2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第07讲 正切函数的图像与性质 （解析版）

第07讲正切函数的图像与性质内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：正切函数的图像1.正切函数的定义概念：函数，定义域为，对应关系是“角（弧度制）→单位圆中角终边与正切线的交点纵坐标”。易错辨析易错点：忽略正切函数的定义域限制辨析：正切函数在（）处无定义，这些点是函数的间断点，画图时需用虚线标注.概念比较与正弦/余弦函数定义域比较：正弦、余弦函数定义域为，但正切函数因，需满足，故定义域是间断的区间.重点记忆+常考结论重点记忆：正切函数定义域是（）.常考结论：若有意义，则不能取的奇数倍.知识点2：画出正切函数图象画图方法：1.取一个周期内（如）的关键点：（）、（）、（）；2.正切函数图象是无限接近渐近线的单调递增曲线（称为“正切曲线”）；3.利用周期性（周期），将内的图象向左右平移（），得到整个定义域内的图象.易错辨析易错点：将正切曲线画成连续曲线辨析：正切函数在处无定义，图象在这些点处“断开”，需用虚线（渐近线）分隔不同周期的图象.概念比较与正弦/余弦曲线比较：正弦、余弦曲线是连续的周期性曲线，而正切曲线是间断的、以为周期的单调递增曲线，且无最大值、最小值.重点记忆+常考结论重点记忆：正切曲线在每个周期（）内是“从递增到”的曲线，渐近线为.常考结论：正切曲线的一个周期区间是开区间（因端点无定义）.知识点3：正切函数图象的应用核心应用：通过图象直观判断正切函数的单调性、值域、间断点等性质.易错辨析易错点：认为正切函数在整个定义域内是单调递增函数辨析：正切函数在每个周期区间内单调递增，但在整个定义域内不单调（如，，不满足“自变量大则函数值大”）.重点记忆正切图象的核心特征：“间断、渐近线、周期、区间内单调递增”.知识点4：正切函数的性质1.单调性（1）求含的函数的单调性正切函数的单调性：在每个周期区间（）内单调递增.（2）求正切型三角函数的单调性正切型函数：（），单调性由的符号决定：当时，单调递增区间为，解得（）；当时，单调递减区间为上述区间（因会反转单调性）.（3）利用正切函数的单调性求参数方法：根据单调区间的包含关系，结合正切函数的区间单调性列不等式求解.易错辨析易错点1：解正切型函数单调区间时，忽略区间是“开区间”辨析：正切函数在端点处无定义，故单调区间必须是开区间，不能写闭区间.易错点2：时未反转单调性辨析：若，需先化为，此时函数的单调递减区间对应的单调递增区间.概念比较与正弦/余弦函数单调性比较：正弦、余弦函数有增有减，而正切函数在每个周期区间内只有递增；且正切函数的单调区间长度为，远小于正弦/余弦函数的单调区间长度（vs）.重点记忆+常考结论重点记忆：正切函数的单调区间是（），开区间、单调递增.常考结论：正切型函数的单调区间长度为.2.比较正切值的大小方法：利用周期性将角转化到同一周期区间内，再根据单调性比较（同一递增区间内，角越大，正切值越大）.易错辨析易错点：直接比较不同周期内的角的正切值辨析：需先利用（）将角转化到同一周期，再比较.例如：比较与，先将，因，故.重点记忆比较正切值的步骤：“化同周期→利用单调性比较”.3.解正切不等式方法：先解一个周期内的不等式（如），再利用周期性加（）.易错辨析易错点：解不等式时写成闭区间辨析：正切函数在端点处无定义，故不等式的解集必须是开区间.例如：解，一个周期内的解是，故解集为（）.常考结论解正切不等式的核心：“先求一个周期的解，再加周期”.4.奇偶性（1）求正切（型）函数的奇偶性正切函数的奇偶性：，故是奇函数，图象关于原点对称.正切型函数的奇偶性：为奇函数的充要条件是（）（需定义域关于原点对称）.（2）由正切（型）函数的奇偶性求参数/函数值方法：利用奇偶性定义（）列方程求解参数；利用奇函数性质求函数值.易错辨析易错点：忽略定义域关于原点对称的前提辨析：若正切型函数的定义域不关于原点对称，即使满足，也不是奇函数.例如：定义域限制为时，不是奇函数.概念比较与余弦函数奇偶性比较：余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数；正切型函数的奇偶性仅与有关（时为奇函数），而余弦型函数的奇偶性与有关（偶函数）.重点记忆+常考结论重点记忆：正切函数是奇函数，核心式.常考结论：若是奇函数，则（）.5.周期性（1）求正切（型）函数的周期正切函数的周期：最小正周期为（因）.正切型函数的周期：的最小正周期为（与无关）.（2）由正切函数的周期求值方法：利用周期性（），将大角转化为小角求值.