2026年高一数学寒假自学课（沪教版）重难点突破01 三角恒等变换应用题型与技巧突破 （原卷版）

重难点突破01三角恒等变换应用题型与技巧突破内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：两角和与差公式（C(α±β)、S(α±β)、T(α±β)）公式名称规范公式（Word格式）适用条件核心变形两角和差余弦α,β为任意角无分配律，逆用：两角和差正弦α,β为任意角逆用：两角和差正切知识点2：二倍角公式公式名称规范公式（Word格式）变形（降幂/升幂）适用场景二倍角正弦化简、求值，“1”的代换二倍角余弦降幂：；化简、求最值、周期二倍角正切角度倍分转化，条件同正切和差公式知识点3：辅助角公式，其中，，，φ象限由(a,b)确定.常用结论：知识点4：半角公式（教材不要求记忆，可推导），，，符号由象限决定.知识点5：和差化积公式一、核心和差化积公式1.正弦和差化积：2.正弦差化积：3.余弦和差化积：4.余弦差化积：二、公式说明适用条件：、为任意角，无特殊定义域限制.核心特征：左边为两个同名三角函数的和或差，右边为两个三角函数的积，其中角为（和角的一半）与（差角的一半）.符号规律：余弦差化积公式右边有负号，其余三个公式右边均为正号，可结合“余差为负”记忆.三、记忆技巧口诀：“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”.“正加正，正在前”：，右边先写，再写；“正减正，余在前”：，右边先写，再写；“余加余，余并肩”：，右边两个都是函数；“余减余，负正弦”：，右边是负的两个函数的积.四、常用补充（积化和差公式，对应逆用）和差化积与积化和差为互逆变换，补充积化和差公式便于双向应用：1.2.3.4.常考结论（高频考点+速解结论）1.基础结论1.常见特殊角组合：，，.2.齐次式求值：已知，则，，.3.三角恒等式：；.2.进阶结论1.辅助角公式最值：的最大值为，最小值为.2.角度和为特殊角：若，则；若，则，.3.降幂扩角：，，常用于三角函数的周期、最值求解.3.解题策略1.化简原则：“异名化同名、异角化同角、高次降幂、无理化有理”，优先逆用公式.2.求值步骤：先定角范围→选公式→验符号→算结果，复杂角拆分为特殊角组合.3.证明思路：从复杂端向简单端转化，用“1”的代换、公式逆用搭建桥梁.【题型1同角公式的平方关系】例1．（24-25高一下·上海·期末）若0<x<π4，且sinx+cosx=例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知sinα−cosα=22，变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知sinα+cosα=1变式2．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）（1）已知m∈R，若sinα、cosα是关于x的一元二次方程x（2）已知α∈0,π，且sinα−cosα=【题型2同角公式中的弦化切】例1．（25-26高一上·上海普陀·月考）（1）已知tanα=2，求sin（2）已知角α是第二象限角，且sinα+cosα=15，若角α例2．（25-26高三上·上海松江·期末）设α∈0,π2，若sin2α−变式1．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知tanα=3，则sin变式2．（25-26高三上·上海·月考）若tanθ=13，那么1+【题型3诱导公式与同角公式的化简求值】例1．（25-26高一上·上海青浦·月考）化简：sinπ例2．（2025高三·上海·专题练习）已知sinα−βcosα−cosα−βsinα=A．2 B．−1 C．1 D．−3变式1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知0<α<π2(1)求tanα(2)求sin2α+2变式2．（24-25高一下·上海·期中）（1）已知tanα=3，求sin（2）已知α∈0,π2【题型4余弦的两角和差公式的化简求值】例1．（24-25高一下·上海·期中）已知cosα+45°=14例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知sinα+sinβ=0，cosα−cosA．−32 B．−12 C．变式1．已知α∈0,π，β∈0,π2(1)分别求cosβ−α和sin(2)求cosβ变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知sinα−sinβ=−13【题型5余弦的两角和差公式的角的拼凑】例1．已知0<β<π2<α<π，且cosα−β2A．209729 B．−239729 C．−例2．已知θ∈0,π4，且cosπ变式1．已知π2<α<π,变式2．若0<α<π2,0<β<π2，cosα+β=A．22 B．23 C．