直线与圆锥曲线的位置关系（练习）-2025-2026学年高二数学上册人教B版选择性必修第一册

直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分.

1.已知直线/：x+y-3=。，椭圆工+）/=i,则直线与椭圆的位置关系是（）

4

A.用交B.相切C.相离D.相切或相交

2.直线/过抛物线C:y2=2px（〃>0）的焦点，且与C交于4B两点,若使|A同=2的直线

/恰有2条，则〃的取值范围为（）

A.0<p<lB.0<p<2C.p>lD.〃>2

3.直线/过点（正,0）且与双曲线f—）?=2仅有一个公共点，则这样的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

4.若P为抛物线y=4/上的动点，F为该抛物线的焦点，则|尸目的最小值为（）.

A.2B.lC.-

8

5.直线y=x+l被椭圆二十上=1所截得弦的中点坐标为]

)

42

'25、（47、（2M

A.—B.C.

v33y\33JV33/

6.抛物线的焦点为凡点P为抛物线上的动点，点M为其准线/上的动点，当AFPM为

等边三角形时，其面积为（）

A.2百B.4C.6D.4百

h2

7.直线y=-x+3与双曲线二一上=1（。>0,h>0）的交点个数是（）

aa~b~

A.lB.2C.l或2D.O

22

以已知直线>=^+l（%£R）与焦点在X轴上的椭圆工+:=IS>O）总有公共点，则实数〃的取

4b~

值范围是（）

A.1L2）B.（l,+oo）C.[1,-HO）D.U,2）

9.若直线〃比+小，=4和圆O：/+丁=4没有交点，则过点P（〃z,〃）的直线与椭圆工+工=1的交

94

点个数为（）

A.2B.lC.OD.0或1

10.（多选）已知直线/：），=2"3被椭圆C：E+1=1（心〃>0）截得的弦长为7,则下列直线中被

a~b~

椭圆C截得的弦长一定为7的有（）

A.y=2x-3B.y=2x+IC.y=-2x-3D.y=-2x+3

二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分.

11.直线/过定点（2,1）,且与双曲线J-y2=l有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数

为.

12.直线履+），-2=。与椭圆上+反=1恒有公共点，则实数机的取值范围是________.

6in

13.斜率为1的直线/经过抛物线），2=8x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，如线段A3的

长为.

22

14.过椭圆工十二=1内一点/（2,1）引一条弦，使弦被点加平分，则这条弦所在的直线方程为

164

三、解答题：本题共1小题，共16分.

22

15.己知双曲线」--------=1（1<w<5）的一个焦点与抛物线C：./=2px（p>0）的焦点重合.

5-mm-1

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线/：x=）+8交抛物线C于A,B两点,。为原点，求证：以为直径的圆经过原

点。.

参考答案

1.答案：c

x+y-3=02

解析：由，f,得工+（3-X）2=I,化简得5/—24X+32=0,

——+=14

4-

因为△=24?-4x5x32=—64<0,

所以方程无解，

所以直线与椭圆的位置关系是相离，

故选：C.

2.答案：A

/\

解析：当A3垂直于x轴时，A,3两点坐标为土P,此时|44①=2〃<2,所以

故选：A.

3.答案：C

解圻：根据双曲线方程可知，点（血,0）即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线

平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共

点.故过点（加,0）且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条.

4.答案：D

解析：由抛物线的性质知，焦点到抛物线上一点距离最小的点为抛物线顶点，而V=2py=：,

4

得〃二，所以|叩的最小值为q=二.

o216

故选：D.

5.答案：C

解析：设直线与椭圆的交点为A（x，yj,8优,力）

它们的中点为MC%,%）,

则E+K=|,*+*=1,

4242

两式相减得到（,一.）（内十⑴+（'「"心+上）=0,

42

故与+空处=0即a+2%=0,又为=x°+1,

IL

故工。=-22，1所以中点坐标为（一2个1、..

故选：C.

6.答案：D

解析：如图，因为△/"尸河是等边三角形，所以|/^|-|〃"|-|八”|,由抛物线的定义知9_L/.

在R3MQF中，|Q用=2,NQMF=30。,所以|加臼=4,所以=@x4?=46.故选D.

）2Ur

解析：双曲线二-5=1的渐近线方程为产土与，因为直线），=与+3与双曲线的一条渐近

ah-aa

线平行，且在），轴上的截距为3,所以直线），=2尹3与双曲线£-±二1的交点个数是1.故选

aa~b~

A.

8.答案：D

解析：由题意，知直线y=^+i（A£R）恒过定点”（0,1）,要使直线），="+1与椭圆

[+，=1S>O）总有公共点，则只需点在椭圆上或椭圆内，则Q1,艮J。"因为

从<4,所以10<2.故选D.

9.答案：A

42222

解析：由题意，得/,,>2,所以,〃2+〃2<4,则竺+工工也+工<1,所以点尸（九〃）在

y/m2+n29444

椭圆工+f=1内，则过点P（〃z，〃）的直线与椭圆工+£=1有2个交点.故选A.

9494

10.答案：ACD

解析：直线），=2x-3与直线/关于原点对称，直线），=-21-3与直线/关于x轴对称，直线

），=-2x+3与直线/关于），轴对称，因此A、C、D中的直线被椭圆。截得的弦长一定为7,而

直线），=2x+l被椭圆C截得的弦长大于7.故选ACD.

1L答案：2

解析：因为点（2,1）在渐近线上，所以这样的不同直线/的条数为2,一条与渐近线平行，另外

一条（此时斜率不存在）与双曲线相切.

12.答案：［4,6）U（6,+oo）

解析：直线方程可化为）』-爪+2,故该直线恒过定点（0,2）,

因为直线丘+）-2=0与椭圆二=1恒有公共点，

6m

因1

in

则点（0,2）在椭圆内或椭圆上，所以，解得加之4且〃?工6,

m手6

所以，实数，〃的取值范围是［4,6）36,y）.

故答案为：［4,6）U（6,E）.

13.答案：16

解析：因为过抛物线V=8x的焦点*2,0）,斜率为1,

所以直线的方程为工=》+2,

则联立直线与抛物线方程

「7得至八2一8），-16=0,

［x=y+2

令A（5,y）,8（孙必）

则，+必=8,乂%=-16,

2=

代入弦长公式^l+p-J(7+y2)-4y%&,J64+64=16.

故答案为：16.

14.答案：x+2y-4=0

解析：设直线与椭圆的交点为A（XJ）.与仇.）.因为为相的中点.所以％+9=4・

乂+必=2.又A,B两点在椭圆上，所以x：+4y：=16,考+”；=16,两式相减得

华一片)+4