易错辨析易错点：混淆正切与正弦/余弦函数的周期公式辨析：正切函数的周期公式是，而正弦/余弦函数的周期公式是，两者分母的系数不同.重点记忆+常考结论重点记忆：正切函数的最小正周期是，正切型函数周期为.常考结论：若，则其周期为.【题型1作正切函数图像】例1．（24-25高一·上海·随堂练习）求函数y=tan【答案】答案见解析【分析】由x≥0和x<0去掉x上的绝对值符号，可得函数的定义域与值域；当x≥0时，函数在y轴右侧的图像即为y=tanx的图像不变，当x<0时，函数在y轴左侧的图像为y=tanx在【详解】由已知，设f(x)=tan|x|=tan可知，函数的定义域为：{x|x∈R,且当x≥0时，函数y=tan|x|在y轴右侧的图像即为当x<0时，y=tan|x|在y轴左侧的图像为y=tanx在例2．（23-24高一·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=sinx和y=tan(1)写出这两个函数图象的交点坐标；(2)写出使tanx>sinx(3)写出使tanx=sinx(4)写出使tanx<sinx(5)写出使这两个函数有相同的单调性的区间．【答案】(1)(0,0),(π(2)(0,π(3){0,π(4)(π(5)(0,π2)【分析】（1）（2）（3）（4）（5）在同一坐标系内作出两个函数的图象，再依次求出对应问题即可.【详解】（1）在同一坐标系内，作出函数y=sinx和y=tan

由图象知，两个函数的交点坐标为(0,0),(π（2）由图象知，当0<x<π2或π<x<所以使tanx>sinx成立的x（3）由图象知，当x=0或x=π或x=2π时，所以使tanx=sinx成立的x（4）由图象知，当π2<x<π或3所以使tanx<sinx成立的x（5）由图象知，当0<x<π2时，两个函数都为增函数，当所以使这两个函数有相同的单调性的区间是(0,π2)变式1．（23-24高一·全国·课堂例题）画出函数y=2tan12【答案】答案见解析【分析】根据五点作图法画图即可.【详解】令12x−π4=π2又x∈[0,2π]，所以直线当x=0时，y=2tan当x=π2时，当x=π时，y=2当x=2π时，y=2描点(0,−2)，π2,0，(π,2)，

变式2．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当x∈0,π2∪πA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】函数f(x)=|cosx|−|tanx|，其零点就是方程作出y=|cosx|与y=|tanx|在给定区间【详解】由f(x)=cosx−作出y=cosx，y=tan

由图可知，两函数的图象的交点有4个，则曲线f(x)=cosx−故选：C．【题型2正切函数图像的应用】例1．（24-25高一下·上海·期中）函数f(x)=tan(ωx−π3)(ω>0)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为【答案】3【分析】根据阴影面积得出ω，再结合诱导公式求出函数值.【详解】函数f(x)=tan(ωx−π由图可知，πω×3=6π所以f(1948故答案为：3例2．（23-24高一·上海·课堂例题）定义在区间0,π2上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作垂直于x轴的垂线PP1，其垂足为P1【答案】2【分析】作出函数y=6cosx，y=5tanx，y=sinx的图象，将线段P1【详解】由题意知，函数y=6cosx，y=5tan由正弦线的定义知，线段P1P2且其中x满足6变形为6cos即6sin∵x∈0,∴sinx=23，即线段变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）根据条件，求下列方程的解集．(1)cosx+π4(2)3tanx+π(3)2sin2x−1=0，【答案】(1)x∈(2)x∈(3)x∈【分析】根据题意，由特殊角的三角函数值，结合三角函数的周期性，代入计算，即可求解.【详解】（1）由题意得x+π4=2kπ+∴xx=2kπ+∵x∈0,2π（2）由题意得x+π3=∴xx=−∵x∈0,π，∴（3）由题意得2x=π6+2kπ或∴xx=π12∵x∈0,π2变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数y=tanωx+π12ω>0图像中的两条相邻“平行曲线”与直线y=2024相交于A、B两点，且AB=πA．