福建省厦门市第九中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年福建省厦门九中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.已知⊙O的半径为3，点P在⊙O内，则OP的长可能是(

)A.5 B.4 C.3 D.23.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，点B的对应点是D.下列角中，是旋转角的是(

)A.∠BCA

B.∠ACE

C.∠ACD

D.∠BCE4.如图，点A，B，C，D在⊙O上，则图中一定与∠ABC相等的角是(

)A.∠BAD

B.∠ACD

C.∠BCD

D.∠ADC5.若一元二次方程x2−2x+a=0的一个根为1，则a的值为(

)A.1 B.−1 C.2 D.−26.某厂家2025年1到5月份的鞋子产量统计如图所示.设从1月份到3月份，该厂家鞋子产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程(

)A.137(1−x)2=368 B.137(1−x)2=4617.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P对应的读数为37∘，则∠CBD的度数是(

)A.53 B.43∘ C.37∘ 8.如图，在△ABC中，∠BAC=135∘，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是(

)A.△ABC≌△DEC B.∠ADC=45∘

C.AD=9.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是(

)A.15

B.12

C.10

D.810.已知抛物线y=ax2+bx+c+1经过点A(2,c+1),B(12,2c),C(2,c)中的两点，且当y>c时，xA.a>0 B.2a<−b C.−2<m<−1 D.c>1二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.在平面直角坐标系中，点(−2,4)关于原点对称的点的坐标为______.12.二次函数y=(x−1)2−2的对称轴是直线

13.若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根，则c14.如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，∠C=135∘，AD=2，则AB=

.

15.对于二次函数y=ax2和y=bx2，其自变量和函数值的两组对应值如表所示，根据二次函数的相关性质，可求出x−1m(m≠−1)y=accy=bc+4d16.如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2，点D，E分别为AB，AC的中点，点F为BC边上任意一点(不与B，C重合)，沿DE，DF剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转180∘，恰好与①拼成四边形GDIH，则四边形GDIH周长的最小值为

.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解方程：x218.(本小题8分)

如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N在BD上，且BM=DN，求证：AM=CN.19.(本小题8分)

先化简，再求值：(1−3m+120.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠A=22.5∘，∠B=45∘.

(1)求作：⊙O，使得圆心O落在AB边上，且⊙O经过A、C两点.(尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；

(2)在(1)的条件下，判断直线BC与21.(本小题8分)

已知关于x的方程x2−(2m+1)x+12m2+m=0.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的一个根为22.(本小题10分)

如图，△BDE是△ABC在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，且点D在边BC上，点C的对应点为点E，连接CE，若CE//AB.

(1)求证：∠ABC=60∘；

(2)若DC=2,AC=19，求AB23.(本小题10分)

综合与实践

【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某数学小组针对某次演出，

研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系.

【研究条件】

①条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足排队人数=现场总人数-已入场人数；

②条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.

【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，

现场总人数y与安检时间x之间满足关系式y=−x2+60x+100(0≤x≤30).

结合上述信息，请完成下述问题：

(1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______.

【模型应用】

(2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？

(3)已知该演出主办方要求：

①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少；

②尽量少安排安检通道，以节省开支.

24.(本小题12分)

已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(4,0).

(1)若抛物线还经过点(−1,5)，求出该抛物线的解析式；

(2)当a=1时，若点P在第一象限，且点P为抛物线y=ax2+bx对称轴上一点，记原点为O，连接OP，将线段OP绕点P顺时针旋转90∘使点O的对应点M恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；

(3)点A(x1,y1)和B(x2,y2)25.(本小题14分)

如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，AD=AC.

(1)如图1，设∠OAC=α，连接OC，求∠BAD(用含α的代数式表示)；

(2)如图2，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F，连接CF.求证：BD=CF；

(3)如图3，在(2)的条件下，作∠ABC的平分线交AO于点G，若BG=2AG，OG=1，求⊙O的半径.参考答案一．选择题1.B

2.D

3.B

4.D

5.A

6.C

7.C

8.D

9.C

10.D

二、填空题11.(2,−4)

12.x=1

13.c≥0

14.215.4

16.5三、解答题17.解：∵a=1，b=−1，c=−4，

∴△=(−1)2−4×1×(−4)=17>0，

18.证明：法一：在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，

∵BM=DN，

∴OM=ON，

∵∠AOM=∠CON，

∴△AOM≌△CON(SAS)，

∴AM=CN.

