2025-2026学年山西省忻州市神池县八年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省忻州市神池县八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若分式有意义，则x的取值范围是（）A.x=-1 B.x≠-1 C.x=0 D.x≠02.山西的窗格文化是地域文化的重要组成部分，它将建筑艺术、民俗风情与审美观念融为一体，具有丰富的内涵，下列窗格图案是轴对称图形的是（）A. B.

C. D.3.下列计算正确的是（）A.a2•a3=a6 B.（-2a）3=-6a3 C.（a2）3=a5 D.a3÷（-a）=-a24.水是生命之源，在人类的生产生活中起着不可替代的作用.已知20滴水的质量为1g,那么1滴水的质量用科学记数法可以表示为（）A.5×10-5kg B.5×105kg C.5×10-6kg D.2×10-6kg5.多项式a2-4a因式分解的结果是（）A.a（a2-4） B.a（a-4）（a+4）

C.a（a-2）（a+2） D.（a-4）（a+4）6.△ABC和△BCD按如图方式放置，AC与BD交于点E.若AC=BD，AB=CD，∠DBC=40°，∠A=70°，则∠DCA的度数为（）A.20°

B.30°

C.40°

D.50°7.分式方程的解为（）A.x=2 B.x=-1 C.x=-2 D.x=-48.如图，在△ABC中，AB=AC，E为BA延长线上一点，∠EAC的平分线与∠EBC的平分线交于点D，连接DC.若∠BAC=70°，则∠ADC的度数为（）A.55°

B.62.5°

C.65°

D.70°9.过年回家对中国人而言，是刻在骨子里的文化执念与情感刚需，核心意义在于阖家团圆与辞旧迎新的仪式感.放寒假后，小陈爸爸驾驶汽车开往距离出发地300km的爷爷家，出发后的前1h按原计划的速度匀速行驶，1h后按原来速度的1.2倍匀速行驶，并比原计划提前0.5h到达爷爷家，若设前1h的行驶速度为xkm/h,则根据题意，可列方程为（）A. B.

C. D.10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边上的一点，连接AD，过点A作AD的垂线，过点C作BC的垂线，两条垂线交于点E.已知△ADC的面积为12，BC=12，则CE的长为（）A.4

B.6

C.8

D.10二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.分解因式：2a2+4a+2=______．12.化简的结果是

.13.如图，有一张三角形纸片ABC，其中∠BAC=90°.将该纸片沿EF剪开，得到一张四边形纸片EFCB，则∠1+∠2的度数为

.

14.以非遗为钥，启乡村共富之门，某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包.甲工作组每天比乙工作组多做5个，甲工作组做80个所用的时间与乙工作组做60个所用的时间相等，若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为

.15.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD.将△ACD沿CD折叠，得到△A'CD，点A的对应点是A'，连接A′B.若∠ACD=30°，∠CAB=20°，则∠A'BD的度数为

.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

（1）计算：（3a-2b）2-（3a+b）（3a-b）；

（2）化简：.17.(本小题8分)

下面是小王同学在黑板上解分式方程的部分过程，请你认真阅读，并解决老师提出的问题.解分式方程：

解：第一步

2x-1=3（x-1）-6（x+2）第二步

2x-1=3x-3-6x+12第三步

…问题解决：

（1）以上解方程的过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是______；

（2）请写出解该分式方程的正确过程.18.(本小题7分)

如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD，连接DE.判断△BDE的形状，并说明理由.19.(本小题9分)

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D.

（1）尺规作图：在AC的延长线上找一点E，使∠AED=∠B，连接ED并延长，交AB于点F；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

（2）猜想DF与DC有怎样的数量关系，并说明理由.20.(本小题8分)

2025太原首届航空航天展期间，某商家计划购进歼-20和运-20模型进行销售，已知一个歼-20模型的进价比一个运-20模型的进价贵10元，且用2000元购进歼-20模型的数量与用1600元购进运-20模型的数量相同.求这两种模型的进价分别是多少元.21.(本小题9分)

下面为“科技闪耀”数学兴趣小组在完成项目式学习“测量公路弯道改直后的长度”之后撰写的项目报告，根据报告内容完成相应任务.项目主题测量公路弯道改直后的长度项目背景某地一段绕山公路，由于弯度较大、易发生交通事故、“科技闪耀”数学兴趣小组拟设计并向市政部门提出改造方需——将这段弯道公路改直，于是在弯道两端确定两点A、B，作为改直部分的起点与终点.为顺利完成设计，需实地测量AB的长度，但由于受地势限制，无法直接测量.驱动问题如何利用数学知识或数学原理测量公路弯道改直后的长度？测量方案测量步骤：