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据已知条件得π2=πω，求出ω，即可判断①；令tan2x+【详解】依题意得π2=π所以y=tan令tan2x+π12=0，得2x+π12=k由0≤kπ2−π所以整数k的值有4048个，函数在0,2024π故选：D.【点睛】关键点点睛：根据AB为函数的一个周期，求出ω是解决本题的关键.【题型3正切函数的单调性】例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数y=tanπ2【答案】−【分析】利用−π【详解】由−π2+k所以函数y=tanπ2故答案为：−3例2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数y=tan(−3x+πA．[kπ−π3,kπ+π3C．[kπ3−π9,kπ【答案】D【分析】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出；【详解】y=tan令kπ−1解得kπ所以函数y=tan(−3x+π6)故选：D.变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数y=tanωx在−π2,A．0<ω≤1 B．−1≤ω<0 C．ω≥1 D．ω≤−1【答案】B【分析】根据题意得到ω<0，π2【详解】因为函数y=tanωx在所以ω<0，π2ω<ωx<−ππ2故选：B.变式2．（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间：(1)y=3tan(2)y=tan【答案】(1)单调递增区间为2kπ−3(2)单调递减区间为−π9+【分析】（1）直接根据正切函数的性质计算可得；（2）首先利用诱导公式将函数化简，再结合正切函数的性质计算可得.【详解】（1）由题意得−π2+k解得2kπ所以函数的单调递增区间为2kπ−3（2）y=tan由题意得−π2+k解得−π所以函数的单调递减区间为−π9+【题型4比较正切值的大小】例1．（24-25高一上·上海·课后作业）若a=log12tan70∘，b=log【答案】a<c<b【分析】利用三角函数的单调性可得答案.【详解】∵0<sin∴log12sin25∘故答案为：a<c<b.变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较tan65π【答案】tan6【分析】根据诱导公式结合正切函数的单调性即可得解.【详解】tan6tan−∵−π2<π7∴tanπ7<【题型5求正切型函数的奇偶性】例1．（23-24高一下·上海·期中）函数y=tanx是（A．最小正周期为π2B．最小正周期为π2C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数【答案】C【分析】根据正切函数的性质判断即可.【详解】函数y=tanx为最小正周期为故选：C例2．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：(1)y=tan(2)y=tan(3)y=1(4)y=tan【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)偶函数，理由见解析(3)奇函数，理由见解析(4)偶函数，理由见解析【分析】根据函数奇偶性以及正切函数的知识求得正确答案.【详解】（1）y=tan设fx=tan2x，由所以fx的定义域为x|x≠f−x所以fx（2）y=tan设hx=tanx，则h−x所以hx（3）y=1设gx=1tanxg−x所以gx（4）y=tan设mx=tanxxm−x所以mx变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）函数fx=lg【答案】奇函数【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断.【详解】由tanx+1tanx−1>0，得∴函数定义域为(kπ−π2,kπ−又f(−x)+f(x)=lgtan(−x)+1∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．故答案为：奇函数.【题型6正切型函数的奇偶性求参数】例1．（24-25高一·上海·随堂练习）函数y=Atan(ωx+φ)（A>0，ω>0）为奇函数需满足条件为【答案】φ=kπ【分析】由正切型函数为奇函数，根据正切函数的对称中心求解即可.