法二：连接CM、AN，

在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，

∵BM=DN，

∴OM=ON，

∴四边形AMCN是平行四边形，

∴AM=CN.

19.解：原式=(m+1m+1−3m+1)÷(m−2)23(m+1)

=m−2m+120.解：(1)如图，⊙O为所作；

(2)直线BC与⊙O相切．

理由如下：

连接OC，如图，

∵∠BOC=2∠A=2×22.5∘=45∘，

而∠B=45∘.

∴∠OCB=180∘−45∘−45∘=90∘，

∴OC⊥BC，

∵OC为⊙O的半径，

∴OC为⊙O的切线．

21.(1)证明：a=1，b=−(2m+1)，c=12m2+m，

∴Δ=[−(2m+1)]2−4×1×(12m2+m)

=4m2+4m+1−2m2−4m

=4m2−2m2+4m−4m+1

=2m2+1>0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

(2)把x=2代入x2−(2m+1)x+12m2+m=0得：

4−2(2m+1)+12m2+m=0，

4−4m−2+12m2+m=0，

12m2−3m+2=0，

m2−6m+4=0，

∴(m+1)(m−1)−6m+5

=m2−1−6m+5

=m2−6m+4

=0.

22.(1)证明：∵△BDE是△ABC在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，

∴BE=BC，∠ABC=∠CBE，

∵CE//AB.

∴∠ABC=∠BCE，

∴∠EBC=∠CBE，

∴BE=CE，

∴BE=CE=BC，

∴△BCE是等边三角形，

∴∠CBE=60∘，

∴∠ABC=∠CBE=60∘；

(2)解：过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC=∠DHE=90∘，

∵△BCE是等边三角形，

∴BC=CE，∠DCH=60∘，

∴∠CDH=30∘，

∴CH=12CD=1，

∴DH=CD2−CH2=3，

∵△BDE是△ABC在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，

∴AB=BD，DE=AC=19，

∴EH=DE2−DH2=4，

∴BC=CE=CH+HE=5，

∴BD=BC−CD=5−2=3，

∴AB=BD=3.

23.解：(1)若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为(用x表示)18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w=y−18x=−x2+42x+100；

故答案为：18x，w=−x2+42x+100；

(2)w=−x2+42x+100=−(x−21)2+541，

∴当x=21时，Wmax=541；

答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人；

(3)设开了m条通道，

∴w=y−6mx=−x2+60x+100−6mx=−x2+6(10−m)x+100，

∴对称轴为x=3(10−m)，

∵排队人数10分钟(包括10分钟)内减少，

∴0≤3(10−m)≤10.

∴203≤m≤10.

又∵最多开通9条，

∴203≤m≤9.

∵m为正整数，

∴m最小值为7，

∴最少开7条通道．

24.解：(1)把(4,0)，(−1,5)代入y=ax2+bx得：16a+4b=0a−b=5，

解得：a=1b=−4，

∴该抛物线的解析式为y=x2−4x；

(2)过M作对称轴直线的垂线，垂足为K，设对称轴直线交x轴于T，如图：

∵抛物线y=ax2+bx经过点(4,0)，a=1，

∴16a+4b=0a=1，

解得a=1b=−4，

∴y=x2−4x=(x−2)2−4，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

设P(2,p)，

由旋转可知，∠OPM=90∘，OP=MP，

∴∠MPK=90∘−∠OPT=∠POT，

∵∠MKP=90∘=∠PTO，

∴△MKP≌△PTO(AAS)，

∴PK=OT=2，MK=PT=p，

∴M(2−p,p+2)，

∵M恰好落在抛物线上，

∴p+2=(2−p)2−4(2−p)，

解得p=3或p=−2(舍去)，

∴点P的坐标为(2,3)；

(3)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(4,0)，

∴16a+4b=0，

∴b=−4a，

∴y=ax2−4ax，

∵A(x1,y1)和B(x2,y2)分别在抛物线y=ax2−4ax和y=x2−2x上，

∴y1=ax12−4ax1，y2=x22−2x2，

∵y2y1=x2x1，

∴x22−2x2ax12−4ax1=x2x1，

∵A，B与原点都不重合，

∴x1≠0，x2≠0，

∴x2−2ax1−4a=1，

∴x2=ax1−4a+2，

∴x2x1=ax1−