5665【题型6正弦的两角和差公式的化简求值】例1．（25-26高二上·上海·月考）已知sinαsinβ=1，则例2．（25-26高三上·上海·月考）已知锐角α,β满足α+β=π4，则1sin变式1．已知2sinα+π4=变式2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知sinθ+π6=2【题型7正弦的两角和差公式的角的拼凑】例1．已知sinα+2β=tanA．120 B．−120 C．3例2．已知π4<α<3π4A．1665 B．−1665 C．−变式1．已知α,β∈0,π2，sinα+β=3变式2．已知sinα+π(1)求cosα+(2)求sinα【题型8正切的两角和差公式的化简求值】例1．（24-25高二下·上海·期末）若cosθ=−45，π<θ<例2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知0<α<π2，−π2<β<0(1)求cosα−β(2)求tanα−2β变式1．）已知α∈0,π2，β∈0（1）tanα=；（2）2α−β=变式2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知α，β均为锐角，sinα=3sinβcos(α+β)，则tan【题型9正切的两角和差公式的角的拼凑】例1．已知α，β满足4tanα+1=0，sin(α+β)=3cos(α+β)A．−455 B．455 例2．已知tanα+π4=4变式1．已知tanα+β=12，tanα−βA．1 B．-1 C．2 D．-2变式2．已知α为锐角，β∈(−π,−π2)，且sin(πA．7 B．1 C．17 D．【题型10二倍角公式的化简求值】例1．（2026高三·上海·专题练习）已知tanα=2，则sinα例2．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知sinπ2+θ=−45变式1．（25-26高三上·上海杨浦·月考）已知cosθ=35，且θ是第四象限的角，则sin变式2．（2025高三·上海·专题练习）已知cos2α=2sin2β−【题型11辅助角公式的化简求值】例1．化简求值：(1)sin(2)化简2+例2．）若1+3tan80°=1sinα变式1．已知cosα+3sinα=变式2．已知3sin2α−cos2α=−45【题型12半角公式】例1．（24-25高一下·上海金山·月考）已知sin(α−β)cosα−cos(α−β)sin例2．（24-25高一下·上海·月考）若α∈[0,2π]且1+cosα2+1−A．[0,π] B．π2,π C．[π,2π] 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知sinα=1213，α∈π2,π，则sinα变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知θ是第三象限的角，|cosθ|=m，sinθ2+A．1+m2 B．−1+m2 C．1−m【题型13和差化积公式的应用】例1．已知x,y∈0,π2，cosx+y=−513A．6316 B．3316 C．−33例2．（24-25高二上·上海·月考）已知sinα+βsinα−β=2m(m≠0)变式1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知cosα−cosβ=12变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简求值：cos10°⋅cos【题型14给角求值】例1．化简并求值.（1）3tan（2）cos40°+（3）3−4（4）1cos例2．化简，求值（1）sin（2）sin（3）1（4）cos（5）2变式1．化简下列各式：（1）3sin（2）cos10（3）sinα−变式2．1cos280°A．16 B．32 C．−16 D．−32【题型15给值求值】例1．（24-25高一下·上海·月考）已知cos(α−β)=45，sin(α+β)=−35，且例2．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知2cos2α2+3sin变式1．已知cosα+β=14，tanαA．−34 B．−112 C．变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知tan(α+β)=34，tanβ−π【题型16给值求角】例1．（24-25高一下·上海·月考）已知−π4<α<π4，0<β<π，sin例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知tanα=2，tanβ=3，其中α及β均为锐角，求变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知α、β∈(0,π2)，且3sin2变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若α、β均为钝角，且(1−tanα)(1−tan【题型17三角形中的恒等变换】例1．