【详解】若函数y=Atan(ωx+φ)（A>0，则根据正切函数的对称中心可得ω×0+φ=kπ2，所以φ=kπ2故答案为：φ=kπ例2．（23-24高一上·河北邢台·月考）已知函数f(x)=tan(x+φ)(φ>0)的图象关于原点中心对称，则φ的最小值为【答案】π【分析】根据正切函数的奇偶性列式运算得解.【详解】因为f(x)=tan所以φ=kπ2,k∈Z，又φ>0故答案为：π2变式1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知y=tanx−cos(x+m)为奇函数，且m满足不等式m2【答案】−π2或π【分析】利用奇函数性质求出m的关系式，再解不等式求出m的范围即可得解.【详解】函数y=tanx−cos则当x=0时，y=0，即cosm=0，解得m=经检验当m=π2+n由m2−3m−10<0，得−2<m<5，因此m=−π2或所以m的值为−π2或π2故答案为：−π2或π变式2．（25-26高三上·湖北武汉·月考）将函数y=tan2x+π3的图象向左平移mm>0A．π12 B．π6 C．π3【答案】A【分析】根据函数图象的平移变换，可得y=tan【详解】将函数y=tan2x+π所得的图象对应的函数为y=tan由题意知y=tan故tan−2x+2m+即tan−2x+2m+故−2x+2m+π即4m=kπ因为m>0，故当k=1时，m取最小值−π另解：由题意知y=tan故2m+π3=因为m>0，故当k=1时，m取最小值−π故选：A【题型7求正切型函数的周期】例1．（2025·广东·模拟预测）直线y=m与函数y=tan3x的图象的相邻两个交点的距离是【答案】π3/【分析】根据正切函数的周期性可求答案.【详解】由正切函数的图象的特点，直线y=m与函数y=tan因为最小正周期是T=π3，所以直线y=m与函数y=tan故答案为：π例2．（24-25高一下·上海宝山·期末）函数f(x)=tan(x+π【答案】π【分析】利用正切函数的周期公式直接求解.【详解】函数f(x)=tan(x+π故答案为：π变式1．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数fx=【答案】π【分析】利用正切型函数的最小正周期公式即可求得.【详解】fx=tan故答案为：π2变式2．（24-25高一下·上海宝山·月考）设常数k≠0，已知函数y=tankx+π12的最小正周期为2，则【答案】±【分析】根据正切型函数的最小正周期及其周期求法，即可得.【详解】由题设及正切函数的性质，有π|k|=2且k≠0，则故答案为：±【题型8求正切型函数的定义域】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数y=2tan【答案】定义域为x|x≠kπ3【分析】根据正切型三角函数定义域、单调区间的求法求得正确答案.【详解】由3x−π6≠k所以函数y=2tan3x−π由kπ−π所以函数y=2tan3x−π例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数y=tan【答案】定义域为x|x≠kπ3【分析】根据正切型函数定义域和单调区间的求法求得正确答案.【详解】由3x+π4≠k所以函数y=tan3x+π由kπ−π所以函数y=tan3x+π变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数y=11+tan【答案】xx≠kπ【分析】利用分式和正切函数的定义域求法，列不等式求解.【详解】由函数y=1则1+tanx≠0x≠k所以函数的定义域xx≠kπ+故答案为：xx≠kπ变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数y=lgtan【答案】−π【分析】根据对数的真数大于零及开偶数次方根号里得数大于等于零即可得解.【详解】由题意得x≠π2+kπtan如图所示可得函数定义域为−π【题型9求正切型函数的值域】例1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数y=tanx,x∈−A．最大值是−3，最小值是1 B．最大值是1，最小值是C．最大值是12，最小值是−12【答案】B【分析】根据正切函数的单调性求解.【详解】因为y=tanx,x∈−故选：B.例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数y=tanx，x∈−【答案】当x=−π3时，取得最小值−3；当【分析】根据正切函数的单调性和最值的求法求得正确答案.