2PC2，

•••△C。。为等腰直角三角形，且/户C0=9O。，

:.2PC2=PQ2,

PA2+PB2=PQ2,

故答案为：PA2+PB2=PQ2；

(2)证明：如图2,过。作CD_L4?于点O,

•••△4C8为等腰直角三角形，CDLAB,

CD=AD=DB,

PA2=(AD+PD)2=(CD+PD)2=CD2+2CDPD+PD2,

PB2=(PD-BD)2=(PD-CD)2=CD2-2CD-PD+PD2,

PA2+PB2=2CD2+2PD1=2(CD2+PD2),

在山力。中，由勾股定理可得0C?=02+002,

/.PA2+PB2=2PC2,

为等腰宜角三角形，且NPCQ=90。，

2PC2=PQ2,

PA2+PB?=PQ1.

(3)解：过点。作6_1_45r点。，

PAI

,Pi=3'

•••点P只能在线段AB上或在线段BA的延长线上，

如图3,当点P在线段48上时，

422

在RsCPD中,由勾股定理可得PC=+=JCQ2+（；CQ'=qCD,

在中，由勾股定理可得，C=J/O+czPnyjcD?+CD?=4iCD，

PC~^CD如；

AC~>/2CD~4

2

在MACPD中,由勾股定理可得PC=Jch+PD?=[CD2+（Ze。）？=辰D，

在口△4CZ）中，由勾股定理可得.C=〃02+CO2=JCZ）2+CD2=6CD,

.PC_4SCD_Vio

,7c~^/2CD~~r，

/LPC2拈本MTM

综上，:77的值为—或2—.

AC42

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，直角三角形的性质，

并涉及分类讨论的思想.在（2）口注意分别用。。和PO表示出"和P8是解题的关键，在（3）中确定出P

点的位置，再结合条件找到PC,4c与的关系是解题的关键.本题涉及内容不多，但综合性很强.

题型五：动点问题

11.已知在△044中，NO4B=9。。,AO=AB,08=4,过点。作直线/_L08,点P为直线上一点，连

接BP,作PD上PB交直线I于点D.

备用图1备用图2

（1）皿图，当尸在线段上时.

①:没/ABP=a,那么/尸.（用含。的代数式表示）.

②求证：PD=PB；

（2）设点。到直线08的距离为〃?，当△OP。的面积为4时，请直接写出小的值.

【答案】⑴①45。一。；②见解析

⑵1+括或-1+石

【分析】（1）①根据等边对等角可求出乙408=/8=45。，根据余角的性质可得出/。尸。=/480=。,然

后在朋中，根据三角形内角和定理求解即可；

②在”上取点R,使4?=/0，联结依，根据ASA证明尸DAR4P,即可得证；

（2）分夕在线段。1上，在点力的右侧，在点0的左侧讨论，根据△。尸。的面积为4列出关厂〃?的方程，

求解即可.

【详解】（1）①解:•••NO44=90。,AO=AB,

；ZOB=/B=45。,

•••PDA.PB,

ZOPD=90°-/APB=NABP=a,

-HOB,

二/PDO=180°-NDOP-ZOPD=180°-90°-45。一a=45。一a,

故答案为：45。—a；

②在4B上取点R,使4?=力0，联结PR,

/.ZAPR=/ARP=45u,

.•.NBA。=135。，

又ADOP=NDOB+NAOB=135°.

:./BRP=4D0P,

vAO=AB,AR—AP,

:.OP=BR,

由①知：NOPD=/ABP、

.•.△OPDGARBP(ASA),

•••PD=PB；

（2）解：当夕在线段可上，过P作尸。于-0,

vZPJ2=45°,

：.NOPQ=45°=NPOQ,

：.OQ=PQ=m,

OP=\/2m»

-ZOAB=90°,AO=AB,08=4,

­-AO=—OB=2y[2,

2

，AP=AR=26-®m，

:.PR=4-2m,

由(I)知：AOPDARBP,

又△a>Q的面积为4,

S,RBP=gPRP。=4,即:(4一2加)-zn=4,

ttf-2/w+4=0>

••.△=(-2)2-4X4=-12<0,

•••方程无解，

在线段CM上，不存在点P,使△OPQ的面积为4：

点P在点力的右侧，过尸作尸。于。，在胡的延长线上取点心使力&=力尸，联结力?,

又LAUD=9U0-45°=45°,

:.NDOP=/R,

vAO=AB,AR=AP,

：.OP=BR,

又tDPO=ZAOP=90°-NAPB,

.•.△OPD⑶RBP（ASA）,

=

S、RBP~S^ODP4♦

同理可求AP=AR=OP-AO=y/lrn-272，

PQ=2m-4,

,•.^（27M-4）W=4,

解得见=1+石，ni2=i-V5（舍去），

点P在点。的左侧，过夕作尸。「。，在48的延长线上取点??,使/火=/。，联结H?，

S'RBP=SgDP=4,

同理可求AP=AR=OP+AO=Cm+2五，

.-.PQ=2m+4,

：.—（2ni+4）-ni=4,

解得网=-1+石,m2--\-y[s[舍去）,

综上，当"?的值为1+百或-1+*时，△。尸。的面积为4.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解一元二次方程，勾股定理等知识，

明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论，构造全等三角形是解题的关键.

12.如图①，在RtZ\/l8C中，Z5=90°,48=12cm,5C=I6cm.4C=20cm,现有一动点P,从点力出发,

沿着三角形的边/8-8C-以运动，回到点力停止，速度为2cm/s,设运动时间为/秒.

⑴如图①当"时，△力PC的面积等于48cm2；

（2）如图①，当△/出尸是等腰三角形时，则符合条件的尸有个，并求出/的值；（求出3个即可）

（3）如图②，点。在8C边上CQ=4AC,点£在力。边上ED1BC,在△4?。的边上，若另外

有一个动点。与点夕同时从点力出发，沿着边力CrCBf运动，回到点力停止.在两点运动过程中的

某一时刻，恰好△力尸。与△EQC全等，求点。的运动速度.

【答案】（1）3或10

(2)4个，Z的值为12或彳或18或19

_10,6,90,86,

(3)—cm/s,—cm/s,—cm/s,—cm/s

354345

【分析】⑴由题意知，AP=2l,分当P在48上，点P在4C上，两种情况求解：情况一、当P在上

时，则S“pc=g力尸x6C=；x2”16=48,计算求解即可；情况二、当点尸在8c上，

PC=AB+BC-2t=2S-2t,贝ljS”收=；0Cx；x(282/)xl2=48,计算求解即可；

(2)由是等腰三角形，可知分当AB=BP,AB=AP,BP=AP,三种情况求解：情况1：当

AB=BP,且点P在上时，BP=2t-\2,则2-12=12,计算求解即可；当AB=BP,且点P在力。卜.

时，JP=12+16+20-2r=48-2r,如图①，作8HJ.4C丁，，则力尸=2/4，由

S“BC=9BXBC=GACXBH,求得比=善，由勾股定理得，AH=^AB2-BH2=^,则%尸=1，根

72

据48-2/=M，计算求解即可；情况2：当/8=/乙则48-2/=12,计算求解即可；情况3：当BP=AP

时，如图②，过户作尸