1.升空无人机到达C处，此时可直接看见A，B两点；

2.用激光测距仪分别测量C处到A和B的距离，用测角仪测量C处现察点A的俯角（水平线与视线的夹角）∠1，并测量观察A，B两点的视角∠ACB；

3.沿CD方向（与AB平行）以6m/s的速度匀速飞行35s.到达D处，继续用激光测距仪测量D处到A的距离，用测角仪测量D处观察点A的俯角∠2.

说明：点C，D、E在同一条直线上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内.记录数据CB=105m,CA=146m,DA=105m,∠1=40.3°，∠ACB=45.7°，∠2=86°……任务：

（1）图中△ABC与△ADC全等吗？若全等，请予以证明；若不全等，请说明理由；

（2）请计算AB的长度.22.(本小题11分)

阅读与思考

下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务.乘法公式的拓展——”连续自然数乘积”的规律与应用

观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积：1×2×3=6；2×3×4=24；3×4×5=60；…

如果将中间的数记为n,n为整数且n＞1，那么三个连续自然数可以表示为n-1，n,n+1，它们的乘积可记为P=（n-1）•n•（n+1）.

规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积：

P=（n-1）•n•（n+1）第一步

=[（n-1）•（n+1）]•n第二步

=（n2-1）•n第三步

=n3-n第四步

归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即（n-1）•n•（n+1）=n3-n（n为整数且n＞1）.任务：

（1）“规律探究”中，第二步到第三步运用了______公式；

（2）利用材料中发现的规律计算19×20×21的值（写出必要的过程）；

（3）请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为m,且m＞2）的乘积的规律.23.(本小题13分)

综合与探究

问题情境：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点O是BC的中点，点D是射线BA上的一个动点，连接OD，过点O作OD的垂线，交直线AC于点E.

独立思考：

（1）当OD⊥AB时，善思小组的同学认为点D是AB的中点，请你判断善思小组的观点是否正确，并说明理由；

猜想证明：

（2）如图2，当点D在线段AB上时，判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；

拓展延伸：

（3）若∠EOC=15°，请直接写出∠BDO的度数.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】2（a+1）2

12.【答案】1

13.【答案】270°

14.【答案】

15.【答案】50°

16.【答案】5b2-12ab

17.【答案】三;括号前面是“-”，去括号后，第二个括号内的第二项没有变号

，

2x-1=3（x-1）-6（x+2），

2x-1=3x-3-6x-12，

2x-3x+6x=1-3-12，

5x=-14，

解得：，

检验：当时，3（x+2）≠0，

∴原分式方程的解为

18.【答案】△BDE的形状是等腰三角形，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，BD是中线，

∴BD⊥AC，∠ACB=60°，

∴∠BDC=90°，

∴∠DBC=90°-∠ACB=30°，

又∵CD=CE，∠ACB=60°，

∴∠CDE+∠E=60°，∠E=∠CDE，

∴∠E=∠CDE=30°，

∴∠E=∠DBE，

∴BD=DE．

∴△BDE的形状是等腰三角形．

19.【答案】图形如图所示；

结论：DF=DC．

理由：由作图可知AB=AE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAB=∠DAE，

∵AD=AD，

∴△DAB≌△DAE（SAS），

∴DB=DE，∠B=∠E，

∵∠BDF=∠EDC，

∴△DFB≌△DCE（ASA），

∴DF=DC

20.【答案】一个歼-20模型的进价是50元，一个运-20模型的进价是40元．

21.【答案】△ABC≌△CDA．

证明：∵AB∥CD，

∴∠1=∠CAB．

∵∠1=40.3°，∠ACB=45.7°，∠2=86°，

∴∠BCD=∠1+∠ACB=40.3°+45.7°=86°，

∴∠2=∠BCD，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB．

在△ABC和△CDA中，

，

∴△ABC≌△CDA（ASA）

210m

22.【答案】平方差

7980

m3-4m

23.【答案】善思小组的观点正确；理由如下：

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

又∵点O是BC的中点，

∴，

∴∠B=∠BAO=45°，

∴OA=OB，

∵OD⊥AB，