【详解】正切函数y=tanx在区间所以当x=−π3时，函数y=tan当x=π4时，函数y=tan变式1．（24-25高一下·上海·月考）设0<ω<1，若函数fx=tanωx在区间0,π3上的最大值为【答案】34/【分析】由0≤x≤π3可求得0≤ωx≤π3ω，分析函数fx=【详解】因为0<ω<1，当0≤x≤π3时，0≤ωx≤π所以，函数fx=tanωx在区间故πω3=故答案为：34变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数y=8【答案】最大值为22，最小值为−2【分析】结合分离常数法和基本不等式，然后分类讨论即可求解.【详解】解：①当tanx=0时，y=0②tanx>0时，y=由2tanx+1当且仅当2tanx=1tanx③当tanx<0时，y=由−2tanx+1−tanx≥22知综上，y的最大值为22，最小值为−2【题型10换元法求正切型函数的最值】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数y=tan2x−【答案】最大值为2，最小值为−【分析】利用换元法，结合正切函数、二次函数等知识求得正确答案.【详解】依题意，函数y=tan2x−设t=tan则y=t所以当t=12时，取得最小值为当t=−1时，取得最大值为−12例2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数fx=tan2x−【答案】7【分析】换元法求函数值域，首先令tanx=t，根据x∈−π【详解】令tanx=t，∵x∈−π则y=t2−t=所以y=t2−t，在t∈所以，当t=−1时，ymax=2，当t=1函数fx=tan故答案为：74变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）已知x∈−π6【答案】ymin=11【分析】令t=tanx∈−33【详解】因为x∈−令t=tan则y=t因此，当t=−12时，该函数取得最小值当t=1时，该函数取得最大值ymax变式2．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域.(1)f(x)=tan(2)f(x)=|sinx|+2cos(3)f(x)=sin【答案】(1)最小值−5，无最大值；(2)0,9(3)−2【分析】（1）令t=tanx，用换元法得到（2）将原式化为fx=−2sin（3）令sinx+cosx=t【详解】（1）设t=tanx，则y=t当t=−2时，y取最小值−5，无最大值，（2）fx=sinx+2由f−x=fx当x∈0,π2令t=sinx∈0,1当t=14时，y取最大值为当t=1时，y取最小值为−2+1+1=0.故值域为0,9（3）令sinx+cosx=t因为函数的定义域为1+sinx+cos所以t∈−则sinxcosx=由t∈−2,−1所以函数值域为−2【题型11求正切型函数的对称性】例1．（24-25高一下·上海·期中）点π2,0正切函数【答案】是【分析】先求出正切函数y=tan【详解】y=tanx,x≠kπ所以π2,0是正切函数故答案为：是例2．（25-26高三上·江苏·月考）已知点a,b是函数y=2tanπ3x+πA．−14 B．14 C．3【答案】A【分析】利用正切函数对称中心的通式，结合函数内部的线性变换和平移量，求出对称中心的横、纵坐标表达式，再通过取整参数验证选项是否符合通式。【详解】正切函数y=tant的对称中心为令t=π3x+当t=kπ2时，tant=0，此时y=−1横坐标a满足：π3a+π4=于是：a+b=3当k=1时，a+b=6⋅1−7故选：A变式1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）函数fx=tanA．−5π6,0 B．−π6【答案】A【分析】令x−π6=kπ【详解】∵y=tanx的对称中心为令x−π6=所以fx=tank=−2时，fx的一个对称中心为−故选：A．变式2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知点a，0a>0是函数y=2tan3x+πA．π12 B．C．π4 D．【答案】A【分析】求出y=2tan【详解】因为函数y=tanx的对称中心为kπ所以y=2tan3x+π4的对称中心为所以a=kπ6−π12，k∈Z，又故选：A.