（24-25高一下·上海·月考）在△ABC中，若tan2B=tanAtan例2．（24-25高一下·上海普陀·月考）（1）求证：1+（2）在△ABC中，求证：tan变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）在△ABC中，求证：（1）tanAtan（2）a2变式2．（2024高三·上海·专题练习）在△ABC中，C=45°，下列各式中成立的是（A．(1+cotA)(1+cotC．(1−tanA)(1−tan一、基础铺垫（恒等变换的前提）1.核心基础：同角三角函数基本关系平方关系：（核心用途：已知一个三角函数值求另一个，开方需定符号）商数关系：（，核心用途：切化弦、弦化切，统一三角函数名）2.重要工具：诱导公式核心法则：奇变偶不变，符号看象限（“奇/偶”指的奇数/偶数倍；“符号”将视为锐角判断原函数值符号）核心用途：将任意角三角函数转化为锐角三角函数，简化计算高频公式：、、、二、核心公式（恒等变换的核心工具）1.两角和与差公式（基础变换公式）余弦：（任意角适用，无分配律）正弦：（任意角适用，逆用是化简高频考点）正切：（适用条件：，变形：）2.二倍角公式（角的倍分变换核心）正弦：（变形：，用于降幂、化简）余弦：（核心变形：降幂公式、，是求周期、最值的关键）正切：（适用条件同两角和差正切公式）3.辅助角公式（函数统一变换工具）核心形式：（其中，象限由确定）核心用途：将含、的一次式化为单一三角函数，便于求最值、周期、单调区间高频特例：、4.拓展公式（选学，辅助化简）半角公式：、（符号由象限决定，可由二倍角公式推导）和差化积/积化和差：如，可由两角和差公式推导，用于复杂式子化简三、关键技能（恒等变换的核心能力）1.公式应用技能正用：直接代入公式计算（如给角求值）逆用：观察式子结构匹配公式逆用（如逆用）变形用：利用公式变形解决问题（如降幂公式、正切和差变形）2.角的变换技能（核心难点与高频考点）核心思路：将未知角拆分为已知角的和、差、倍、半（即“角的拼凑”）高频拆分方式：、、、关键步骤：先确定拆分后角的范围，再判断三角函数符号3.三角函数名与次数变换技能异名化同名：利用诱导公式、辅助角公式统一三角函数名（如与化为单一或）高次降幂：利用二倍角降幂公式将二次式化为一次式（如、降幂）弦切互化：利用商数关系将正切化为弦，或齐次式弦化切（如已知求齐次式值）四、应用目标（考点导向）1.核心题型应用给角求值：非特殊角拆分为特殊角，用公式计算给值求值：已知一个三角函数值，求另一个（需定角范围定符号）给值求角：先求目标角的三角函数值，再结合范围确定角式子化简：将复杂三角式化为最简形式（同名、同角、一次）恒等式证明：化繁为简、左右归一，利用公式与角变换搭建等式2.综合性质应用结合三角函数性质：通过恒等变换将函数化为形式，求周期、最值、单调区间、对称中心与其他知识结合：与三角函数图像、解三角形、向量等综合考查一、单选题1．（24-25高三上·上海·月考）已知θ是三角形的内角，若sinθ−cosθ=15A．75 B．−15 C．−二、填空题2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角α，β满足cosα=1213及cos(α+β)=3．（24-25高一下·上海·期中）已知−π2<α<β<π4．（25-26高三上·上海·期中）已知tanα=−45，则5．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知α、β满足3sinαcosβ6．（2024高一上·全国·专题练习）已知α，β均为锐角，且tanα=7，cosβ=2557．（24-25高二下·上海奉贤·期中）若cosπ48．（24-25高一下·上海长宁·月考）若α，β∈0,π2，sinα−β2=9．已知sinθ+π4=1410．已知sinα+cosa=1三、解答题11．（23-24高一下·上海普陀·期中）（1）化简：tan3（2）已知sinθ=3512．（23-24高一上·上海·期末）已知sinx+cosx=(1)求tanx(2)求值：sinπ13．（24-25高一下·上海长宁·期中）（1）证明三倍角公式sin3α=3（2）DS同学试着将π2−α代入第（1）小题中的公式，得到：sin3π2−α=3sinπ2−α−4sin14．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知sinα=−(1)求cosα+(2)求sin2α+15．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知α∈π(1)求sinα(2)求cos516．（25-26高二上·上海·开学考试）设α,β都是第二象限的角，已知sinα