【题型12正切性型函数的综合应用】例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数f(x)=tan(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期和单调区间；(2)求不等式−1≤f(x)≤3(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.【答案】(1)定义域是xx≠5π3+2kπ,k∈Z，最小正周期(2)xπ(3)答案见解析.【分析】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间.（2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集.（3）利用五点作图法即可得一个周期内的简图.【详解】（1）由x2得x≠5π3∴fx的定义域是x∵ω=1∴最小正周期T=π由−π2+kπ<x2∴函数fx的单调增区间是−π3所以函数fx定义域是xx≠5π3+2kπ,k∈Z（2）由−1≤tanx2−π解得π6+2kπ∴不等式−1≤fx≤3（3）令x2−π令x2−π令x2−π∴函数fx=tanx2−π3的图像与从而得函数y=fx在一个周期−例2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数fx(1)若ω=2，求函数fx(2)若函数fx在区间0,π上严格单调递增，求(3)若函数fx在a,b（a,b∈R且a<b）上满足“关于x的方程fx=3在a,b上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的a,b中，【答案】(1)π2，(2)0,(3)0,【分析】（1）先写出函数f(x)的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得ω的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得ω的范围．【详解】（1）由于f(x)=tan(ωx+π所以f(x)=tan(2x+π令2x+π3=kπ故f(x)的图象的对称中心为(kπ4−π（2）若函数y=f(x)在区间[0,π则只需保证ωπ+π3<即ω的范围为(0,1（3）函数fx=tan关于x的方程f(x)=3在区间[a,b]故当x∈[a,b]时，关于x的方程tan(ωx+即关于x的方程ωx+π3=k即当x∈[a,b]时，关于x的方程x=kπω且在所有满足上述条件的[a,b]中，b−a的最小值不小于2024，故b−a至少包含2023个周期，即b−a≥2023⋅π所以ω∈0,变式1．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知函数fx=tan(1)若ω=2，求函数fx(2)若fx在闭区间0,π上是严格增函数，求正实数【答案】(1)π2,kπ4(2)0,【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解；（2）利用正切函数的单调性求出ω的范围.【详解】（1）∵ω=2，∴函数fx的最小正周期为T=令2x+π3=kπ2,k∈∴函数图象的对称中心为kπ4−（2）∵fx在闭区间0,∴ωx+π∴ωπ+π3一、核心概念1.函数形式：（定义域）、正切型（）2.参数意义：（振幅）、（周期）、（初相）二、核心性质（正切函数）1.单调性：每个周期区间内单调递增2.奇偶性：奇函数（），图象关于原点对称3.周期性：最小正周期4.值域：，无最值，图象渐近线三、高频应用1.单调区间求解：整体代换，结合符号定增减2.正切值比较：化同周期区间后用单调性3.不等式求解：先求单周期解，再加4.奇偶性判定：正切型为奇函数需且定义域关于原点对称一、单选题1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数y=tanx,x∈−A．最大值是−3，最小值是1 B．最大值是1，最小值是C．最大值是12，最小值是−12【答案】B【分析】根据正切函数的单调性求解.【详解】因为y=tanx,x∈−故选：B.2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数中，周期为π，且在区间π4,πA．y=sin2x+πC．y=sinx+π【答案】A【分析】求出函数的最小正周期，并利用整体法验证函数的单调性，得到答案.【详解】A选项，y=sin2x+π又x∈π4,由于y=sinz在B选项，y=cos2x+π又x∈π4,由于y=cosz在C选项，y=sinx+πD选项，y=tanx+π又x∈π4,由于y=tanz在故选：A3．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，最小正周期为π的是（

）A．y=sinx B．y=tan2x C．【答案】D【分析】根据题意，由三角函数的周期性，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，y=sinx的最小正周期为对于B，y=tan2x的最小正周期为对于C，y=cos4x的最小正周期为对于D，因为y=cosx的最小正周期为将函数y=cosx的图像得到y=cosx的图像，则其周期减半，所以y=cos故选：D4．（24-25高一下·上海·期中）α=2kπ+π4（k∈ZA．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【分析】判断α=2kπ+π4（【详解】当α=2kπ+π4（当tanα=1时，有α=2kπ+π4（k∈故α=2kπ+π4（故选：A5．（2025·上海·模拟预测）已知a∈R，不等式tanπ6x−atanπ6xA．0 B．338 C．674 D．1012【答案】D【分析】由题设可得a<tanπ6x<a+1，结合正切函数的周期分a≤−【详解】由tanπ6x对于fx=tan且f0=0,f1当a≤−3或a≥3时，不等式a<tan当−3<a<3时，若不等式a<比如a=1时，此时在0,6内的整数解为x=2，而2025=6×337+3，则在(0,2025)中可能有337+1=338个整数解；若不等式a<tanπ6比如a=−0.9时，此时在0,6内的整数解为x=5或x=6，则在(0,2025)中可能有337×2=674个整数解；由于33则在0,6内最多只有2个整数解，因此在(0,2025)中不可能有1012个整数解.故选：D.6．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数y=2tanx−A．xkπ+C．xkπ<x<【答案】B【分析】由二次根式有意义得tanx−【详解】由题意得，tanx−∴kπ∴kπ∴函数的定义域为xk故选：B.7．（24-25高一下·上海杨浦·月考）对于fx的绝对值函数|f(x)|的性质研究，可以借助将图象在x轴下半部分沿x轴翻折进行研究.那么对于函数y=sinx,y=cosx,y=①这三个绝对值函数较原函数周期均减半；②在[0,π]的区间上，这三个绝对值函数周期性与原函数相同.A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①②均正确 D．①②均错误【答案】D【分析】根据题设描述，结合三角函数的性质判断两个命题的真假即可得.【详解】对于y=tanx，其最小正周期为π，而y=|tan对于y=sinx与y=|sinx|、y=cosx与故选：D二、填空题8．（24-25高一下·上海·月考）已知函数y=2tanωx+π3的最小正周期为2，则实数【答案】π2或【分析】根据正切型函数的周期公式计算得解.【详解】由T=π|ω|=2故答案为：π2或−9．（23-24高一下·上海·期中）函数y=tan2x，x∈−【答案】3【分析】首先判断函数的单调性，由单调性求出函数的最大值.【详解】当x∈−π6,π6时所以当x=π6时y=tan故答案为：310．（24-25高一上·广东·期末）函数y=tan4x+π【答案】x【分析】由正切函数的定义得出定义域.【详解】由4x+π3≠k所以函数y=tan4x+π故答案为：xx≠11．（23-24高一下·上海·期中）函数f(x)=tan(ωx−π3)ω>0【答案】0【分析】根据阴影面积得出ω，再根据诱导公式求解即可．【详解】由图可知，T×3=6π,π所以f2024故答案为：0．12．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数y=tanx,x∈−【答案】−1【分析】利用正切函数单调性求出最小值.【详解】y=tanx在故当x=−π4时，函数取得最小值为故答案为：−113．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数fx=tanωx+π4在区间【答案】1【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解.【详解】由函数fx=tan可得ω>0，且π4ω+π所以ω的最大值为1.故答案为：1.14．（24-25高一下·上海松江·月考）直线y=a与函数y=tan2x的图像的相邻两个交点的距离是【答案】π2/【分析】根据正切型函数的图象与性质，求得函数y=tan2x的最小正周期为【详解】由正切型函数的图象与性质，可得